论文部分内容阅读
[摘 要]常规的教学中，乘除法的格式是教师强加给学生的，学生只能单纯地模仿、记忆这些计算格式，缺少对知识本质的理解和建构。教学的目的不仅仅是让学生学习知识，更要让学生体验知识形成的过程，在格式中体会数学的美妙，发展思维。
[关键词]体验;思辨;规范
计算教学中，乘法竖式与加減法竖式的格式相似，而除法竖式却截然不同。教学二年级下册的“除法竖式”后，学生仍不能正确书写格式，到三年级下册再次出现除法竖式时，发现学生书写格式还是错的。在计算“两位数乘一位数”时，只需要一步就能计算出答案，而在计算“两位数除以一位数”时，则需要分层进行计算，这也是学生产生“为什么”的原因，对此，教师经常告诉学生：“格式就是这样的。”其实，乘、除法的竖式有一个共同点：都是口算方法的记录形式，且要求简便、清楚。
基于以上问题，笔者对北师大版三年级上册的“乘与除”进行了重组、整合，分成四节课教学：第一节口算课，目的是让学生理解算理;第二节课让学生充分发挥他们的创造力;第三节课体验规范计算;第四节课练习。在第二节课结束时，笔者留下板书（如图1）。
在这四节课中，重点就是第三节体验规范计算。第三节课的目标就是把第二节课留下的板书进行优化，只需要留下一种格式即可。细看图1中的竖式不难发现，矛盾集中在“一层还是二层？从高位算起还是从低位算起？”教学中，标准计算格式是教师强加给学生的，学生缺乏对知识本质的理解和建构。俞正强老师曾说：“数学上有许多规定，这些规定似乎是硬邦邦的，需要被重复、被强化。事实上，数学的许多规定是有道理的，而且道理是十分有意思的。”教师要让学生不仅是“学习知识”，更要“体验过程”;不仅是知其然，更要知其所以然，在规定中体会数学的美妙，发展思维。
在这节课中，教师如何从算法的多样化中选择合适的算法来给学生建立规范，发展数学核心素养呢？笔者认为有以下三点。
一、在体验中感悟
笔者对63名学生进行了前测，发现有7名学生在计算48÷4时应用一层计算，而在计算51÷3时却用二层计算。究其原因，是数据影响了他们的思维。对于48÷4，学生一致选择了一层的方法进行计算，因为这个数据通过口算即可完成。当51÷3时，学生强烈感受到一层的记录方法不可行，于是尝试二层的记录方式。
在除法竖式中，受加、减、乘竖式计算的影响，学生习惯从低位算起，前测中笔者也发现了这种情况。如何让学生体会到除法竖式从高位算起的好处呢？笔者出示58÷3。如果每10根小棒为1捆，学生从低位分起，8根平均分成3份，不够分，于是从十位借一和8并在一起分，18根平均分成3份，每份是6根，再将十位的40根平均分成3份，每份是13根，还余1根。教学中，笔者给学生展示了从高位开始分起，先每份1捆，5捆分成3份后，还剩2捆，把这2捆和8根并在一起分，分成3份，每份分到9根，还余1根，也要分2次，但这样分不容易出错。笔者借助这形象生动的体验，促使学生对计算的方法更加系统、全面的理解和掌握。
郑毓信教授指出：“数学核心素养的基本含义就在于：我们应当通过数学教学帮助学生学会思维，并能使他们逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理。”教师应该让学生调用各种感官去体验、去感受、去经历解决问题的过程，在学生的认知结构与知识结构之间架起一道无形的桥梁。在教学过程中，先通过问题冲突，唤起学生已有的知识经验，再进行操作实践，优化选择。可以说，如果学生没有体验，就很难从教师的讲授和得出的结论中获取其中蕴含的数学思维方法和数学思维品质。
二、在思辨中规范
数学知识有很多抽象的内容，每个人对知识的认识有限，所以光靠个人能力不易解决难题，让学生的思想从相互碰撞到相互整合，就能形成概念，树立规范。对此，在计算课中，更需要让学生在思辨中体验、对比，发现算法，并深入地理解算理。
