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【摘 要】对数学公式的证明的教学重点不在于用了多少种不同的方法，也不在于所用的方法有多么巧妙，而是在于要选择合适的证明方法。数学公式证明方法的选择要关注三个方面：一是要植根于单元内容，二是要凸显认知的一致性，三是要追求动态发展。数学公式证明中所采用的方法应植根于单元内容，为实现单元教学的目标服务。
【关键词】单元教学;数学公式;证明方法;选择
【作者简介】何凯果 ，一级教师。
数学公式是对数学知识高度浓缩与提炼的结晶，从某种程度上讲，学习数学的其中一个重要目的就是为了获得更多有用的模型与公式。数学公式教学也是数学课堂教学的重要组成部分，其教学过程一般由公式的猜想与发现、推导与证明、拓展与应用三个环节构成，其中公式的推导与证明是“重頭戏”。对数学公式的证明教学要做到“不惜时，不惜力”已经成为很多教师的共识，教师希望通过让学生亲历公式推导与证明，从而达到“知其然而知其所以然”的效果。
数学知识间的联系性决定了公式证明方法的多样性，单从某节课看，由于缺乏明确的宏观目标导向，证明方法的选择已经成为很多教师的一大困惑。但如果站在单元的视角认识教学内容，连贯地理解教学目标，使教学的方向性得到进一步明确，将公式证明活动的每一步、每一个环节都放到单元教学活动的大系统中考量，而不是片面地突出或者强调某一知识点，那么，公式证明的方法必然会清晰起来。
一、证明方法应植根于单元内容
现行的数学教材是以知识系统为主线来组织单元教学内容的，比如，函数单元、数列单元、解析几何单元等，这样做的好处就是在遵循学科自身逻辑特点的基础上为学生提供相对完整的数学认知。数学公式是单元内容的重要组成部分，证明中所采用的方法不仅不能偏离单元的主题，而且应该植根于单元内容，为实现单元教学的目标服务。
例如，在推导“两角差的余弦公式”中，人教A版2007年版的教材（以下简称教材）提供了两种方法。一是几何构造法，如图1，在单位圆内构造直角三角形 ，用割补的方法得到OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα;二是向量法，联想到α，β终边与单位圆的交点分别为 A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），发现等式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ的右边与向量数量积公式的坐标表示 a→·b→=x1x2+y1y2相近，从而联想到OA·OB=cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。几何构造法比较直观，但学生很难想到;向量法比较简单，但似乎与三角函数没什么联系，因此，很多教师对选择哪种方法感到很纠结。其实选择哪种方法，关键在于对“两角差的余弦公式”这节内容所属的单元主题的认识。
图1
教材是按照“三角函数—平面向量—三角恒等变换”顺序来编写的，因此，这节内容既是“三角函数”内容的延续，又是“平面向量”应用价值的体现。因此，公式的证明方法既要凸显“三角函数”单元主题，又有体现向量的工具作用。基于这样的分析，采用向量法是比较合理的，当然，最后还需要把证明结论推广到任意角。如果教材按照“三角函数—三角恒等变换”的顺序来编写，那么，上述两种方法就都不合适了。因为它们都没有凸显“三角函数是圆函数，两角差的余弦公式是圆对称性的体现”这一单元主题，而旋转对称法恰恰能够满足主题要求：如图2，P1（cosα，sinβ），A1（cosβ，sinβ），P（cos（α-β），sin（α-β）），把扇形OAP绕点O旋转β角，则点A，P分别与A1，P1重合，根据圆的旋转对称，可知AP=A1P1，则[cos（α-β）-1]2+sin2（α-β）=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2，可得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。
图2
