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摘 要：“数学广角”是人教版小学数学教材中的亮点，侧重于培养学生的数学素养。探究—建构教学模式是以问题为中心，以“寻疑—示疑—探疑—质疑—点疑—析疑—留疑”为步骤的教学过程。以“鸽巢问题”教学为例，探究—建构教学模式将问题贯彻全过程，重视教师指导，同时要求教师妥善把握课堂进程。探究—建构模式在“数学广角”教学中的应用，有助于把学生培养成有独立数学思维、数学思想的人。
关键词：探究—建构教学模式;数学广角;数学思维;数学素养
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：2095-5995（2020）02-0048-04
一、问题的提出
《义务教育数学课程标准（2011版）》中提出，教师在数学教学时要引导学生独立思考、主动探索、合作交流，帮助学生获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习，[1]不断增强学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，进一步培养学生的创新意识和创新能力。为有效落实这一目标，人教版教科书从二年级上册到六年级下册的最后一个单元特别增设了“数学广角”这一板块，期望通过生动有趣的生活化案例与数学故事，激发学生对数学学习的兴趣，系统且有步骤地引导学生感悟和理解数学思想方法。然而，在数学课堂教学实践中，教师对“数学广角”的教学却存在诸多问题。一方面，部分数学教师对“数学广角”的教学目标把握不准，把“数学广角”与其他单元等同视之，在课堂上往往重视问题解决而轻视思想方法，或重视方法灌输而轻视过程指导;另一方面，由于“数学广角”缺乏相关的教学实施建议，许多教师在课堂上随意对待，既不重视教学方法的选取，也不重视教学材料的组织，“数学广角”教学时常演变成学生的自学课或阅读课。很显然，诸如此般的“数学广角”教学并未遵循编者的初心，其结果只能是与培育学生的数学素养背道而驰。
建构主义学习理论认为，学习者对于整个问题或学习任务拥有自主权，教师教学的一个重要目标是发展学生的自我控制技能，使学生成为自主的学习者。[2]探究—建构教学模式由王培德提出，是指导学生以积极探索的方式建立知识结构和能力结构，让学生体验个性化的认知过程，实现心理结构自我构建的教学模式。“数学广角”理想的教学效果是学生能用“数学广角”学习过程中获得的思考问题的方法去解决生活中的实际问题。探究—建构教学模式下，学生的求疑、释疑心理能更加精确地为教师所捕捉;在教师引导下自主发现问题、提出问题、探究问题、解决问题的过程中，学生能从数学思想和数学活动经验等多个维度有所收获，进而提高自身数学素养。
二、探究—建构教学模式下“鸽巢问题”的教学过程 雅斯贝尔斯认为，教育者不能无视学生的现实处境和精神状况，而认为自己比学生优越，对学生耳提面命，不能与学生平等相待，更不能向学生敞開自己的心扉，这样的教育者制定的教学计划，必然以自我为中心。当教师只是把答案灌输给学生以便让他们记住时，他（她）会把学生推回到机械的、自然的水平，在这个水平上，学生将退化成无动机或条件反射式的动物。[3]教学必须由“目中无人”转变为“目中有人”，直至“全身心育人”。探究—建构教学模式主张教师与学生以问题为中心共同探究，在学习过程中增进彼此的了解与信任，使师生之间的情感发生碰撞，让教师得以进入学生的精神世界，构建知识与情感相互交融的师生共同体，增强学生自我效能感，促使学生个性的成长。本模式中的“探究”是指学生积极参与教师教学的全过程，独立探索或共同探索而达成主动学习的活动。本模式中“建构”是指数学学习是主动的建构过程，而不是被动地接受过程。学生在探究学习的基础之上，自主建构认知结构，进而完善自身心理结构。本教学模式的主要教学环节分为7个阶段：寻疑，示疑，探疑，质疑，点疑，析疑，留疑。
（一）寻疑——课前预习，发现问题