在前测中笔者发现，乘法竖式的书写学生基本上都会。笔者用12×3、23×4进行前测，参与前测的63名学生中，61名学生列的乘法竖式是完全正确的，2名学生列成加法竖式，事后让这2名学生列成乘法竖式，他们也会列。那学生是真的会了吗？于是笔者进行了访谈。
师：对于12×3，你是怎么算的？
生1：先算1×3=3，再算2×3=6。
师：这个6为什么写在2的下面？
生1：因为是乘以2得到的。
师：那这个6表示什么？
生1：表示6个一。
师：答案中的这个3是什么意思？
生1：可能也是3个一吧。
师：对于23×4，你是怎么算的？
生2：先算3×4=12，再算2×4=8，8加1就是9。
师：为什么要加1？
生2：后面进上来的，我妈妈跟我说后面的进几就要加几。
从访谈中笔者发现，对于乘法竖式的算理，部分学生是不清楚的。受口算影响，学生习惯从高位算起。对于积中各个数所表示的意思，学生也不是很明白，更多的是家长强加给他们的一种计算技能。在教学中，教师应思考学生的会是真的会了吗？并让学生围绕几个问题进行思辨：为什么这里一层就好了？你觉得二层不好在哪？在计算时应从哪位乘起，为什么？对于这几个问题，学生的回答有“当乘数是三位数、四位数的话不是要很多层了？”“后面有那么多0，我们容易把数位对错的。”“我们在做加法时也是这样进位的。”“如果从十位算起，个位有进位的话，十位不是又得擦掉了？”你看，学生的语言多么精彩，他们在不停地交流中道出了竖式的算理，竖式的格式就是要清楚、简便。
通过思辨，既唤起了学生已有的知识经验，加深了学生对竖式的意义理解。在具体化描述的过程中，学生深入理解了计算法则，感受到知识间的联系，为形成合理的知识结构提供联结点和支撑点，并使思维获得发展，培养了分析、比较、归纳等数学素养。
三、在规范中提升
对于方法技能的教学，教师直接告诉学生规则，并说：“书上就是这样规定的。”多数教师认为这样告诉学生就不易出错，并能够很快地解决问题，但我们往往会做出一些费力不讨好的事情。弗赖登塔尔说：“泄露一个可以由学生自己发现的秘密，那是‘坏’的教学法，甚至是罪恶。”教学中，教师的责任不在教，而在教学，教学生学，让学生在对概念、原理的深刻理解中学习技能，而不是单纯地记忆与模仿。
就拿除法来说，在二年级时，学生就已经学过除法竖式的格式了，但到了三年级，还是出现了错误的格式（如图2）。
这是为什么呢？因为除法算理教学不充分，教师将算法强调得过早，算理和算法两者联系沟通不足。学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组织起适当的、有效的认知结构，并使之成为个人知识网络的一部分，那么学生才会产生自己的数学理解。如果在除法竖式中缺少教学内容的丰富、关联和综合，没有从知识的内在结构出发，通过多种方式将知识关联起来，就导致知识点在学生的大脑中是孤立、残缺的。
竖式的计算，反映了数学中对推理和简洁有效表达的追求，其中所蕴含的逻辑和直观、分析和推理、共性和个性的特点，能使学生受到数学思想方法的熏陶。因此，在教学中，教师应围绕数学的“清楚、方便”这两个特点，对乘、除法竖式进行规范，在归纳时总结乘法的竖式只需要一层，而除法的竖式却要二层，但都是以“清楚、方便”为准则的，体会到数学严谨的科学美、辩证的哲理美、简洁的形式美。在竖式的规范中，让学生感悟数学的思想和方法，积累经验，发展数学核心素养才是重中之重。
综上所述，在计算教学中，教师应努力沟通知识之间的联系，抓住数学的本质，溯本求源，把根留住，站在学生的立场设计和实施教学，引领学生一起经历新知识的生长过程。希望各教师在教学前线中摸爬滚打，在一招一式的背后去拨动深刻的道理，完成从学“术”到悟“道”的蜕变，真正提高执教能力，让每位学生获得高质量的数学学习。
