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板块模型是高中物理的经典模型，它主要涉及高中物理的核心内容，如牛顿运动定律、匀变速直线运动规律、动能定理、能量守恒定律、运动图像、动量定理与动量守恒定律等。板块模型的研究对象一般有多个，并结合多个运动过程，能够有效地考查学生的综合素养，具有良好的区分度。板块模型是高考中的热点，并且常常以大型计算题出现，是同学们在复习时必须多加留意的重难点。下面笔者通过对典型例题的剖析，总结出这类模型的特点及解题策略，以期对同学们的复习有所助益。
一、水平面上的板块模型问题
【例1】如图1所示，质量M=1 kg的木板A静止在水平地面上，在木板的左端放置一个质量m=1 kg的铁块B（大小可忽略），铁块与木块间的动摩擦因数μ1=0.3，木板的长L=1 m，用F=5 N的水平恒力作用在鐵块上，且认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2。
（1）若地面光滑，用计算说明铁块与木板间是否会发生相对滑动。
（2）若木板与地面间的动摩擦因数μ2=0.1，求铁块运动到木板右端所用的时间。
【答案】（1）不发生相对滑动 （2）s
【解析】（1）A、B之间的最大静摩擦力为μ1mg=0.3× 1×10=3（N）。假设A、B之间不发生相对滑动，则对A、B整体有：F=（M+m）a，对B有：fAB=ma，解得：fAB=2.5 N。因为fAB <μ1mg，故假设成立，即A、B之间不发生相对滑动。
（2）A、B之间发生相对滑动，则对B有：F-μ1mg=maB，对A有：μ1mg-μ2（M+m）g=MaA
据题意可得：xB-xA=L，xA=aAt2，xB=aBt2。由此可解得：t=s。
【感悟提升】判断板块之间能否发生相对滑动时，可采用“假设法”。假设不发生相对滑动，由整体法求出加速度，然后再由隔离法求出此时的摩擦力大小，与所能够提供的最大静摩擦力进行比较：若小于最大静摩擦力，则假设成立，不发生相对滑动;反之，则发生相对滑动。
【例2】如图2所示，质量M=8 kg的小车放在光滑的水平面上，在小车左端加一水平推力F=8 N，当小车向右运动的速度达到1.5 m/s时，在小车前端轻轻地放上一个大小不计、质量为m=2 kg的小物块，小物块与小车间的动摩擦因数μ=0.2，小车足够长。（取g=10 m/s2）
（1）放上小物块后，小物块及小车的加速度各为多大？
（2）经多长时间两者能达到相同的速度？
（3）从小物块放上小车开始，经过时间t=1.5 s，求小物块所通过的位移大小。
【答案】（1）2 m/s2 0.5 m/s2 （2）1 s （3）2.1 m
【解析】（1）小物块的加速度：am=μg=2 m/s2，小车的加速度：aM==0.5 m/s2。
（2）由amt=v0+aMt，可得t=1 s。
（3）在开始后1 s内小物块的位移为：x1=amt2=1 m，最
大速度为：v=amt=2 m/s。假设在接下来的0.5 s内小物块与小车相对静止，一起做加速运动，则加速度为：a==
0.8 m/s2，此时二者之间的摩擦力Ff=ma<μmg，因此假设成立。则此0.5 s内的位移为：x2=vt′+at′2=1.1 m，通过的总位
移x=x1+ x2=2.1 m。
【感悟提升】在板块模型问题中，当系统出现共速时，需要判断其能否保持共速，方法为“假设法”。假设系统出现共速后，分析和计算其受力情况，看与已知条件是否符合，若符合则假设成立，系统保持共速;反之，则不保持共速。另外，在板块模型问题中判断摩擦力的方向是关键，一定要先找到相对运动趋势或相对运动方向，利用摩擦力方向与相对运动趋势或相对运动方向相反的性质，得到摩擦力的方向。
二、斜面上的板块模型问题