由此可见，教师首先要深入了解教材的编写意图，从而对教学内容所属的单元有明确的定位，然后再根据单元教学的主题对公式证明方法做出合理的选择。
二、证明方法应凸显认知的一致性
在单元教学视角下，数学公式的证明不仅需要在学生已有认知经验与认知规律的基础上进行综合考量与整体性建构，而且还需要确保同一单元内容中具有内在关联性的公式在证明思路的呈现与证明过程的设计上体现出一致性的特点，也就是说通过类比一个数学公式的证明思路能够顺利获得证明另一个数学公式的方法，从而实现教学逻辑内部的协调统一与有序转化。
例如，正弦定理与余弦定理是两个具有较强关联性的公式。它们分别从正弦与余弦的视角对三角形的边角关系进行定量刻画，因为正弦、余弦可以相互转化，所以，从某种程度上讲，正弦定理与余弦定理在本质上是等价的。因此，这两个定理的证明方法应该是一致的。在教材中，正弦定理是通过三角形作高线而获得的，而余弦定理的证明则是借助了向量的数量积，证明方法的不一致无法揭示两个公式之间的联系，这不利于学生整体性认知的发展。
其实，两个公式的证明可以做一致化处理。余弦定理其实也可以通过三角形作高线来获得。如图3，CD垂直于AB，则CD=bsinA，AD=bcosA，BD=c-bcosA，所以a2=CD2+BD2=b2sin2A+（c-bcosA）2=b2+c2-2bccosA。同样地，正弦定理也可以通过向量数量积来证明，在此笔者不再赘述。当然，最后到底选择哪种方法，还是要取决于这两个定理所属的单元主题。
图3
又比如，要说明“勾股定理是余弦定理的特殊形式”，虽然这能够从两个公式的结构特征上得到确认，但如果无法从证明方法上得到佐证，显然是不具备说服力的。历史上，欧几里得是这样证明勾股定理的。
如图4，分别在直角△ABC 的三边上作正方形ACDE、ABFG 和BCHI，作CL⊥GF于点L，连接BE 和CG，可得正方形ACDE的面积是△AEB 的两倍、长方形AMLG 的面积是△ACG的两倍（同底等高）。由△AEB≌△ACG，得正方形ACDE 和长方形AMLG 的面积相等。同理，正方形BCHI与长方形BMLF的面积相等，最后得到c2=a2+b2。 图4
类比上述证法，如图5，若△ABC 为锐角三角形，分别作正方形ACDE、ABFG 和BCHI;从三个顶点分别向对边作垂线，垂足分别为K、M 和N，与正方形另一边的交点分别为L、P 和Q。则有S四边形AMPE=S四边形AKLG，S四边形BNQI=S四边形BKLF，所以 c2=S四边形AMPE+S四边形BNQI=a2+b2-（S四边形MCDP+S四边形NCHQ）。而又有S四边形MCDP=b（acosC）=abcosC，S四边形NCHQ=a（bcosC）=abcosC，故c2=a2+b2-2abcosC（△ABC 为钝角三角形也同理可证）。
图5
公式证明方法的一致性不仅有助于把同一单元主题的公式有机地串联起来，形成一个类别清楚、联系紧密的线性知识体系，而且有助于学生把握数学知识的整体架构，避免知识的碎片化。
三、证明方法应追求动态发展
动态发展性是单元教学的一个重要特征。这意味着一方面对于数学公式证明方法的揭示有时并不能一蹴而就，而是需要学生经历一个螺旋上升的思维过程;另一方面对于数学公式证明方法的选择并不能止于对公式本身的证明，而应该在追求证明方法拓展性的基础上为一类数学公式的推导证明提供思维的启迪。
例如，推导等差数列前n项和公式用的是倒叙相加法，而推导等比数列前n项和公式用的是错位相减法，两类不同的数列用两种不同的方法证明，这似乎再正常不过了。但若考虑到等差数列“先行组织者”的功能作用，我们不禁要思考等差数列前n项和公式的推导对等比数列前n项和的推导有什么启发与帮助。如果从整个数列单元来看，我们还要进一步思考能否通过等差数列和等比数列前n项和公式的推导而获得推导数列求和公式的一般思路。显然，倒叙相加法和错位相减法两者并没有太多内在的联系，等差数列和等比数列前n项和公式的推导如果仅仅为了静态地获得这两种方法，那么就无法回答上述两个问题。