（责编 李琪琦）
[关键词]体验;思辨;规范
计算教学中，乘法竖式与加減法竖式的格式相似，而除法竖式却截然不同。教学二年级下册的“除法竖式”后，学生仍不能正确书写格式，到三年级下册再次出现除法竖式时，发现学生书写格式还是错的。在计算“两位数乘一位数”时，只需要一步就能计算出答案，而在计算“两位数除以一位数”时，则需要分层进行计算，这也是学生产生“为什么”的原因，对此，教师经常告诉学生：“格式就是这样的。”其实，乘、除法的竖式有一个共同点：都是口算方法的记录形式，且要求简便、清楚。
基于以上问题，笔者对北师大版三年级上册的“乘与除”进行了重组、整合，分成四节课教学：第一节口算课，目的是让学生理解算理;第二节课让学生充分发挥他们的创造力;第三节课体验规范计算;第四节课练习。在第二节课结束时，笔者留下板书（如图1）。
在这四节课中，重点就是第三节体验规范计算。第三节课的目标就是把第二节课留下的板书进行优化，只需要留下一种格式即可。细看图1中的竖式不难发现，矛盾集中在“一层还是二层？从高位算起还是从低位算起？”教学中，标准计算格式是教师强加给学生的，学生缺乏对知识本质的理解和建构。俞正强老师曾说：“数学上有许多规定，这些规定似乎是硬邦邦的，需要被重复、被强化。事实上，数学的许多规定是有道理的，而且道理是十分有意思的。”教师要让学生不仅是“学习知识”，更要“体验过程”;不仅是知其然，更要知其所以然，在规定中体会数学的美妙，发展思维。
在这节课中，教师如何从算法的多样化中选择合适的算法来给学生建立规范，发展数学核心素养呢？笔者认为有以下三点。
一、在体验中感悟
笔者对63名学生进行了前测，发现有7名学生在计算48÷4时应用一层计算，而在计算51÷3时却用二层计算。究其原因，是数据影响了他们的思维。对于48÷4，学生一致选择了一层的方法进行计算，因为这个数据通过口算即可完成。当51÷3时，学生强烈感受到一层的记录方法不可行，于是尝试二层的记录方式。
在除法竖式中，受加、减、乘竖式计算的影响，学生习惯从低位算起，前测中笔者也发现了这种情况。如何让学生体会到除法竖式从高位算起的好处呢？笔者出示58÷3。如果每10根小棒为1捆，学生从低位分起，8根平均分成3份，不够分，于是从十位借一和8并在一起分，18根平均分成3份，每份是6根，再将十位的40根平均分成3份，每份是13根，还余1根。教学中，笔者给学生展示了从高位开始分起，先每份1捆，5捆分成3份后，还剩2捆，把这2捆和8根并在一起分，分成3份，每份分到9根，还余1根，也要分2次，但这样分不容易出错。笔者借助这形象生动的体验，促使学生对计算的方法更加系统、全面的理解和掌握。
郑毓信教授指出：“数学核心素养的基本含义就在于：我们应当通过数学教学帮助学生学会思维，并能使他们逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理。”教师应该让学生调用各种感官去体验、去感受、去经历解决问题的过程，在学生的认知结构与知识结构之间架起一道无形的桥梁。在教学过程中，先通过问题冲突，唤起学生已有的知识经验，再进行操作实践，优化选择。可以说，如果学生没有体验，就很难从教师的讲授和得出的结论中获取其中蕴含的数学思维方法和数学思维品质。
二、在思辨中规范
数学知识有很多抽象的内容，每个人对知识的认识有限，所以光靠个人能力不易解决难题，让学生的思想从相互碰撞到相互整合，就能形成概念，树立规范。对此，在计算课中，更需要让学生在思辨中体验、对比，发现算法，并深入地理解算理。