“寻疑”是学生课前预习的中心任务，其目的在于让学生自主发现其认知的疑难点。寻疑不仅能培养学生的自学能力，使其养成良好的课前预习习惯，也可以改变其过度依赖教师、被动学习的局面。这样一来，学生在课上会带着课前预习发现的问题投入学习，这无疑激发了学生的学习兴趣，激活了学生的求知欲望。如在学习“鸽巢问题”之前，学生需要自主预习教科书第68页至第70页，细读并思考教科书上的三个例题。预习之后，学生往往对“总有”“一定有”“至少”等较为抽象的逻辑判断词汇会产生一定的困惑，且难以理解例题的推导过程。
（二）示疑——创设情境，揭示问题
在学生寻疑的基础上，教师要有目的地引入或创造具有一定情境的、以形象为主体的、生动具体的场景，借助这些物景来阐述主要的典型问题。对于学生无法利用已有知识解决的问题，教师要以真实情境的方式呈现，引导学生主动地参与到课堂中来。如在学习“鸽巢问题”之初，教师可以利用学生熟悉的扑克牌设计游戏。教师将手中的扑克牌去掉两张王，请5位同学上台，随机抽出一张，并由教师猜花色。三轮游戏过后，教师总是猜测“至少有两张牌的花色是相同的”，这就激起了学生的好奇心。此时，教师就可以将问题进行归纳并予以清晰阐述，进而切入本节课的主题“鸽巢问题”，带领学生展开探究。
（三）探疑——深入课堂，紧扣问题
第斯多惠说：一个坏的老师奉送真理，一个好的老师则教人发现真理。教师把握好了探疑，也就抓住了课堂教学的脉搏。探疑是对创设情境所揭示的问题进行反复、持续的探究。在探索过程中学生可能会产生许多对解决问题有利的想法，教师应集中地把较有代表性的列出来，引导学生分析和预测该方法的可行性。如，教师出示例1——“把4个苹果放进3个抽屉里，可以怎么放？”教师可以组织学生以个人或同桌为单位，利用学具或画图来探讨摆放方法，并做好详细记录。学生通过交流反馈后，发现有四种不同的方法：（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1）。随后教师可请学生用语言表述这四种方法，引导学生学会数学化的表达。在随后几组练习中，教师就可以与学生共同总结出这样的结论：不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进了2个苹果。这时，教师可以引导学生抓住“总有”“至少”两个关键词，进一步对“总有”“至少”的含义作出规范性描述，以此强化学生对相关联的逻辑判断词进行整理和区分的能力。 （四）质疑——发散思维，审思问题
古人云：“于不疑处有疑，方是进矣。”质疑，就是要不断启发学生提出有明确指向性的问题。教师要鼓励学生从不同方向、不同角度质疑，尤其要注重培养学生质疑的及时性。对于学生脑子里常常出现的闪念，教师切不可置若罔闻。这种闪念，往往意味着学生思维进入最佳状态，是最富有创造性的时候。闪念的价值十分珍贵，一旦出现，教师就可以借此拓展和深化教学内容。如教师提问，将100个苹果放进99个抽屉，一个抽屉至少有几个苹果？学生思考发现用枚举法解决此问题存在困难。这时教师要及时指出，枚举法适用于数量较少的问题，询问学生是否还有其他的方法，尤其是针对数量较多的情况。可见，利用好闪念，教师可以顺势推进课堂教学。
（五）点疑——点拨迷津，拓展问题
在学生质疑的基础上，教师应根据问题的性质、难易或综合程度给予启发性指导，引导他们学会如何思考，进一步激发他们的求知动机。教师需要创造一个愉快轻松的学习环境，让学生自由学习。在启发过程中，教师可以通过提问来检查学生的思维，但在提问中要尽力避免引导或暗示，给予的点拨要恰当、得体，以给学生留有思考余地。如，在熟悉教科书上的例题后，针对教师抛出的“怎样才能使这个抽屉里放进的苹果尽可能少呢？”这一问题，学生表示可以先把苹果平均分，然后把剩下的苹果再放入其中一个抽屉。教师继而追问平均分的目的是什么，并组织学生讨论交流。随后，教师引导学生展开分析，从最不利的情况来考虑，先平均分，假设每个抽屉里都放进1个苹果，就可以使放的较多的这个抽屉里的苹果尽可能少，学生能很快地得出不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进了2个苹果的结论。教师继续提问，这种情况怎么用算式表示出来呢？然后请学生上台板书：4÷3=1……1，1+1=2。最后，教师小结：在数学上我们把这种方法叫作假设法。