【例3】如图3所示，斜面倾角为θ，一块质量为m、长为l的匀质板放在很长的斜面上，板的左端有一质量为M的物块，物块上连接一根很长的细绳，细绳跨过位于斜面顶端的光滑定滑轮并与斜面平行，开始时板的右端距离斜面顶端足够远。
（1）若板与斜面之间光滑，某人以恒力F竖直向下拉绳，使物块沿板面由静止上滑的过程中，板静止不动，求物块与板之间的动摩擦因数μ0。
（2）在（1）的情形下，求物块在板上滑行所经历的时间t0。
（3）若板与物块和斜面之间均有摩擦，且M=m，某人以恒定速度v=竖直向下拉绳，物块最终不滑离板的右端。试求板与物块之间的动摩擦因数μ1，以及μ1和板与斜面之间的动摩擦因数μ2必须满足的关系。
【答案】（1）2μ0=·tanθ
（2） t0=
（3）μ1-2μ2≥2tanθ
【解析】（1）对板m，由平衡条件可得：mgsinθ= μ0Mgcosθ，解得：μ0=·tanθ。
（2）设物块的加速度为a0，由牛顿第二定律得：F-Mgsinθ-μ0Mgcosθ=Ma0，由运动学公式得：l=a0t02，
联立方程即可解得：t0=。
（3）设板加速到v的时间为t，板的加速度为a，由牛顿第二定律可得：μ1Mgcosθ-mgsinθ-μ2（M+m）gcosθ=ma，由运动学公式可得：v=at。解得：
t=。
为使物块最终不滑离板的右端，必须满足vt-vt≤l，
由此联立上式最终可解得：μ1-2μ2≥2tanθ。所以要使物块最终不滑离板的右端，μ1与μ2必须满足μ1-2μ2≥2tanθ。
【感悟提升】解决此类问题的关键是将板块系统的重力在沿斜面方向上进行正交分解。对第2问求解加速度也可以用整体法列出方程F-（M+m）gsinθ=Ma求解而得，第3问是一个临界问题，求解的关键是弄清两者之间位移的关系，找到临界条件。 三、有关动量的板块模型问题
【例4】如图4所示，光滑水平面上有一质量M=4.0 kg的平板车，车的上表面是一段长L=1.5 m的粗糙水平轨道，水平轨道左侧连一半径R=0.25 m的四分之一光滑圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在点O′相切。现将一质量m=1.0 kg的小物块（可视为质点）从平板车的右端以水平向左的初速度v0滑上平板车，小物块与水平轨道之间的动摩擦因数μ=0.5，小物块恰能到达圆弧轨道的最高点A。（取g= 10 m/s2）
（1）求小物块滑上平板车的初速度v0的大小。
（2）求小物块与车最终相对静止时，它与点O′之间的距离。
【答案】（1）5 m/s （2）0.5 m
【解析】（1）平板车和小物块组成的系统水平方向动量守恒，设小物块到达圆弧轨道最高点A时，二者的共同速度为v1，以向左的方向为正方向。
由动量守恒可得：mv0=（M+m）v1，由能量守恒可得：mv02-（M+m）v12=mgR+μmgL。
联立方程即可解得：v0=5 m/s。
（2）设小物块最终与车相对静止时，二者的共同速度为v2，从小物块滑上平板车到二者相对静止的过程中，以向左的方向为正方向，由动量守恒可得：mv0=（M+m）v2。
设小物块与车最终相对静止时，它与O′点之间的距离为x，由能量守恒可得：mv02-（M+m）v22=μmg（L+x）。联立方程即可解得：x=0.5 m。
【感悟提升】在求解有关动量的板块模型问题时，常常需要抓住“两个守恒”，一个是动量守恒，另一个是能量守恒，通过联立方程即可求解得到问题的答案。
【例5】如图5所示，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上。某时刻小孩将冰块以相对冰面3 m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h=0.3 m（h小于斜面体的高度）。已知小孩与滑板的总质量为m1=30 kg，冰块的质量为m2=10 kg，小孩与滑板始终无相对运动。（取重力加速度的大小为g= 10 m/s2）
