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【摘要】 数学理解已经成为继“问题解决”之后世界数学教育所关心的中心话题. 数学理解是人们知识结构不断发展、不断完善的动态过程，是认知结构和知识意义的建构过程，数学理解体现了数学素养的普遍性、特殊性、动态性和发展性. 本文探讨数学概念理解的有效途径，进而揭示出数学理解和数学素养的本质关系.
【关键词】 数学理解；数学素养；数学思维
世纪之初，世界各地的数学课程都经历了改革，纷纷推出了面向未来的课程计划，数学理解已经成为继“问题解决”之后世界数学课程改革所关心的中心话题.
一、数学理解的内涵
数学理解通常有三个层面：第一，作为理论思维的数学，提供了理论思维的范式和完善的方法论，它是由人的思维构造的理论体系，其成果构成了其他自然科学的基础；第二，作为技术应用的数学，数学已经由科学技术渗透到政治、经济以及社会科学等各个领域；第三，作为文化素养的数学. 因为数学思维无处不在、无时不有，所以数学素养将陪伴人的一生. 本文从数学理解的内涵出发，通过寻求数学理解的思维发展、认知发展机制，探讨数学理解的有效途径，进而揭示出数学理解和数学素养的本质关系，以期为我国数学课程发展提供理论支撑和新的视野.
二、数学概念理解的有效策略
1. 操 作
按照弗赖登塔尔的观点，教一个内容的最佳途径是联系学生的数学现实和生活现实，在将要传授的知识与学生已经在现实世界中积累的知识和经验之间、在将要传授的知识与已经教过的知识之间建立起紧密的联系，操作是建立联系的最好路径，假设数学的理解始于知觉、行动，成功的感知目标使得视觉空间表征的发展随着几何学中语言支持到视觉感悟的增长而发展；成功的行动目标运用灵活的符号表征，由算术和代数领域中的操作过程而形成思维概念. 认知结构由初级的数学思维成为高级的数学思维，经历了数学发展的三个领域，通过知识内部的信息加工途径，凝聚和多元化的表征方式及其转换，通过操作，有效地使学生从非形式化的、算法的、直觉相互作用与矛盾中形成数学观.
2. 信息加工途径——凝聚
数学概念的双重性又决定了数学思维、理解的双重性. 理解性学习的有效方式是个体自我数学的建构和对自我知识的反思，由知觉到行动，到目标的转化，也是由“过程”向“对象”的转化，它构成了数学思维的基本形式——“凝聚”. 凝聚体现了数学的高度抽象性，即“是把已发现结构中抽象出来的东西射或反射到一个新的层面上，并对此进行重新建构”. 以色列著名数学教育家斯法德（A.Sfard）指出，“凝聚”主要包括以下三个阶段：（1）内化；（2）压缩；（3）客体化. 其中，“内化”和“压缩”可视为必要的准备. 前者是指用思维去把握原先的视觉性程序，后者则是指将相应的过程压缩成更小的单元，从而就可从整体上对所说的过程作出描述或进行反思. 我们在此不仅不需要实际地去实施相关的运作，还可从更高的抽象水平对整个过程的性质作出分析；另外，相对于前两个阶段而言，“客体化”则代表了质的变化，即用一种新的视角去看一件熟悉的事物，原先的过程现在就变成了一个静止的对象.
3. 表征方式的多元化
表征从广义来讲是指人脑内部的心智活动的表现，又可指思维活动的外在表现形式；从狭义来看，可以理解为表达数学关系的过程，即对数学关系的表示形式，用某种形式表达数学概念或关系的行为. 关于人类知识表现有三个不同表征类型：动作表征（物理过程），图像表征（视觉），符号表征（抽象）.
在表征类型中，一个从本质上说是物理过程（动作表征），其他两个是引出物理对象后的抽象过程（图像表征，符号表征）. 图像表征提出了一个更广阔的“视觉空间”概念，这里面也包含了动作表征（例如，感知一个“连续”的曲线由负到正必须经过零）.