（六）析疑——解惑答疑，升华问题
在质疑和点疑的基础上，教师通过析疑来进一步调动学生探索欲望，有助于学生思维的发展。学起于思，思源于疑，有疑才能有思，无思则不能释疑。教师释疑可以使学生初步形成图式结构，从一种情境迁移到另一种情境，并将渐趋复杂的图式结构系统建构为自身的认知结构。教师析疑不是简单地回答学生的问题，而是和学生一起共同探讨解决问题的办法。析疑给学生和教师都提供了共同创造成功、体验成功的机会和条件，使教师和学生共享成功的喜悦。如学生对于假设法解题中到底是“商+1”还是“商+余数”存在争议，这时教师出示练习题，让学生在不同的问题中去归纳总结。学生经过训练，能独立解决问题，交流反馈后最终知道答案是“商+1”。教师再次强调，学生完成相应练习时，一定要搞清楚什么是“抽屉”，什么是“苹果”。教师总结课堂内容，归纳得出：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有2个或2个以上的苹果。这就是“抽屉原理”，也叫“鸽巢问题”。
（七）留疑——反思余味，留下问题
在析疑之后，即基本完成了课堂教学任务之后，教师可留下富有启发性和开放性的思考题，给学生充分的思考余地和广阔的探索空间。留疑过程应充分考虑学生的个体差异，学生的基础不同，课堂吸收率也不尽相同。教师可布置4个题目，让学生根据自身情况去完成。第一题：咱们班上有45个学生，那么至少有几个同学在同一个月生日？第二题：把11本书放进3个抽屉，那至少有一个抽屉有几本书呢？第三题：刘阿姨参加飞镖比赛，投了5镖，战绩是41环。刘阿姨至少有一镖不低于9环，为什么？第四题：一个口袋里放有若干个红黄蓝三种颜色的球，先从中取出一些球，至少要取出多少球才一定会有2个球的颜色是一样的？这些问题可以帮助学生巩固复习和深入思考如何用数学语言表示鸽巢问题。
三、探究—建构模式下“数学广角”教学中需注意的问题 “数学广角”以大众化的、生活化的方式反映数学的思想与方法，使学生在贴近实际的问题情境中，通过观察、操作、思考、交流和运用，逐步形成良好的数学思维习惯，强化应用意识，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心。在探究—建构教学模式下，“数学广角”的学习始终是学生自主建构数学知识体系、形成问题解决能力、发展学科思维品质的过程。在学习的全过程尤其是课堂教学中，教师要找好自己的角色定位，积极引导学生全程参与探究，以便学生有效地建构和发展自己的知识体系和思维结构。值得注意的是，要恰到好处地利用探究—建构教学模式进行“数学广角”的教学，教师需要从全局上正确、合理地把握该模式的核心特征，以便在教学时融会贯通。
（一）將问题贯穿始终
陈献章曾指出：“学贵有疑，大疑大进，小疑小进，疑而能问，已得智识之半。”[4]在探究—建构教学模式中，问题始终贯穿于教学的全过程，含括在寻疑、示疑、探疑、质疑、点疑、析疑和留疑每一环节中，即教师在寻疑时鼓励学生发现问题，在示疑时帮助学生明确问题，在探疑时引导学生抓住问题，在质疑时推动学生审视问题，在点疑时辅助学生解决问题，在析疑时带动学生拓展问题，在留疑时提倡学生应用问题。值得注意的是，在作为课堂主体部分的探疑阶段，教师要通过个人或小组合作学习的形式让学生自由探索，积极参与，大胆阐释问题。当然，并非学生的每一次探索都能产生与解决问题直接相关的发现和创造，但其意义绝不仅仅在于寻得正确答案，而在于激发学生对问题的敏感性和好奇心，使学生养成批判性思维，形成自己独立的见解，这是教学中可遇而不可求的生成性、创造性成果。在析疑阶段，教师也不能单单关注学生回答问题的对错，而是要因势利导，启发学生进行知识迁移，培养学生跨情境思考问题的能力。
（二）重视教师指导
以往探究教学中存在一个很大的问题：学生的学习积极性被调动起来了，课堂上呈现出活跃的氛围，但实际上学生并未完全掌握教师预设的教学内容。导致这种现象的一个重要原因就是教师缺乏对学生学习过程进行针对性指导。探究—建构教学模式是突出学生主体地位的教学法，遵循该模式的教学是师生双边的活动过程，也是师生相互依赖、相互合作的辩证统一过程。教师要明确自身角色定位，即组织者和引导者而非问题解题者，同时也要引导和督促学生成为主动探索知识的建构者，而非单纯的模仿者。在课堂中，教师要善于捕捉学生的“认知失衡点”，把握学生的学习心理特征，然后以平等、尊重的态度鼓励学生积极参与到教学活动中来，循序渐进地启发、引导学生共同探索，与学生一起感受、体验成