（1）求斜面体的质量。
（2）通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？
【答案】（1）20 kg （2）不能（理由见解析）
【解析】（1）规定向左为速度的正方向。冰块在斜面体上上升到最大高度时两者达到共同速度，设此共同速度为v，斜面体的质量为m3。由水平方向动量守恒和机械能守恒定律可得：m2v0=（m2+m3）v，m2v02=（m2+m3）v2+m2gh。
已知冰块推出时的速度为v0=3 m/s，联立方程即可解得m3=20 kg。
（2）设小孩推出冰块后的速度为v1，由动量守恒定律有m1v1+m2v0=0，代入数据可解得v1=-1 m/s。
设冰块与斜面体分离后的速度分别为v2和v3，由动量守恒和机械能守恒定律有m2v0=m2v2+m3v3，m2v02=
m2v22+m3v32。
联立方程即可解得：v2=-1 m/s。由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且冰块处在小孩后方，故冰块不能追上小孩。
【感悟提升】当滑块滑到斜面或弧面轨道的最高点时，其竖直速度为零，滑块与斜面体或弧面體具有共同的水平速度，可以根据水平方向上的动量守恒列方程来求解。
四、解决板块模型问题的一般思路与策略
1.比较初速度大小，确定摩擦力方向。
2.比较加速度大小，确定板块能否共速。
3.如出现共速，则进行受力分析，确定板块能否保持共速一起运动。
4.找准运动过程中板块分别运动的位移及相对位移。
5.如果有多段相对位移，需要求出整个过程的摩擦发热量，则摩擦发热量等于滑动摩擦力乘以各段相对位移的大小之和，即Q=fS相对路程。
总之，解决板块模型问题，首先要从物理情景中确定研究对象，根据板块间的相互作用特点和各自的受力情况，建立物理模型。其次，按物体各自的运动过程逐一分析，画出运动过程示意图，找出两物体相对运动的物理量关系。最后，挖掘隐含条件和临界条件，找出与之相对应的物理规律，结合题目中给出的某种等量关系来列出方程，最终得出答案。
一、水平面上的板块模型问题
【例1】如图1所示，质量M=1 kg的木板A静止在水平地面上，在木板的左端放置一个质量m=1 kg的铁块B（大小可忽略），铁块与木块间的动摩擦因数μ1=0.3，木板的长L=1 m，用F=5 N的水平恒力作用在鐵块上，且认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2。
（1）若地面光滑，用计算说明铁块与木板间是否会发生相对滑动。
（2）若木板与地面间的动摩擦因数μ2=0.1，求铁块运动到木板右端所用的时间。
【答案】（1）不发生相对滑动 （2）s
【解析】（1）A、B之间的最大静摩擦力为μ1mg=0.3× 1×10=3（N）。假设A、B之间不发生相对滑动，则对A、B整体有：F=（M+m）a，对B有：fAB=ma，解得：fAB=2.5 N。因为fAB <μ1mg，故假设成立，即A、B之间不发生相对滑动。
（2）A、B之间发生相对滑动，则对B有：F-μ1mg=maB，对A有：μ1mg-μ2（M+m）g=MaA
据题意可得：xB-xA=L，xA=aAt2，xB=aBt2。由此可解得：t=s。
【感悟提升】判断板块之间能否发生相对滑动时，可采用“假设法”。假设不发生相对滑动，由整体法求出加速度，然后再由隔离法求出此时的摩擦力大小，与所能够提供的最大静摩擦力进行比较：若小于最大静摩擦力，则假设成立，不发生相对滑动;反之，则发生相对滑动。