等差数列前n项和公式的推导是数列求和的思维起点，不同性质的数列尽管其所采用的求和技巧有所差异，但求和其实就是为了实现对式子的化简这一目标是相同的。因此，在等差数列前n项和公式的推导中首先应该有目標意识，即如何对Sn=a1+a2+a3+…+an进行化简，实现化多为少、化长为短的目的。在这一目标的指引下，再根据等差数列的对称性联想到倒叙相加法，从而实现化简的目的。但倒叙相加法是一种适用范围比较窄的特殊方法，它无法推广运用到等比数列与一般数列。因此，还要对等差数列前n项和公式的推导方法做进一步研究，即在数列求和过程中，化简的一般思路是什么？
由于Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1+d+a2+d+…+an-1+d=Sn-1+a1+（n-1）d，可以获得Sn-Sn-1=a1+（n-1）d这一关于等差数列求和公式的递推关系。递推关系不仅体现了数列前后项之间的对应关系，即已知前一项可以求得后一项，而且还反映了数列自相似这一本质特征，即局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，而数列求和实际上就是借助自相似来达到结构化简的目的。根据Sn-Sn-1=a1+（n-1）d的结构特征，可以用累和法进行化简，得Sn=na1+（1+2+…+n-1）d，于是等差数列前n项和问题就转化为对自然数列的前n 项求和，这就与教材中的情境引入联系起来了。
对于等比数列前n项求和，也可以利用自相似原理进行化简：Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q（a1+a2+…+an-1）=a1+qSn-1，即Sn-qSn-1=a1。一方面，从这个递推关系中可以发现“Sn-1乘q与Sn的差是常数”，这就是错位相减法的灵感之源;另一方面，把递推关系与Sn-Sn-1=an联立，可直接求得等比数列前n项和公式Sn=a1-anq1-q（q≠1）。由此可见，对于一般的数列求和关键是获得蕴含自相似结构特征的递推关系，然后再借助数列本身具有的特性实现结构上的化简。
公式的推导证明本身就是经验积累、思维递进的动态认知过程，在深刻领悟证明方法共性与个性、通法与特法密切联系的基础上，教师要帮助学生不断地拓展思维的深度、广度与高度。
单元视角下的公式证明方法的选择犹如在大森林的体系下审视每一棵树木，可以让教师摆脱大量眼花缭乱方法、技巧的干扰，直面单元教学目标与核心素养目标，使得公式证明教学过程前后呼应、环环相扣、逻辑分明。
（责任编辑：陆顺演）
【关键词】单元教学;数学公式;证明方法;选择
【作者简介】何凯果 ，一级教师。
数学公式是对数学知识高度浓缩与提炼的结晶，从某种程度上讲，学习数学的其中一个重要目的就是为了获得更多有用的模型与公式。数学公式教学也是数学课堂教学的重要组成部分，其教学过程一般由公式的猜想与发现、推导与证明、拓展与应用三个环节构成，其中公式的推导与证明是“重頭戏”。对数学公式的证明教学要做到“不惜时，不惜力”已经成为很多教师的共识，教师希望通过让学生亲历公式推导与证明，从而达到“知其然而知其所以然”的效果。
数学知识间的联系性决定了公式证明方法的多样性，单从某节课看，由于缺乏明确的宏观目标导向，证明方法的选择已经成为很多教师的一大困惑。但如果站在单元的视角认识教学内容，连贯地理解教学目标，使教学的方向性得到进一步明确，将公式证明活动的每一步、每一个环节都放到单元教学活动的大系统中考量，而不是片面地突出或者强调某一知识点，那么，公式证明的方法必然会清晰起来。
一、证明方法应植根于单元内容
现行的数学教材是以知识系统为主线来组织单元教学内容的，比如，函数单元、数列单元、解析几何单元等，这样做的好处就是在遵循学科自身逻辑特点的基础上为学生提供相对完整的数学认知。数学公式是单元内容的重要组成部分，证明中所采用的方法不仅不能偏离单元的主题，而且应该植根于单元内容，为实现单元教学的目标服务。