功和挫折，生成、分享和交流成果。
（三）妥善把握课堂进程
探究—建构教学模式的教学过程分为七个环节，看起来操作比较烦琐，教学节奏不易把控，课堂效率较低，教学目标难以达成。实际上，教师只要课前认真备课，把握课程标准的理念和要求，熟悉教科书中的关键性内容，了解学生认知和理解上的疑难点;课中营造一种轻松、愉悦、活泼的氛围，然后充分利用自己的教学经验调节课堂进程，妥善处理好各环节的衔接;课后注重教学反思与学生反馈，就能取得不错的教学效果。当然，尽管新授课强调课堂教学的实效性，但教师切不可因一味追赶教学进度而忽略了学生提出的有意义、有价值的想法和观点，以免影响了学生的积极性，得不偿失。
“数学广角”的教学意在培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，让学生积累活动经验，提高学生解决现实问题的能力。在“数学广角”教学过程中，教师要引导学生提出问题、发现问题、解决问题，促进学生知识结构的自主建构，使学生爱学、会学、活学。由爱学而入境，会学而晓理，活学而动情，整个教学系统就能产生最大限度的共鸣。[5]教师运用探究—建构教学模式来对“数学广角”实施教学，可以把学生培养成有独立数学思维、数学思想的一代新人。
（王聪培 黄威，湖南师范大学教育科学学院，长沙 410081）
参考文献：
[1] 教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：5.
[2] 韩四清.建构理论下自主学习小学数学教学模式构想[J].河北师范大学学报：教育科学版，2000（2）：94-98.
[3] 王治高.学校制度文化的反思与重构[J].教育研究与实验，2015（05）：23-27.
[4] 余斌.生物学教学中培养学生质疑的尝试[J].成都教育学院学报，2001（12）：73.
[5] 王培德.在数学教学中培养学生爱学会学活学[J].数学教育学报，1993（1）：91-92.
（责任编辑：徐 璐）
关键词：探究—建构教学模式;数学广角;数学思维;数学素养
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：2095-5995（2020）02-0048-04
一、问题的提出
《义务教育数学课程标准（2011版）》中提出，教师在数学教学时要引导学生独立思考、主动探索、合作交流，帮助学生获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习，[1]不断增强学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，进一步培养学生的创新意识和创新能力。为有效落实这一目标，人教版教科书从二年级上册到六年级下册的最后一个单元特别增设了“数学广角”这一板块，期望通过生动有趣的生活化案例与数学故事，激发学生对数学学习的兴趣，系统且有步骤地引导学生感悟和理解数学思想方法。然而，在数学课堂教学实践中，教师对“数学广角”的教学却存在诸多问题。一方面，部分数学教师对“数学广角”的教学目标把握不准，把“数学广角”与其他单元等同视之，在课堂上往往重视问题解决而轻视思想方法，或重视方法灌输而轻视过程指导;另一方面，由于“数学广角”缺乏相关的教学实施建议，许多教师在课堂上随意对待，既不重视教学方法的选取，也不重视教学材料的组织，“数学广角”教学时常演变成学生的自学课或阅读课。很显然，诸如此般的“数学广角”教学并未遵循编者的初心，其结果只能是与培育学生的数学素养背道而驰。