【例2】如图2所示，质量M=8 kg的小车放在光滑的水平面上，在小车左端加一水平推力F=8 N，当小车向右运动的速度达到1.5 m/s时，在小车前端轻轻地放上一个大小不计、质量为m=2 kg的小物块，小物块与小车间的动摩擦因数μ=0.2，小车足够长。（取g=10 m/s2）
（1）放上小物块后，小物块及小车的加速度各为多大？
（2）经多长时间两者能达到相同的速度？
（3）从小物块放上小车开始，经过时间t=1.5 s，求小物块所通过的位移大小。
【答案】（1）2 m/s2 0.5 m/s2 （2）1 s （3）2.1 m
【解析】（1）小物块的加速度：am=μg=2 m/s2，小车的加速度：aM==0.5 m/s2。
（2）由amt=v0+aMt，可得t=1 s。
（3）在开始后1 s内小物块的位移为：x1=amt2=1 m，最
大速度为：v=amt=2 m/s。假设在接下来的0.5 s内小物块与小车相对静止，一起做加速运动，则加速度为：a==
0.8 m/s2，此时二者之间的摩擦力Ff=ma<μmg，因此假设成立。则此0.5 s内的位移为：x2=vt′+at′2=1.1 m，通过的总位
移x=x1+ x2=2.1 m。
【感悟提升】在板块模型问题中，当系统出现共速时，需要判断其能否保持共速，方法为“假设法”。假设系统出现共速后，分析和计算其受力情况，看与已知条件是否符合，若符合则假设成立，系统保持共速;反之，则不保持共速。另外，在板块模型问题中判断摩擦力的方向是关键，一定要先找到相对运动趋势或相对运动方向，利用摩擦力方向与相对运动趋势或相对运动方向相反的性质，得到摩擦力的方向。
二、斜面上的板块模型问题
【例3】如图3所示，斜面倾角为θ，一块质量为m、长为l的匀质板放在很长的斜面上，板的左端有一质量为M的物块，物块上连接一根很长的细绳，细绳跨过位于斜面顶端的光滑定滑轮并与斜面平行，开始时板的右端距离斜面顶端足够远。
（1）若板与斜面之间光滑，某人以恒力F竖直向下拉绳，使物块沿板面由静止上滑的过程中，板静止不动，求物块与板之间的动摩擦因数μ0。
（2）在（1）的情形下，求物块在板上滑行所经历的时间t0。
（3）若板与物块和斜面之间均有摩擦，且M=m，某人以恒定速度v=竖直向下拉绳，物块最终不滑离板的右端。试求板与物块之间的动摩擦因数μ1，以及μ1和板与斜面之间的动摩擦因数μ2必须满足的关系。
【答案】（1）2μ0=·tanθ
（2） t0=
（3）μ1-2μ2≥2tanθ
【解析】（1）对板m，由平衡条件可得：mgsinθ= μ0Mgcosθ，解得：μ0=·tanθ。
（2）设物块的加速度为a0，由牛顿第二定律得：F-Mgsinθ-μ0Mgcosθ=Ma0，由运动学公式得：l=a0t02，
联立方程即可解得：t0=。
（3）设板加速到v的时间为t，板的加速度为a，由牛顿第二定律可得：μ1Mgcosθ-mgsinθ-μ2（M+m）gcosθ=ma，由运动学公式可得：v=at。解得：
t=。
为使物块最终不滑离板的右端，必须满足vt-vt≤l，
由此联立上式最终可解得：μ1-2μ2≥2tanθ。所以要使物块最终不滑离板的右端，μ1与μ2必须满足μ1-2μ2≥2tanθ。
【感悟提升】解决此类问题的关键是将板块系统的重力在沿斜面方向上进行正交分解。对第2问求解加速度也可以用整体法列出方程F-（M+m）gsinθ=Ma求解而得，第3问是一个临界问题，求解的关键是弄清两者之间位移的关系，找到临界条件。 三、有关动量的板块模型问题
【例4】如图4所示，光滑水平面上有一质量M=4.0 kg的平板车，车的上表面是一段长L=1.5 m的粗糙水平轨道，水平轨道左侧连一半径R=0.25 m的四分之一光滑圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在点O′相切。现将一质量m=1.0 kg的小物块（可视为质点）从平板车的右端以水平向左的初速度v0滑上平板车，小物块与水平轨道之间的动摩擦因数μ=0.5，小物块恰能到达圆弧轨道的最高点A。（取g= 10 m/s2）
