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[摘 要] 数学课堂教学中，充分挖掘教材典型例题和习题的价值，提炼本质，适度变换拓展，扩大视野、强化能力培养，就能很好的提高学生解决问题的水平。
[关键词]拓展；变式；学习实际；课程标准
中图分类号：G633.6
题目（北京师大版8年级上P26第6题） 如图，直角三角形边上的半圆面积之间有什么关系？
解：记直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3的关系是S1 + S2 = S3.理由如下：；；.
而由勾股定理，得 BC2 + AC2 = AB2，于是可得S1 + S2 = S3.
点评：若将半圆换成正三角形、正方形或任意的相似形，
S1 + S2 = S3都成立.
演变
变式1：（2009，宜宾）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB = 3，则图中阴影部分的面积为 .（答案：）
变式2： 如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1 = 3，S2 = 4，则S3 = .
（答案：7）
变式3：如图，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若大正方形的边长是6 cm，则正方形A，B，C，D的面积和是（ ）cm2（答案：B）
A.12 B.36 C.42 D.48
变式2图 变式3图 变式4图
变式4：如图，在四边形ABCD中，∠DAB =∠BCD = 90？，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1 + S4 = 100，S3 = 36，则S2 =（ ）.
A.136 B.64 C.50 D.81 （答案：B）
变式5 如图所示，是一种"羊头"形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一条边为斜边作等腰直角三角形，然后再以这个等腰直角三角形两直角边为边作正方形②和②′，如此继续下去...，若正方形①的面积为64，则正方形⑥的面积为 .
（答案：2）
变式6：如图，Rt△ABC中，BC = 12，AC = 5，分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积是 .
（答案：30. 习题结论：S阴影 = S△ABC）
变式7：（2008，陕西）如图，梯形ABCD中，
AB∥DC，∠ADC +∠BCD = 90？，且DC = 2AB，分
别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积
分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是 .
（答案：S1 + S3 = S2）
变式8：如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）.
A.4 B.6 C.16 D.55
（答案：C）
变式9：在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1 + S2 + S3 + S4 = . （答案：4）
变式10：（2008，浙江台州）如图，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，边长分别为a，b，c；A，B，N，E，F五点在同一直线上，则c = （用含有a，b的代数式表示）.（答案：）
变式11：如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1 = S2 + S3.
（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？（不必证明）
（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；
（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；
（4）类比（1）、（2）、（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论。
在进行教材例题与习题的拓展变换时，必须尊重学习实际，符合课程标准要求，切忌盲目，更不要把高中内容直接下放给初中学生.
例：在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，提炼研究对象的本质特征.
比如"同底数幂的乘法法则"的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由"特殊"到"一般"进行抽象概括的；我们还知道：
，，，，.......
（1） 请你根据上面的材料归纳出a，b，c（a>b>0，c>0）之间的一个数学关系式；
（2） 试用（1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不饱和），则糖水更甜了；
（3） 如图7，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=a，CA=b，AD=BE=c（a>b）.能否根据这个图形提炼出与（1）中同样的关系式？并给予证明。
点评：本题前面的一段"大帽子"与整个题目相比较显得脱节和无意义，并不能对三个问题形成有力的指导，而且很有可能对小题（1）形成理解障碍；小题（1）"请你根据上面的材料归纳出a、b、c（a>b>0，c>0）之间的一个数学关系式"十分含糊，会有很多学生无法理解是哪方面的关系，这样（2）、（3）小题更无所适从.而知道"糖水变甜模型"的学生能从（2）小题中获得启示，从而明确（1）小题的意思，因此本题难于体现出公平性，不能保证同一水平考生考试成绩结果的一致性。
参考文献
[1]王金战王志进《中考抢分三十六计》吉林教育出版社2011.4
[2]刘东升余中华《数学是怎样学好的》（初中版）吉林教育出版社2011.4
[关键词]拓展；变式；学习实际；课程标准
中图分类号：G633.6
题目（北京师大版8年级上P26第6题） 如图，直角三角形边上的半圆面积之间有什么关系？
解：记直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3的关系是S1 + S2 = S3.理由如下：；；.
而由勾股定理，得 BC2 + AC2 = AB2，于是可得S1 + S2 = S3.
点评：若将半圆换成正三角形、正方形或任意的相似形，
S1 + S2 = S3都成立.
演变
变式1：（2009，宜宾）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB = 3，则图中阴影部分的面积为 .（答案：）
变式2： 如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1 = 3，S2 = 4，则S3 = .
（答案：7）
变式3：如图，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若大正方形的边长是6 cm，则正方形A，B，C，D的面积和是（ ）cm2（答案：B）
A.12 B.36 C.42 D.48
变式2图 变式3图 变式4图
变式4：如图，在四边形ABCD中，∠DAB =∠BCD = 90？，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1 + S4 = 100，S3 = 36，则S2 =（ ）.
A.136 B.64 C.50 D.81 （答案：B）
变式5 如图所示，是一种"羊头"形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一条边为斜边作等腰直角三角形，然后再以这个等腰直角三角形两直角边为边作正方形②和②′，如此继续下去...，若正方形①的面积为64，则正方形⑥的面积为 .
（答案：2）
变式6：如图，Rt△ABC中，BC = 12，AC = 5，分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积是 .
（答案：30. 习题结论：S阴影 = S△ABC）
变式7：（2008，陕西）如图，梯形ABCD中，
AB∥DC，∠ADC +∠BCD = 90？，且DC = 2AB，分
别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积
分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是 .
（答案：S1 + S3 = S2）
变式8：如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）.
A.4 B.6 C.16 D.55
（答案：C）
变式9：在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1 + S2 + S3 + S4 = . （答案：4）
变式10：（2008，浙江台州）如图，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，边长分别为a，b，c；A，B，N，E，F五点在同一直线上，则c = （用含有a，b的代数式表示）.（答案：）
变式11：如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1 = S2 + S3.
（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？（不必证明）
（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；
（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；
（4）类比（1）、（2）、（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论。
在进行教材例题与习题的拓展变换时，必须尊重学习实际，符合课程标准要求，切忌盲目，更不要把高中内容直接下放给初中学生.
例：在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，提炼研究对象的本质特征.
比如"同底数幂的乘法法则"的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由"特殊"到"一般"进行抽象概括的；我们还知道：
，，，，.......
（1） 请你根据上面的材料归纳出a，b，c（a>b>0，c>0）之间的一个数学关系式；
（2） 试用（1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不饱和），则糖水更甜了；
（3） 如图7，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=a，CA=b，AD=BE=c（a>b）.能否根据这个图形提炼出与（1）中同样的关系式？并给予证明。
点评：本题前面的一段"大帽子"与整个题目相比较显得脱节和无意义，并不能对三个问题形成有力的指导，而且很有可能对小题（1）形成理解障碍；小题（1）"请你根据上面的材料归纳出a、b、c（a>b>0，c>0）之间的一个数学关系式"十分含糊，会有很多学生无法理解是哪方面的关系，这样（2）、（3）小题更无所适从.而知道"糖水变甜模型"的学生能从（2）小题中获得启示，从而明确（1）小题的意思，因此本题难于体现出公平性，不能保证同一水平考生考试成绩结果的一致性。
参考文献
[1]王金战王志进《中考抢分三十六计》吉林教育出版社2011.4
[2]刘东升余中华《数学是怎样学好的》（初中版）吉林教育出版社2011.4