建构主义学习理论认为，学习者对于整个问题或学习任务拥有自主权，教师教学的一个重要目标是发展学生的自我控制技能，使学生成为自主的学习者。[2]探究—建构教学模式由王培德提出，是指导学生以积极探索的方式建立知识结构和能力结构，让学生体验个性化的认知过程，实现心理结构自我构建的教学模式。“数学广角”理想的教学效果是学生能用“数学广角”学习过程中获得的思考问题的方法去解决生活中的实际问题。探究—建构教学模式下，学生的求疑、释疑心理能更加精确地为教师所捕捉;在教师引导下自主发现问题、提出问题、探究问题、解决问题的过程中，学生能从数学思想和数学活动经验等多个维度有所收获，进而提高自身数学素养。
二、探究—建构教学模式下“鸽巢问题”的教学过程 雅斯贝尔斯认为，教育者不能无视学生的现实处境和精神状况，而认为自己比学生优越，对学生耳提面命，不能与学生平等相待，更不能向学生敞開自己的心扉，这样的教育者制定的教学计划，必然以自我为中心。当教师只是把答案灌输给学生以便让他们记住时，他（她）会把学生推回到机械的、自然的水平，在这个水平上，学生将退化成无动机或条件反射式的动物。[3]教学必须由“目中无人”转变为“目中有人”，直至“全身心育人”。探究—建构教学模式主张教师与学生以问题为中心共同探究，在学习过程中增进彼此的了解与信任，使师生之间的情感发生碰撞，让教师得以进入学生的精神世界，构建知识与情感相互交融的师生共同体，增强学生自我效能感，促使学生个性的成长。本模式中的“探究”是指学生积极参与教师教学的全过程，独立探索或共同探索而达成主动学习的活动。本模式中“建构”是指数学学习是主动的建构过程，而不是被动地接受过程。学生在探究学习的基础之上，自主建构认知结构，进而完善自身心理结构。本教学模式的主要教学环节分为7个阶段：寻疑，示疑，探疑，质疑，点疑，析疑，留疑。
（一）寻疑——课前预习，发现问题
“寻疑”是学生课前预习的中心任务，其目的在于让学生自主发现其认知的疑难点。寻疑不仅能培养学生的自学能力，使其养成良好的课前预习习惯，也可以改变其过度依赖教师、被动学习的局面。这样一来，学生在课上会带着课前预习发现的问题投入学习，这无疑激发了学生的学习兴趣，激活了学生的求知欲望。如在学习“鸽巢问题”之前，学生需要自主预习教科书第68页至第70页，细读并思考教科书上的三个例题。预习之后，学生往往对“总有”“一定有”“至少”等较为抽象的逻辑判断词汇会产生一定的困惑，且难以理解例题的推导过程。
（二）示疑——创设情境，揭示问题
在学生寻疑的基础上，教师要有目的地引入或创造具有一定情境的、以形象为主体的、生动具体的场景，借助这些物景来阐述主要的典型问题。对于学生无法利用已有知识解决的问题，教师要以真实情境的方式呈现，引导学生主动地参与到课堂中来。如在学习“鸽巢问题”之初，教师可以利用学生熟悉的扑克牌设计游戏。教师将手中的扑克牌去掉两张王，请5位同学上台，随机抽出一张，并由教师猜花色。三轮游戏过后，教师总是猜测“至少有两张牌的花色是相同的”，这就激起了学生的好奇心。此时，教师就可以将问题进行归纳并予以清晰阐述，进而切入本节课的主题“鸽巢问题”，带领学生展开探究。
（三）探疑——深入课堂，紧扣问题
第斯多惠说：一个坏的老师奉送真理，一个好的老师则教人发现真理。教师把握好了探疑，也就抓住了课堂教学的脉搏。探疑是对创设情境所揭示的问题进行反复、持续的探究。在探索过程中学生可能会产生许多对解决问题有利的想法，教师应集中地把较有代表性的列出来，引导学生分析和预测该方法的可行性。如，教师出示例1——“把4个苹果放进3个抽屉里，可以怎么放？”教师可以组织学生以个人或同桌为单位，利用学具或画图来探讨摆放方法，并做好详细记录。学生通过交流反馈后，发现有四种不同的方法：（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1）。随后教师可请学生用语言表述这四种方法，引导学生学会数学化的表达。在随后几组练习中，教师就可以与学生共同总结出这样的结论：不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进了2个苹果。这时，教师可以引导学生抓住“总有”“至少”两个关键词，进一步对“总有”“至少”的含义作出规范性描述，以此强化学生对相关联的逻辑判断词进行整理和区分的能力。 （四）质疑——发散思维，审思问题