例如，在推导“两角差的余弦公式”中，人教A版2007年版的教材（以下简称教材）提供了两种方法。一是几何构造法，如图1，在单位圆内构造直角三角形 ，用割补的方法得到OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα;二是向量法，联想到α，β终边与单位圆的交点分别为 A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），发现等式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ的右边与向量数量积公式的坐标表示 a→·b→=x1x2+y1y2相近，从而联想到OA·OB=cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。几何构造法比较直观，但学生很难想到;向量法比较简单，但似乎与三角函数没什么联系，因此，很多教师对选择哪种方法感到很纠结。其实选择哪种方法，关键在于对“两角差的余弦公式”这节内容所属的单元主题的认识。
图1
教材是按照“三角函数—平面向量—三角恒等变换”顺序来编写的，因此，这节内容既是“三角函数”内容的延续，又是“平面向量”应用价值的体现。因此，公式的证明方法既要凸显“三角函数”单元主题，又有体现向量的工具作用。基于这样的分析，采用向量法是比较合理的，当然，最后还需要把证明结论推广到任意角。如果教材按照“三角函数—三角恒等变换”的顺序来编写，那么，上述两种方法就都不合适了。因为它们都没有凸显“三角函数是圆函数，两角差的余弦公式是圆对称性的体现”这一单元主题，而旋转对称法恰恰能够满足主题要求：如图2，P1（cosα，sinβ），A1（cosβ，sinβ），P（cos（α-β），sin（α-β）），把扇形OAP绕点O旋转β角，则点A，P分别与A1，P1重合，根据圆的旋转对称，可知AP=A1P1，则[cos（α-β）-1]2+sin2（α-β）=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2，可得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。
图2
由此可见，教师首先要深入了解教材的编写意图，从而对教学内容所属的单元有明确的定位，然后再根据单元教学的主题对公式证明方法做出合理的选择。
二、证明方法应凸显认知的一致性
在单元教学视角下，数学公式的证明不仅需要在学生已有认知经验与认知规律的基础上进行综合考量与整体性建构，而且还需要确保同一单元内容中具有内在关联性的公式在证明思路的呈现与证明过程的设计上体现出一致性的特点，也就是说通过类比一个数学公式的证明思路能够顺利获得证明另一个数学公式的方法，从而实现教学逻辑内部的协调统一与有序转化。
例如，正弦定理与余弦定理是两个具有较强关联性的公式。它们分别从正弦与余弦的视角对三角形的边角关系进行定量刻画，因为正弦、余弦可以相互转化，所以，从某种程度上讲，正弦定理与余弦定理在本质上是等价的。因此，这两个定理的证明方法应该是一致的。在教材中，正弦定理是通过三角形作高线而获得的，而余弦定理的证明则是借助了向量的数量积，证明方法的不一致无法揭示两个公式之间的联系，这不利于学生整体性认知的发展。
其实，两个公式的证明可以做一致化处理。余弦定理其实也可以通过三角形作高线来获得。如图3，CD垂直于AB，则CD=bsinA，AD=bcosA，BD=c-bcosA，所以a2=CD2+BD2=b2sin2A+（c-bcosA）2=b2+c2-2bccosA。同样地，正弦定理也可以通过向量数量积来证明，在此笔者不再赘述。当然，最后到底选择哪种方法，还是要取决于这两个定理所属的单元主题。
图3
又比如，要说明“勾股定理是余弦定理的特殊形式”，虽然这能够从两个公式的结构特征上得到确认，但如果无法从证明方法上得到佐证，显然是不具备说服力的。历史上，欧几里得是这样证明勾股定理的。
如图4，分别在直角△ABC 的三边上作正方形ACDE、ABFG 和BCHI，作CL⊥GF于点L，连接BE 和CG，可得正方形ACDE的面积是△AEB 的两倍、长方形AMLG 的面积是△ACG的两倍（同底等高）。由△AEB≌△ACG，得正方形ACDE 和长方形AMLG 的面积相等。同理，正方形BCHI与长方形BMLF的面积相等，最后得到c2=a2+b2。 图4
