函数求导题是全国2卷中的必考题而考生们在导数题中总是存在问题。如09年贵州省适应性考试中有这样一个函数题:已知函数f(x)=x2-2lnx,①求f(x)的最小值;②当t>-1时,若f(x)≥2tx-在x∈(0,1]内恒成立,求t的取值范围。
　　同学们在做的时候总会出现这样或那样的问题,有的同学对自变量取值范围易忽略,导致求最值、变化区间取值造成错误,第一个问题很多同学都可以顺利完成,但是第二问的解法中却常出现这样两种错误解法:
　　解:方法一:考虑f(x)≥2tx-在x∈(0,1]内恒成立,即x2-2lnx≥2tx-?圳x2+≥2tx+2lnx,对x∈(0,1]恒成立。由于x2+≥2,故考虑2tx+2lnx≤2?圳tx+lnx≤1在x∈(0,1]内恒成立。
　　由于x∈(0,1],则tx+lnx≤1?圳t≤
　　设?渍(x)=,x∈(0,1]
　　则?渍'(x)==<0
　　说明?渍(x)在(0,1]内是减函数∴ ?渍(x)min=?渍(1)=1
　　注意到t>-1,故所求的范围是(-1,1]。
　　方法二:由①x∈(0,1]时,f(x)min=f(1)=1,这样考虑2tx-≤1?圳2t≤+在x∈(0,1]内恒成立。
　　设?渍(x)=+,x∈(0,1],则?渍'(x)=-(+)<0
　　故?渍(x)在(0,1]内是减函数∴ ?渍(x)min=?渍(1)=2
　　由2t≤?渍(x)min=2,及t>-1,得t的范围是(-1,1]
　　两种解法都忽略了变量x同时出现在等式两边,所以只要对每一个x都有f(x)≥2tx-即可,对于这个题而言,其实可以有三种做法:
　　方法一:设g(x)=2tx-,x∈(0,1]
　　则g'(x)=2t+=2(t+)∵ x∈(0,1]∴ ≥1
　　而t>-1 故g'(x)=2(t+)>0
　　∴ g(x)在(0,1]内是增函数∴ g(x)max=g(1)=2t-1
　　又∵ ①x∈(0,1]时,f(x)min=f(1)=1,f(x)为减函数
　　∴ t>-12t-1≤1?圳t∈(-1,1]
　　方法二:由x2-2lnx≥2tx-?圳2tx≤x2-2lnx+及x∈(0,1],等价考虑不等式:
　　2t≤x-+在t>-1时,对x∈(0,1]恒成立
　　设?渍(x)=x-+,则?渍'(x)=1--
　　∵ x∈(0,1]∴ ?渍'(x)=<0
　　故?渍(x)在(0,1]内是减函数∴ ?渍(x)min=?渍(1)=2
　　由2t≤?渍(x)min=2,及t>-1,得t的范围是(-1,1]
　　方法三:由x2-2lnx≥2tx-?圳x2-2lnx-2tx+≥0
　　设h(x)=x2-2lnx-2tx+
　　则h'(x)=2x--2t-=-2(t+)
　　由x∈(0,1],t>-1知≤0,-2(t+)<0
　　故h'(x)<0∴ h(x)在(0,1]内是减函数
　　∴ h(x)≥h(1)=2-2t
　　∵ f(x)≥2tx-在x∈(0,1]内恒成立
　　∴ t>-12-2t≥0?圳t∈(-1,1]