古人云：“于不疑处有疑，方是进矣。”质疑，就是要不断启发学生提出有明确指向性的问题。教师要鼓励学生从不同方向、不同角度质疑，尤其要注重培养学生质疑的及时性。对于学生脑子里常常出现的闪念，教师切不可置若罔闻。这种闪念，往往意味着学生思维进入最佳状态，是最富有创造性的时候。闪念的价值十分珍贵，一旦出现，教师就可以借此拓展和深化教学内容。如教师提问，将100个苹果放进99个抽屉，一个抽屉至少有几个苹果？学生思考发现用枚举法解决此问题存在困难。这时教师要及时指出，枚举法适用于数量较少的问题，询问学生是否还有其他的方法，尤其是针对数量较多的情况。可见，利用好闪念，教师可以顺势推进课堂教学。
（五）点疑——点拨迷津，拓展问题
在学生质疑的基础上，教师应根据问题的性质、难易或综合程度给予启发性指导，引导他们学会如何思考，进一步激发他们的求知动机。教师需要创造一个愉快轻松的学习环境，让学生自由学习。在启发过程中，教师可以通过提问来检查学生的思维，但在提问中要尽力避免引导或暗示，给予的点拨要恰当、得体，以给学生留有思考余地。如，在熟悉教科书上的例题后，针对教师抛出的“怎样才能使这个抽屉里放进的苹果尽可能少呢？”这一问题，学生表示可以先把苹果平均分，然后把剩下的苹果再放入其中一个抽屉。教师继而追问平均分的目的是什么，并组织学生讨论交流。随后，教师引导学生展开分析，从最不利的情况来考虑，先平均分，假设每个抽屉里都放进1个苹果，就可以使放的较多的这个抽屉里的苹果尽可能少，学生能很快地得出不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进了2个苹果的结论。教师继续提问，这种情况怎么用算式表示出来呢？然后请学生上台板书：4÷3=1……1，1+1=2。最后，教师小结：在数学上我们把这种方法叫作假设法。
（六）析疑——解惑答疑，升华问题
在质疑和点疑的基础上，教师通过析疑来进一步调动学生探索欲望，有助于学生思维的发展。学起于思，思源于疑，有疑才能有思，无思则不能释疑。教师释疑可以使学生初步形成图式结构，从一种情境迁移到另一种情境，并将渐趋复杂的图式结构系统建构为自身的认知结构。教师析疑不是简单地回答学生的问题，而是和学生一起共同探讨解决问题的办法。析疑给学生和教师都提供了共同创造成功、体验成功的机会和条件，使教师和学生共享成功的喜悦。如学生对于假设法解题中到底是“商+1”还是“商+余数”存在争议，这时教师出示练习题，让学生在不同的问题中去归纳总结。学生经过训练，能独立解决问题，交流反馈后最终知道答案是“商+1”。教师再次强调，学生完成相应练习时，一定要搞清楚什么是“抽屉”，什么是“苹果”。教师总结课堂内容，归纳得出：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有2个或2个以上的苹果。这就是“抽屉原理”，也叫“鸽巢问题”。
（七）留疑——反思余味，留下问题
在析疑之后，即基本完成了课堂教学任务之后，教师可留下富有启发性和开放性的思考题，给学生充分的思考余地和广阔的探索空间。留疑过程应充分考虑学生的个体差异，学生的基础不同，课堂吸收率也不尽相同。教师可布置4个题目，让学生根据自身情况去完成。第一题：咱们班上有45个学生，那么至少有几个同学在同一个月生日？第二题：把11本书放进3个抽屉，那至少有一个抽屉有几本书呢？第三题：刘阿姨参加飞镖比赛，投了5镖，战绩是41环。刘阿姨至少有一镖不低于9环，为什么？第四题：一个口袋里放有若干个红黄蓝三种颜色的球，先从中取出一些球，至少要取出多少球才一定会有2个球的颜色是一样的？这些问题可以帮助学生巩固复习和深入思考如何用数学语言表示鸽巢问题。
三、探究—建构模式下“数学广角”教学中需注意的问题 “数学广角”以大众化的、生活化的方式反映数学的思想与方法，使学生在贴近实际的问题情境中，通过观察、操作、思考、交流和运用，逐步形成良好的数学思维习惯，强化应用意识，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心。在探究—建构教学模式下，“数学广角”的学习始终是学生自主建构数学知识体系、形成问题解决能力、发展学科思维品质的过程。在学习的全过程尤其是课堂教学中，教师要找好自己的角色定位，积极引导学生全程参与探究，以便学生有效地建构和发展自己的知识体系和思维结构。值得注意的是，要恰到好处地利用探究—建构教学模式进行“数学广角”的教学，教师需要从全局上正确、合理地把握该模式的核心特征，以便在教学时融会贯通。