自然语言的发生始终贯穿于数学当中，使数学活动置于环境之中. 从视觉空间到符号推理的发展，自然语言成为描述图像和明确叙述证明的工具. 它也可以用来描述数字的特性，例如，加法是可以交换的，因为它总是有独立的顺序（事实上，表象的变换比计算的过程更容易理解，它有效地利用了视觉与符号之间的联系）. 符号是逻辑推理的需要. 数学符号是抽象的数学概念的具体表示，是数量关系的无声名称，是逻辑推理的物质承担者，是数学形式简化的最佳途径. 符号在数学史上已证明是一种重要的探索工具，利用符号便于发现规律. 因此在实际教学中要注意概念和数学符号是密不可分的整体，让学生真正明确符号代表的对象及其数学性质. 表征的三种类型从本质上说动作表征是物理过程，图像表征和符号表征是引出物理对象后的抽象过程，它反映了个体从初级到高级数学思维的认知发展规律.
三、数学概念理解的特点
数学概念理解具有主动性. 学习者不是被动的信息接受者，他要对外部信息做主动的选择和加工，学习过程中的核心认知活动是深层理解和高水平思维. 学生通过高水平的思维活动来学习，对各种信息和观念进行加工转换，基于新、旧知识进行综合和概括，解释有关的现象，形成新的假设和推论，并对自己的想法进行反思性的推敲和检验. 所以数学素养的形成是个体在已建立数学经验基础之上对数学感悟、反思和体验的结果， 体现了数学素养个人建构的特殊性.
数学理解具有连续性和层次性. 每名学生都在以自己原有的知识经验为基础对新的信息进行编码，建构自己的理解，在学生的原有认知结构中找到新知识的生长点，进而促进新知识的生长和建构，体现了数学素养的动态性.
数学理解具有反思性和创造性. 原有知识会受到新经验的挑战而发生调整和改变，所以学习并不简单地是信息的量的积累，它同时包含由于新、旧经验的冲突而引发的概念转变和结构重组，认知冲突的引发和合理解决是导致知识建构的重要途径. 学生要不断监督自己对知识的理解程度，通过批判性思维来发展自己的见解，并在不断冲突、创造过程中来发现数学，体现了数学素养的发展性.
【关键词】 数学理解；数学素养；数学思维
世纪之初，世界各地的数学课程都经历了改革，纷纷推出了面向未来的课程计划，数学理解已经成为继“问题解决”之后世界数学课程改革所关心的中心话题.
一、数学理解的内涵
数学理解通常有三个层面：第一，作为理论思维的数学，提供了理论思维的范式和完善的方法论，它是由人的思维构造的理论体系，其成果构成了其他自然科学的基础；第二，作为技术应用的数学，数学已经由科学技术渗透到政治、经济以及社会科学等各个领域；第三，作为文化素养的数学. 因为数学思维无处不在、无时不有，所以数学素养将陪伴人的一生. 本文从数学理解的内涵出发，通过寻求数学理解的思维发展、认知发展机制，探讨数学理解的有效途径，进而揭示出数学理解和数学素养的本质关系，以期为我国数学课程发展提供理论支撑和新的视野.
二、数学概念理解的有效策略
1. 操 作
按照弗赖登塔尔的观点，教一个内容的最佳途径是联系学生的数学现实和生活现实，在将要传授的知识与学生已经在现实世界中积累的知识和经验之间、在将要传授的知识与已经教过的知识之间建立起紧密的联系，操作是建立联系的最好路径，假设数学的理解始于知觉、行动，成功的感知目标使得视觉空间表征的发展随着几何学中语言支持到视觉感悟的增长而发展；成功的行动目标运用灵活的符号表征，由算术和代数领域中的操作过程而形成思维概念. 认知结构由初级的数学思维成为高级的数学思维，经历了数学发展的三个领域，通过知识内部的信息加工途径，凝聚和多元化的表征方式及其转换，通过操作，有效地使学生从非形式化的、算法的、直觉相互作用与矛盾中形成数学观.
