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摘要：在一定条件下电力电子电路具有丰富的非线性现象，近年来将混沌动力学引入这一领域，研究其非线性现象取得了一定的成果。本文介绍了分岔理论，并应用分岔理论，结合数据采样，建立了PWM型DC/DC变换器的动力学方程，在凯莱-哈密顿定理的基础上得到了系统的频闪映射模型。
关键词：频闪映射 分岔 混沌 DC/DC 变换
中图分类号：TU855 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2013）32-363-01
1 前言
混沌现象是确定性非线性系统中一种貌似随机的运动，具有轨道不稳定性、对初始条件的敏感依赖性、长期演化行为的不可預测性以及四是具有分形的性质[1]，以往把它们当作系统随机干扰和故障来处理。实际上非线性系统混沌现象有其一定的的运动规律，当系统参数改变时，一些非线性系统将从稳定态过渡到不稳定态，因此出现多个工作状态，即产生分岔现象；当系统参数进一步变化，有可能出现无数个工作状态，导致系统工作状态失控，进入的混沌状态。
2 分岔理论及分类
研究发现，在非线性系统中，当控制参数产生变化达到某个临界值时，系统的动力学性质发生定性变化，这种现象称为分岔（bifurcations），它是非线性系统内部固有的一种特性[2，3]。
分岔理论的主要研究分岔的类型、分岔解的方向和数目、分岔解的稳定性、分岔点的位置、分岔的过程与终态等。从分岔过程来看，失去稳定状态是发生分岔的前提。分岔导致系统状态间的不连续的过渡，这就是突变。混沌理论则研究系统最后所达到的终态。
分岔可分为静态分岔、动态分岔或局部分岔、全局分岔等。静态分岔又可分为平衡点的鞍结分岔、叉式分岔、跨临界分岔等。动态分岔可以分为闭轨分岔、Hopf分岔、环面分岔、异宿分岔、同宿分岔等。其中局部分岔主要研究平衡状态或相轨迹线附近拓扑结构的变化，是全局分岔和系统大规模混沌的前兆，因此混沌研究一般从局部分岔的研究入手。
2.1 连续系统中的分岔
设有N 维动力学系统，为研究其平衡点的稳定性，以往是将该系统的平衡点处加以线性化，借助泰勒级数展开式得到原系统近似线性化方程。
其中偏导数阵称为雅可比矩阵，记作DxF。平衡点的稳定性由该系统所对应的雅可比矩阵DxF（x0，μc）的特征值决定。当雅可比矩阵中所有特征值的实部 时，则平衡点是稳定的；当至少有一个特征值的实部 时，则平衡点是不稳定的。
2.2 离散系统中的分岔
当动力学系统被建立为离散数学模型时，常用映射方程来表述：
当 时，映射式（2）有不动点 ，即
3 频闪映射模型
要研究系统的非线性动力学行为，首先应采用适当的方法对系统建立相应的动力学模型。主要有三种建模方法：状态空间平均法，分段数值法和离散迭代映射法。
要全面地分析电路系统的动力学性质，首先应建立离散迭代映射时域模型，基本方法是：
1、列出系统的分段线性状态微分方程后，求解状态转移矩阵，由此导出非线性差分方程。
2、对系统进行动力学分析时，先用牛顿-拉富逊迭代法求出平衡点，然后利用雅可比矩阵在平衡点处特征值来判断平衡点的稳定性。
根据数据采样时刻的不同，离散时间映射分为三种：频闪映射、S开关映射和A开关映射，如图1所示。
频闪映射是指在t=nT 时刻对变换器电路的各状态变量进行采样。由电路的工作原理可知，电路有两种状态切换，即从开关闭合状态切换到开关断开状态以及从开关断开状态切换到开关闭合状态。从变换器的工作过程可以得出：在一个周期内至多切换一次，从开关断开状态切换到开关闭合状态仅发生在开关周期的整数倍时刻。