（一）將问题贯穿始终
陈献章曾指出：“学贵有疑，大疑大进，小疑小进，疑而能问，已得智识之半。”[4]在探究—建构教学模式中，问题始终贯穿于教学的全过程，含括在寻疑、示疑、探疑、质疑、点疑、析疑和留疑每一环节中，即教师在寻疑时鼓励学生发现问题，在示疑时帮助学生明确问题，在探疑时引导学生抓住问题，在质疑时推动学生审视问题，在点疑时辅助学生解决问题，在析疑时带动学生拓展问题，在留疑时提倡学生应用问题。值得注意的是，在作为课堂主体部分的探疑阶段，教师要通过个人或小组合作学习的形式让学生自由探索，积极参与，大胆阐释问题。当然，并非学生的每一次探索都能产生与解决问题直接相关的发现和创造，但其意义绝不仅仅在于寻得正确答案，而在于激发学生对问题的敏感性和好奇心，使学生养成批判性思维，形成自己独立的见解，这是教学中可遇而不可求的生成性、创造性成果。在析疑阶段，教师也不能单单关注学生回答问题的对错，而是要因势利导，启发学生进行知识迁移，培养学生跨情境思考问题的能力。
（二）重视教师指导
以往探究教学中存在一个很大的问题：学生的学习积极性被调动起来了，课堂上呈现出活跃的氛围，但实际上学生并未完全掌握教师预设的教学内容。导致这种现象的一个重要原因就是教师缺乏对学生学习过程进行针对性指导。探究—建构教学模式是突出学生主体地位的教学法，遵循该模式的教学是师生双边的活动过程，也是师生相互依赖、相互合作的辩证统一过程。教师要明确自身角色定位，即组织者和引导者而非问题解题者，同时也要引导和督促学生成为主动探索知识的建构者，而非单纯的模仿者。在课堂中，教师要善于捕捉学生的“认知失衡点”，把握学生的学习心理特征，然后以平等、尊重的态度鼓励学生积极参与到教学活动中来，循序渐进地启发、引导学生共同探索，与学生一起感受、体验成
功和挫折，生成、分享和交流成果。
（三）妥善把握课堂进程
探究—建构教学模式的教学过程分为七个环节，看起来操作比较烦琐，教学节奏不易把控，课堂效率较低，教学目标难以达成。实际上，教师只要课前认真备课，把握课程标准的理念和要求，熟悉教科书中的关键性内容，了解学生认知和理解上的疑难点;课中营造一种轻松、愉悦、活泼的氛围，然后充分利用自己的教学经验调节课堂进程，妥善处理好各环节的衔接;课后注重教学反思与学生反馈，就能取得不错的教学效果。当然，尽管新授课强调课堂教学的实效性，但教师切不可因一味追赶教学进度而忽略了学生提出的有意义、有价值的想法和观点，以免影响了学生的积极性，得不偿失。
“数学广角”的教学意在培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，让学生积累活动经验，提高学生解决现实问题的能力。在“数学广角”教学过程中，教师要引导学生提出问题、发现问题、解决问题，促进学生知识结构的自主建构，使学生爱学、会学、活学。由爱学而入境，会学而晓理，活学而动情，整个教学系统就能产生最大限度的共鸣。[5]教师运用探究—建构教学模式来对“数学广角”实施教学，可以把学生培养成有独立数学思维、数学思想的一代新人。
（王聪培 黄威，湖南师范大学教育科学学院，长沙 410081）
参考文献：
[1] 教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：5.
[2] 韩四清.建构理论下自主学习小学数学教学模式构想[J].河北师范大学学报：教育科学版，2000（2）：94-98.
[3] 王治高.学校制度文化的反思与重构[J].教育研究与实验，2015（05）：23-27.
[4] 余斌.生物学教学中培养学生质疑的尝试[J].成都教育学院学报，2001（12）：73.
[5] 王培德.在数学教学中培养学生爱学会学活学[J].数学教育学报，1993（1）：91-92.
（责任编辑：徐 璐）