类比上述证法，如图5，若△ABC 为锐角三角形，分别作正方形ACDE、ABFG 和BCHI;从三个顶点分别向对边作垂线，垂足分别为K、M 和N，与正方形另一边的交点分别为L、P 和Q。则有S四边形AMPE=S四边形AKLG，S四边形BNQI=S四边形BKLF，所以 c2=S四边形AMPE+S四边形BNQI=a2+b2-（S四边形MCDP+S四边形NCHQ）。而又有S四边形MCDP=b（acosC）=abcosC，S四边形NCHQ=a（bcosC）=abcosC，故c2=a2+b2-2abcosC（△ABC 为钝角三角形也同理可证）。
图5
公式证明方法的一致性不仅有助于把同一单元主题的公式有机地串联起来，形成一个类别清楚、联系紧密的线性知识体系，而且有助于学生把握数学知识的整体架构，避免知识的碎片化。
三、证明方法应追求动态发展
动态发展性是单元教学的一个重要特征。这意味着一方面对于数学公式证明方法的揭示有时并不能一蹴而就，而是需要学生经历一个螺旋上升的思维过程;另一方面对于数学公式证明方法的选择并不能止于对公式本身的证明，而应该在追求证明方法拓展性的基础上为一类数学公式的推导证明提供思维的启迪。
例如，推导等差数列前n项和公式用的是倒叙相加法，而推导等比数列前n项和公式用的是错位相减法，两类不同的数列用两种不同的方法证明，这似乎再正常不过了。但若考虑到等差数列“先行组织者”的功能作用，我们不禁要思考等差数列前n项和公式的推导对等比数列前n项和的推导有什么启发与帮助。如果从整个数列单元来看，我们还要进一步思考能否通过等差数列和等比数列前n项和公式的推导而获得推导数列求和公式的一般思路。显然，倒叙相加法和错位相减法两者并没有太多内在的联系，等差数列和等比数列前n项和公式的推导如果仅仅为了静态地获得这两种方法，那么就无法回答上述两个问题。
等差数列前n项和公式的推导是数列求和的思维起点，不同性质的数列尽管其所采用的求和技巧有所差异，但求和其实就是为了实现对式子的化简这一目标是相同的。因此，在等差数列前n项和公式的推导中首先应该有目標意识，即如何对Sn=a1+a2+a3+…+an进行化简，实现化多为少、化长为短的目的。在这一目标的指引下，再根据等差数列的对称性联想到倒叙相加法，从而实现化简的目的。但倒叙相加法是一种适用范围比较窄的特殊方法，它无法推广运用到等比数列与一般数列。因此，还要对等差数列前n项和公式的推导方法做进一步研究，即在数列求和过程中，化简的一般思路是什么？
由于Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1+d+a2+d+…+an-1+d=Sn-1+a1+（n-1）d，可以获得Sn-Sn-1=a1+（n-1）d这一关于等差数列求和公式的递推关系。递推关系不仅体现了数列前后项之间的对应关系，即已知前一项可以求得后一项，而且还反映了数列自相似这一本质特征，即局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，而数列求和实际上就是借助自相似来达到结构化简的目的。根据Sn-Sn-1=a1+（n-1）d的结构特征，可以用累和法进行化简，得Sn=na1+（1+2+…+n-1）d，于是等差数列前n项和问题就转化为对自然数列的前n 项求和，这就与教材中的情境引入联系起来了。
对于等比数列前n项求和，也可以利用自相似原理进行化简：Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q（a1+a2+…+an-1）=a1+qSn-1，即Sn-qSn-1=a1。一方面，从这个递推关系中可以发现“Sn-1乘q与Sn的差是常数”，这就是错位相减法的灵感之源;另一方面，把递推关系与Sn-Sn-1=an联立，可直接求得等比数列前n项和公式Sn=a1-anq1-q（q≠1）。由此可见，对于一般的数列求和关键是获得蕴含自相似结构特征的递推关系，然后再借助数列本身具有的特性实现结构上的化简。
公式的推导证明本身就是经验积累、思维递进的动态认知过程，在深刻领悟证明方法共性与个性、通法与特法密切联系的基础上，教师要帮助学生不断地拓展思维的深度、广度与高度。
单元视角下的公式证明方法的选择犹如在大森林的体系下审视每一棵树木，可以让教师摆脱大量眼花缭乱方法、技巧的干扰，直面单元教学目标与核心素养目标，使得公式证明教学过程前后呼应、环环相扣、逻辑分明。
（责任编辑：陆顺演）