图1 数据采样方法时刻选择示意图
4 PWM型DC/DC变换器中的分岔与混沌现象
PWM型DC/DC变换器中，不规则运动主要表现为周期跳跃、次谐波振荡、控制性能的不稳定，以及变换器的不规则电磁噪声等。下面以CCM状态下的BUCK变换器为例，分析其分岔与混沌现象。
以电流Ir作为分岔参数，对系统的离散模型进行迭代，可以得到的电感电流的分岔图，如图2所示。从图中可以看到，当Ir小于0.6A时，系统表现为稳定的周期行为。当Ir继续增加时，系统经历两次分岔，最终进入混沌。
变换器的稳定性条件为不动点处 。当Ir小于0.62时，系统在不动点处雅可比矩阵的特征值都小于1，此时不动点是稳定的结点，对应与图3中的单线段。当Ir大约0.62时，其中一个特征值从实轴的负半轴穿过单位圆，系统发生倍周期分岔。此时，系统原有的周期一不动点失去稳定，取而代之的出现两个稳定的解，对应与图3中的两条曲线段。最后系统进入混沌状态，此时的系统的工作点，不再是稳定的，并且为多个。从图2可以看出，这时的电感电流在一定的范围内遍历各点，而这个范围就是混沌吸引子所覆盖的范围。
图2 电路分岔图
5 结论
为了了解和深入分析DC/DC变换器的动力学行为，应用混沌动力学对PWM型DC/DC变换器进行了建模分析，是研究电力电子线路稳定性的一个很有用的工具，本文结合PWM型DC/DC变换器的动力学行为，证明了分岔与混沌现象的研究是可行的和有效的。
参考文献
[1] 尹奕光，PWM型DC/DC变换器混沌机理的研究，南京航空航天大学，2000年；
[2] 陆国兴，非线性物理概论，合肥：中国科技大学出版社，2002年；
[3] 王兴元，复杂非线性系统中的混沌，北京：电子工业出版社，2003年；
[4] 谢柳竹，PWM型DC/DC变换器中的混沌现象及其控制的研究，西南交通大学，2005年；
关键词：频闪映射 分岔 混沌 DC/DC 变换
中图分类号：TU855 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2013）32-363-01
1 前言
混沌现象是确定性非线性系统中一种貌似随机的运动，具有轨道不稳定性、对初始条件的敏感依赖性、长期演化行为的不可預测性以及四是具有分形的性质[1]，以往把它们当作系统随机干扰和故障来处理。实际上非线性系统混沌现象有其一定的的运动规律，当系统参数改变时，一些非线性系统将从稳定态过渡到不稳定态，因此出现多个工作状态，即产生分岔现象；当系统参数进一步变化，有可能出现无数个工作状态，导致系统工作状态失控，进入的混沌状态。
2 分岔理论及分类
研究发现，在非线性系统中，当控制参数产生变化达到某个临界值时，系统的动力学性质发生定性变化，这种现象称为分岔（bifurcations），它是非线性系统内部固有的一种特性[2，3]。
分岔理论的主要研究分岔的类型、分岔解的方向和数目、分岔解的稳定性、分岔点的位置、分岔的过程与终态等。从分岔过程来看，失去稳定状态是发生分岔的前提。分岔导致系统状态间的不连续的过渡，这就是突变。混沌理论则研究系统最后所达到的终态。
分岔可分为静态分岔、动态分岔或局部分岔、全局分岔等。静态分岔又可分为平衡点的鞍结分岔、叉式分岔、跨临界分岔等。动态分岔可以分为闭轨分岔、Hopf分岔、环面分岔、异宿分岔、同宿分岔等。其中局部分岔主要研究平衡状态或相轨迹线附近拓扑结构的变化，是全局分岔和系统大规模混沌的前兆，因此混沌研究一般从局部分岔的研究入手。