2. 信息加工途径——凝聚
数学概念的双重性又决定了数学思维、理解的双重性. 理解性学习的有效方式是个体自我数学的建构和对自我知识的反思，由知觉到行动，到目标的转化，也是由“过程”向“对象”的转化，它构成了数学思维的基本形式——“凝聚”. 凝聚体现了数学的高度抽象性，即“是把已发现结构中抽象出来的东西射或反射到一个新的层面上，并对此进行重新建构”. 以色列著名数学教育家斯法德（A.Sfard）指出，“凝聚”主要包括以下三个阶段：（1）内化；（2）压缩；（3）客体化. 其中，“内化”和“压缩”可视为必要的准备. 前者是指用思维去把握原先的视觉性程序，后者则是指将相应的过程压缩成更小的单元，从而就可从整体上对所说的过程作出描述或进行反思. 我们在此不仅不需要实际地去实施相关的运作，还可从更高的抽象水平对整个过程的性质作出分析；另外，相对于前两个阶段而言，“客体化”则代表了质的变化，即用一种新的视角去看一件熟悉的事物，原先的过程现在就变成了一个静止的对象.
3. 表征方式的多元化
表征从广义来讲是指人脑内部的心智活动的表现，又可指思维活动的外在表现形式；从狭义来看，可以理解为表达数学关系的过程，即对数学关系的表示形式，用某种形式表达数学概念或关系的行为. 关于人类知识表现有三个不同表征类型：动作表征（物理过程），图像表征（视觉），符号表征（抽象）.
在表征类型中，一个从本质上说是物理过程（动作表征），其他两个是引出物理对象后的抽象过程（图像表征，符号表征）. 图像表征提出了一个更广阔的“视觉空间”概念，这里面也包含了动作表征（例如，感知一个“连续”的曲线由负到正必须经过零）.
自然语言的发生始终贯穿于数学当中，使数学活动置于环境之中. 从视觉空间到符号推理的发展，自然语言成为描述图像和明确叙述证明的工具. 它也可以用来描述数字的特性，例如，加法是可以交换的，因为它总是有独立的顺序（事实上，表象的变换比计算的过程更容易理解，它有效地利用了视觉与符号之间的联系）. 符号是逻辑推理的需要. 数学符号是抽象的数学概念的具体表示，是数量关系的无声名称，是逻辑推理的物质承担者，是数学形式简化的最佳途径. 符号在数学史上已证明是一种重要的探索工具，利用符号便于发现规律. 因此在实际教学中要注意概念和数学符号是密不可分的整体，让学生真正明确符号代表的对象及其数学性质. 表征的三种类型从本质上说动作表征是物理过程，图像表征和符号表征是引出物理对象后的抽象过程，它反映了个体从初级到高级数学思维的认知发展规律.
三、数学概念理解的特点
数学概念理解具有主动性. 学习者不是被动的信息接受者，他要对外部信息做主动的选择和加工，学习过程中的核心认知活动是深层理解和高水平思维. 学生通过高水平的思维活动来学习，对各种信息和观念进行加工转换，基于新、旧知识进行综合和概括，解释有关的现象，形成新的假设和推论，并对自己的想法进行反思性的推敲和检验. 所以数学素养的形成是个体在已建立数学经验基础之上对数学感悟、反思和体验的结果， 体现了数学素养个人建构的特殊性.
数学理解具有连续性和层次性. 每名学生都在以自己原有的知识经验为基础对新的信息进行编码，建构自己的理解，在学生的原有认知结构中找到新知识的生长点，进而促进新知识的生长和建构，体现了数学素养的动态性.
数学理解具有反思性和创造性. 原有知识会受到新经验的挑战而发生调整和改变，所以学习并不简单地是信息的量的积累，它同时包含由于新、旧经验的冲突而引发的概念转变和结构重组，认知冲突的引发和合理解决是导致知识建构的重要途径. 学生要不断监督自己对知识的理解程度，通过批判性思维来发展自己的见解，并在不断冲突、创造过程中来发现数学，体现了数学素养的发展性.