（1）求小物块滑上平板车的初速度v0的大小。
（2）求小物块与车最终相对静止时，它与点O′之间的距离。
【答案】（1）5 m/s （2）0.5 m
【解析】（1）平板车和小物块组成的系统水平方向动量守恒，设小物块到达圆弧轨道最高点A时，二者的共同速度为v1，以向左的方向为正方向。
由动量守恒可得：mv0=（M+m）v1，由能量守恒可得：mv02-（M+m）v12=mgR+μmgL。
联立方程即可解得：v0=5 m/s。
（2）设小物块最终与车相对静止时，二者的共同速度为v2，从小物块滑上平板车到二者相对静止的过程中，以向左的方向为正方向，由动量守恒可得：mv0=（M+m）v2。
设小物块与车最终相对静止时，它与O′点之间的距离为x，由能量守恒可得：mv02-（M+m）v22=μmg（L+x）。联立方程即可解得：x=0.5 m。
【感悟提升】在求解有关动量的板块模型问题时，常常需要抓住“两个守恒”，一个是动量守恒，另一个是能量守恒，通过联立方程即可求解得到问题的答案。
【例5】如图5所示，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上。某时刻小孩将冰块以相对冰面3 m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h=0.3 m（h小于斜面体的高度）。已知小孩与滑板的总质量为m1=30 kg，冰块的质量为m2=10 kg，小孩与滑板始终无相对运动。（取重力加速度的大小为g= 10 m/s2）
（1）求斜面体的质量。
（2）通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？
【答案】（1）20 kg （2）不能（理由见解析）
【解析】（1）规定向左为速度的正方向。冰块在斜面体上上升到最大高度时两者达到共同速度，设此共同速度为v，斜面体的质量为m3。由水平方向动量守恒和机械能守恒定律可得：m2v0=（m2+m3）v，m2v02=（m2+m3）v2+m2gh。
已知冰块推出时的速度为v0=3 m/s，联立方程即可解得m3=20 kg。
（2）设小孩推出冰块后的速度为v1，由动量守恒定律有m1v1+m2v0=0，代入数据可解得v1=-1 m/s。
设冰块与斜面体分离后的速度分别为v2和v3，由动量守恒和机械能守恒定律有m2v0=m2v2+m3v3，m2v02=
m2v22+m3v32。
联立方程即可解得：v2=-1 m/s。由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且冰块处在小孩后方，故冰块不能追上小孩。
【感悟提升】当滑块滑到斜面或弧面轨道的最高点时，其竖直速度为零，滑块与斜面体或弧面體具有共同的水平速度，可以根据水平方向上的动量守恒列方程来求解。
四、解决板块模型问题的一般思路与策略
1.比较初速度大小，确定摩擦力方向。
2.比较加速度大小，确定板块能否共速。
3.如出现共速，则进行受力分析，确定板块能否保持共速一起运动。
4.找准运动过程中板块分别运动的位移及相对位移。
5.如果有多段相对位移，需要求出整个过程的摩擦发热量，则摩擦发热量等于滑动摩擦力乘以各段相对位移的大小之和，即Q=fS相对路程。
总之，解决板块模型问题，首先要从物理情景中确定研究对象，根据板块间的相互作用特点和各自的受力情况，建立物理模型。其次，按物体各自的运动过程逐一分析，画出运动过程示意图，找出两物体相对运动的物理量关系。最后，挖掘隐含条件和临界条件，找出与之相对应的物理规律，结合题目中给出的某种等量关系来列出方程，最终得出答案。