2.1 连续系统中的分岔
设有N 维动力学系统，为研究其平衡点的稳定性，以往是将该系统的平衡点处加以线性化，借助泰勒级数展开式得到原系统近似线性化方程。
其中偏导数阵称为雅可比矩阵，记作DxF。平衡点的稳定性由该系统所对应的雅可比矩阵DxF（x0，μc）的特征值决定。当雅可比矩阵中所有特征值的实部 时，则平衡点是稳定的；当至少有一个特征值的实部 时，则平衡点是不稳定的。
2.2 离散系统中的分岔
当动力学系统被建立为离散数学模型时，常用映射方程来表述：
当 时，映射式（2）有不动点 ，即
3 频闪映射模型
要研究系统的非线性动力学行为，首先应采用适当的方法对系统建立相应的动力学模型。主要有三种建模方法：状态空间平均法，分段数值法和离散迭代映射法。
要全面地分析电路系统的动力学性质，首先应建立离散迭代映射时域模型，基本方法是：
1、列出系统的分段线性状态微分方程后，求解状态转移矩阵，由此导出非线性差分方程。
2、对系统进行动力学分析时，先用牛顿-拉富逊迭代法求出平衡点，然后利用雅可比矩阵在平衡点处特征值来判断平衡点的稳定性。
根据数据采样时刻的不同，离散时间映射分为三种：频闪映射、S开关映射和A开关映射，如图1所示。
频闪映射是指在t=nT 时刻对变换器电路的各状态变量进行采样。由电路的工作原理可知，电路有两种状态切换，即从开关闭合状态切换到开关断开状态以及从开关断开状态切换到开关闭合状态。从变换器的工作过程可以得出：在一个周期内至多切换一次，从开关断开状态切换到开关闭合状态仅发生在开关周期的整数倍时刻。
图1 数据采样方法时刻选择示意图
4 PWM型DC/DC变换器中的分岔与混沌现象
PWM型DC/DC变换器中，不规则运动主要表现为周期跳跃、次谐波振荡、控制性能的不稳定，以及变换器的不规则电磁噪声等。下面以CCM状态下的BUCK变换器为例，分析其分岔与混沌现象。
以电流Ir作为分岔参数，对系统的离散模型进行迭代，可以得到的电感电流的分岔图，如图2所示。从图中可以看到，当Ir小于0.6A时，系统表现为稳定的周期行为。当Ir继续增加时，系统经历两次分岔，最终进入混沌。
变换器的稳定性条件为不动点处 。当Ir小于0.62时，系统在不动点处雅可比矩阵的特征值都小于1，此时不动点是稳定的结点，对应与图3中的单线段。当Ir大约0.62时，其中一个特征值从实轴的负半轴穿过单位圆，系统发生倍周期分岔。此时，系统原有的周期一不动点失去稳定，取而代之的出现两个稳定的解，对应与图3中的两条曲线段。最后系统进入混沌状态，此时的系统的工作点，不再是稳定的，并且为多个。从图2可以看出，这时的电感电流在一定的范围内遍历各点，而这个范围就是混沌吸引子所覆盖的范围。
图2 电路分岔图
5 结论
为了了解和深入分析DC/DC变换器的动力学行为，应用混沌动力学对PWM型DC/DC变换器进行了建模分析，是研究电力电子线路稳定性的一个很有用的工具，本文结合PWM型DC/DC变换器的动力学行为，证明了分岔与混沌现象的研究是可行的和有效的。
参考文献
[1] 尹奕光，PWM型DC/DC变换器混沌机理的研究，南京航空航天大学，2000年；
[2] 陆国兴，非线性物理概论，合肥：中国科技大学出版社，2002年；
[3] 王兴元，复杂非线性系统中的混沌，北京：电子工业出版社，2003年；
[4] 谢柳竹，PWM型DC/DC变换器中的混沌现象及其控制的研究，西南交通大学，2005年；