函数是高中数学的主线，也是高中数学的灵魂．函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域似乎非常简单，然而若在解决函数问题中稍加不注意，常常就会误入歧途。在多数函数问题中，起点并不高，解题思路自然明了，但不少学生在求解时往往由于忽视了函数的定义域而导致错解。因此在解函数问题时，我们应透彻理解函数定义域与函数其它性质之间的关系和相互作用，重视定义域对解题的作用与影响。现将平时学习中出现忽视“定义域”的错误进行分析归类，希望同学们能引以为戒。
　　一、求值域时忽视定义域
　　例1求函数的值域。
　　错解：因为
　　且 ，所以函数的值域为{y∈R|y≠1}。
　　剖析：出错原因是忽视了函数的定义域，上述运算过程中扩大了函数的定义域。
　　正解：
　　当x＝1时，y＝－，所以y≠－，又因为≠0，所以y≠1，
　　故函数 的值域为{y|y≠1且y≠－}.
　　总结：若一个函数的定义域和对应关系一经确定，那么它的值域也就确定了。所以求函数的值域时应特别注意其定义域和对应关系。尤其是在对函数解析式进行恒等变形时，一定要注意定义域是否发生变化。
　　二、求函数的单调区间时忽视定义域
　　例2求函数f(x)＝ 的单调区间。
　　错解：设u＝x2＋x－6＝(x＋)2－ ，
　　∴当x∈[－，＋∞)时，u＝x2＋x－6是增函数；当x∈(－∞，
　　－]时，u＝x2＋x－6是减函数，且y＝ 在(0，＋∞)上是增函数，
　　所以f(x)＝ 的单调增区间为[－，＋∞)，单调减区间为(－∞，－]。
　　剖析：上述解法忽略了函数的定义域，从而导致错误，在解此类问题时，应首先确定函数的定义域。
　　正解：因为x满足x2＋x－6≥0，所以x≥2，或x≤－3，
　　所以函数的定义域为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
　　而u＝x2＋x－6＝(x＋)2－ 在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，
　　且y＝ 在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)＝ 的单调增区间为[2，＋∞)，单调减区间为(－∞，－3]。
　　总结：函数的单调区间一定是其定义域的子集，所以求函数的单调区间一定要先看(或求)函数的定义域。
　　三、在解不等式时忽视定义域
　　例3已知f(x)是定义在[0，1]上的增函数，若f(a－2)－f(a2－4)＜0，求实数a的取值范围。
　　错解：原不等式可变形为f(a－2)＜f(a2－4)，因为f(x)是定义在[0，1]上的增函数，
　　所以a－2＜a2－4，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1．
　　剖析：错解忽视了函数的定义域。事实上，应有0≤a－2≤1且0≤a2－4≤1．
　　正解：原不等式可变形为f(a－2)＜f(a2－4)，又f(x)是定义在[0，1]上的增函数，
　　所以2＜a≤ ．
　　总结：利用函数的单调性解不等式时，除了考虑单调性外，更要考虑函数的定义域。
　　四、求函数解析式时忽视定义域
　　例4已知f(x－2)＝x2－4x＋2，x∈[－10，11]，求f(x)的解析式。
　　错解：将函数变形为f(x－2)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2，令u＝x－2，得f(u)＝u2－2，即f(x)＝x2－2，x∈[－10，11]。
　　剖析：错解误以为[－10，11]是函数f(x)的定义域，事实上它是y＝f(x－2)的定义域．
　　正解：因为x∈[－10，11]，则－12≤x－2≤9，
　　将函数变形为f(x－2)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2，u＝x－2，得f(u)＝u2－2，即f(x)＝x2－2，x∈[－12，9]。
　　总结：在用解析式法表示函数时，除了要求解函数的解析式外，更要考虑函数自变量本身的取值范围。
　　五、判断奇偶性时忽视定义域
　　例5判断函数f(x)＝ 的奇偶性。
　　错解：因为 ，所以f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
　　剖析：错解忽视了函数的定义域。
　　正解：因为所以－2≤x≤2且x≠0，故x＋3＞0，從而原函数可化简成
　　此时 因此f(x)是奇函数。
　　总结：由函数的奇偶性不难得出，判断函数的奇偶性，首先应判断函数的定义域是否关于原点对称。
　　通过以上例子，我们不难得出，函数的定义域在函数的三要素中起着举足轻重的作用。因此我们在解函数的有关问题时，大脑应时刻紧绷“函数的定义域”这根弦，这样既有利于培养同学们思维的严密性和逻辑性，也有利于提高求解函数问题的能力和方法。
　　（作者单位：河北省滦南县第一中学）