【摘 要】方程解的个数问题虽说是小课题但又是值得深思的问题。我们在解决相关问题时，以函数与方程、转化与化归为解题思想，以方程、图象、函数以及数学理论知识等为解题手段。在题型的结构与形式上，我们要深入细致地思考，挖掘解题的有效要素，选择的恰当解题方法，以期达到解题的目的。
　　 【关键词】方程解 图形解 函数解
　　
　　方程是贯穿整个数学课程的基本知识、基础内容，方程解的个数是常见方程问题之一，由于方程形式的多样性、结构的复杂性、内容的超越性，解方程解的个数问题时有困惑。
　　我们不要仅以方程的方法来解决该类问题，而是要突破思维定势，创建新型策略，通过形式的转化、结构的分析、方法的跨越，以达到解题的目的在多年的教学中，本人总结了定方程解个数问题的四种解法，呈现于此文，供大家参阅。
　　一、方程解数问题方程解
　　 例１．已知ｆ（ｘ）＝，求ｆ（４ｘ）＝ｘ的解的个数是
　　Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３
　　解：由ｆ（ｘ）＝得ｆ（４ｘ）＝，则方程ｆ（４ｘ）＝ｘ可化为＝ｘ．
　　４ｘ２－４ｘ＋１＝０
　　∵△＝１６－１６＝０
　　∴方程有一个实数根，显然此根不等于零．
　　因此，原方程只有一个实数根。答案为Ｂ。
　　 评析：以方程解的多少来确定方程实根的个数，这是基本的解法，这种方法适合于简单方程，如一般性整式方程，或可化为一般性的整式方程。然而，一些复杂的方程、超越方程，运用此法有一定的局限性，甚至出现无法解答的困境。
　　二、方程解数问题图形解
　　 例２．已知ｘ＋ｂ＝有两个不同的实根，则ｂ的取值范围。
　　解：设ｆ（ｘ）＝ｘ＋ｂ，ｇ（ｘ）＝，两函数的图象如图２所示，其中参数ｂ的几何意义是直线在轴上的截距。当直线在ｙ轴的截距为ｂ１时，两个图象有两个交点，向左上方平移直线，当直线在ｙ轴的截距为ｂ２时，两个图象就有一个交点了，而ｂ１＝１，ｂ２＝，所以，参数ｂ的取值为［１，）。
　　评析：图形解方程个数问题，运用了数形结合的思想，它展示了数与形的统一性、和谐性。然而美中不足之处是：
　　有时我们做图不规范、不准确，会出现一些作图的误差与错误，这将会得出错误的答案。如，ｘ∈［－π，π］，方程ｔａｎｘ＝ｓｉｎｘ解的个数是多少？我们用图形来解答时，往往会出现五个交点的错误答案，其实在原点的左右附近（即ｘ∈［－，］）两个函数的图象除了原点外，再没有其他的交点。所以我们用图形法来解答方程解个数时，一定要注意作画的正确性，规范性，尤其在易错地方，可以由图象的变化趋势及用特值来代入验证是否相交。
　　三、方程解数问题函数解
　　定理１：设函数ｆ（ｘ）在定义域Ｄ内是连续函数，若ｆ（ｘ）ｍｉｎ＞０，则至少存在一个ｘ０，ｘ０∈ｄ使得ｆ（ｘ０）＝０。
　　 定理２：设函数ｆ（ｘ）在区间上［ａ，ｂ］是单调的连续函数，若ｆ（ａ）＜０且ｆ（ｂ）＞０（或ｆ（ａ）＞０且ｆ（ｂ）＜０），则有且只有一个ｘ０，ｘ０∈［ａ，ｂ］，使得ｆ（ｘ０）＝０。
　　例３．方程ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ＝，ｘ∈（１，］解的个数是（ ）．
　　Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３
　　解：构造函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ－，可化为ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｘ＋）－２＋
　　∵ｘ∈（１，］，ｆ１（ｘ）＝ｓｉｎ（ｘ＋）与ｆ２（ｘ）＝都是减函数。
　　∴ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｘ＋）－２＋，在ｘ∈（１，］内是单调减函数。
　　又ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆ（）＝－－２＋＜０且ｘ→１，ｆ（ｘ）→＋∞．
　　∴原方程有一个解。
　　因此，答案是Ｂ．
　　 评议：函数解法用到函数的单调性、极值、边界值（或边界的变化趋势）等，特别对于有些函数有一些非连续点，我们在解题时，一定要注意在非连续点处函数图象的变化趋向，用极限的方法来解决这一问题。
　　 （湖南武冈市职业中专；４２２４００）
　　
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