【摘 要】
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2011年4月重庆市高三模考题中有这样一道数列不等式题.具体如下:函数 对任意的实数x均有 当 ， . (I)当 时 求 的解析式； (II)令 求证： 解：(I)略(Ⅱ)的标准答案如下： 因 即 (也可用导数求证) 即 (也可用数学归纳法求证) 下面证明： 成立 因为 所以 两式相减得： ……① ……② 两式再相减： 则 笔者通过研究得到了两个优美证法(简称优美
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2011年4月重庆市高三模考题中有这样一道数列不等式题.具体如下:函数 对任意的实数x均有 当 ， .
(I)当 时 求 的解析式；
(II)令 求证：
解：(I)略(Ⅱ)的标准答案如下：
因
即 (也可用导数求证)
即 (也可用数学归纳法求证)
下面证明： 成立
因为
所以
两式相减得：
……①
……②
两式再相减：
则
笔者通过研究得到了两个优美证法(简称优美解),仅供读者参考.
优美解1：(构造函数法)令
优美解2：(加强命题，数归法)
求证：
令
①当n=l对，左边 =右边，命题成立；
②假设n=k时， 成立，
下面证明： 成立，
即证
令 当 时，
，
在 递增
成立
即当n=k+l时，命题成立.
由①②知，命题成立.
从标准答案来看, 巧妙的利用“错位相减”,解决了问题，优美解法1是利用构造函数解决此问题，显得很巧妙, 优美解法2是将此不等式加强，显得非常精巧了, ,放缩的每一步都“如履薄冰”,容不得有半点闪失，再利用函数的性质可得到，两种解法得到的结果都比标准答案理想，巧妙,这对竞赛和高考都有一定的参考作用.
收稿日期:2012-09-07
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