在前测中笔者发现，乘法竖式的书写学生基本上都会。笔者用12×3、23×4进行前测，参与前测的63名学生中，61名学生列的乘法竖式是完全正确的，2名学生列成加法竖式，事后让这2名学生列成乘法竖式，他们也会列。那学生是真的会了吗？于是笔者进行了访谈。
师：对于12×3，你是怎么算的？
生1：先算1×3=3，再算2×3=6。
师：这个6为什么写在2的下面？
生1：因为是乘以2得到的。
师：那这个6表示什么？
生1：表示6个一。
师：答案中的这个3是什么意思？
生1：可能也是3个一吧。
师：对于23×4，你是怎么算的？
生2：先算3×4=12，再算2×4=8，8加1就是9。
师：为什么要加1？
生2：后面进上来的，我妈妈跟我说后面的进几就要加几。
从访谈中笔者发现，对于乘法竖式的算理，部分学生是不清楚的。受口算影响，学生习惯从高位算起。对于积中各个数所表示的意思，学生也不是很明白，更多的是家长强加给他们的一种计算技能。在教学中，教师应思考学生的会是真的会了吗？并让学生围绕几个问题进行思辨：为什么这里一层就好了？你觉得二层不好在哪？在计算时应从哪位乘起，为什么？对于这几个问题，学生的回答有“当乘数是三位数、四位数的话不是要很多层了？”“后面有那么多0，我们容易把数位对错的。”“我们在做加法时也是这样进位的。”“如果从十位算起，个位有进位的话，十位不是又得擦掉了？”你看，学生的语言多么精彩，他们在不停地交流中道出了竖式的算理，竖式的格式就是要清楚、简便。
通过思辨，既唤起了学生已有的知识经验，加深了学生对竖式的意义理解。在具体化描述的过程中，学生深入理解了计算法则，感受到知识间的联系，为形成合理的知识结构提供联结点和支撑点，并使思维获得发展，培养了分析、比较、归纳等数学素养。
三、在规范中提升
对于方法技能的教学，教师直接告诉学生规则，并说：“书上就是这样规定的。”多数教师认为这样告诉学生就不易出错，并能够很快地解决问题，但我们往往会做出一些费力不讨好的事情。弗赖登塔尔说：“泄露一个可以由学生自己发现的秘密，那是‘坏’的教学法，甚至是罪恶。”教学中，教师的责任不在教，而在教学，教学生学，让学生在对概念、原理的深刻理解中学习技能，而不是单纯地记忆与模仿。
就拿除法来说，在二年级时，学生就已经学过除法竖式的格式了，但到了三年级，还是出现了错误的格式（如图2）。
这是为什么呢？因为除法算理教学不充分，教师将算法强调得过早，算理和算法两者联系沟通不足。学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组织起适当的、有效的认知结构，并使之成为个人知识网络的一部分，那么学生才会产生自己的数学理解。如果在除法竖式中缺少教学内容的丰富、关联和综合，没有从知识的内在结构出发，通过多种方式将知识关联起来，就导致知识点在学生的大脑中是孤立、残缺的。
竖式的计算，反映了数学中对推理和简洁有效表达的追求，其中所蕴含的逻辑和直观、分析和推理、共性和个性的特点，能使学生受到数学思想方法的熏陶。因此，在教学中，教师应围绕数学的“清楚、方便”这两个特点，对乘、除法竖式进行规范，在归纳时总结乘法的竖式只需要一层，而除法的竖式却要二层，但都是以“清楚、方便”为准则的，体会到数学严谨的科学美、辩证的哲理美、简洁的形式美。在竖式的规范中，让学生感悟数学的思想和方法，积累经验，发展数学核心素养才是重中之重。
综上所述，在计算教学中，教师应努力沟通知识之间的联系，抓住数学的本质，溯本求源，把根留住，站在学生的立场设计和实施教学，引领学生一起经历新知识的生长过程。希望各教师在教学前线中摸爬滚打，在一招一式的背后去拨动深刻的道理，完成从学“术”到悟“道”的蜕变，真正提高执教能力，让每位学生获得高质量的数学学习。
（责编 李琪琦）