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【摘 要】本文从概念教学、习题教学与探究教学三个方面论述在高中数学课堂中培养学生抽象概括能力的具体措施，以培养学生的数学核心素养。
【关键词】高中数学 抽象概括 核心素养
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2019）09B-0065-03
数学是一门抽象的学科，数学抽象是高中数学学科核心素养之一。数学抽象指的是舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，它是重要的教学目标之一。这就决定了抽象概括能力的重要性。因此在数学课堂的教学中，教师要注重培养学生的数学抽象能力，使他们学会抓住问题的本质，由表及里地进行分析和综合，从而找到问题的关键点与突破点，正确求解问题，深化其数学素养。
一、结合概念，经历其形成过程
数学概念是数学学习的基础，是对数学知识的本质内涵和特征形式的高度概括和总结。因此，数学概念的学习过程实际上是对知识的抽象与概括过程。教师应当注重结合概念教学来培养学生的抽象概括能力，引导他们经历数学概念的形成过程，从而帮助他们形成抽象思维。
（一）基于产生背景，提炼本质属性。在进行概念学习时，教师应注重引导学生从思维上对概念的本质属性进行抽象与概括，善于根据概念的产生背景，引导他们提炼数学概念的本质属性，从而帮助他们正确地理解和掌握数学概念，打下坚实的数学基础。
比如，对“幂函数”进行教学时，为了让学生清晰准确地掌握幂函数的概念，笔者首先从学生熟悉的背景出发，为抽象出幂函数的概念做准备。例如，“正方形的边长为 x，面积为 y，那么面积 y 关于 x 的函数可以表达为什么？”学生迅速回答道：“y=x2。”就这样笔者依次引出了函数 y=x2，y=x3，，。随后笔者追问道：“上述函数有什么共同特征呢？”接下来笔者给学生留出充足的时间与空间，让他们进行思考与分析。经过一段时间的交流与讨论，学生发现，上述函数可以依次表达为：y=x2，y=x3，，y=x-1，都是形如 y=xa 的函数，其中 x 是自变量，a 是常数。由此笔者引出了幂函数的概念：“像这样形如 y=xa（a 为常数）的函数，叫做幂函数。”就这样学生体会到幂函数来自生活，同时也准确地把握了幂函数的本质特征，高效地达成了教学目标。又比如笔者对“向量”进行教学时，为了让学生了解向量的概念与本质，笔者向他们提问道：“在数学或者其他学科中，你接触过哪些类型的量？这些量本质上有何区别？”随后学生对这一问题展开激烈的讨论。他们分别说出很多物理学科中的量，包括质量、密度、弹力、速度、位移等。对于质量、密度这类量，在规定的单位下，都可以用一个实数表示它们的大小。但是对于如速度、弹力、位移等，它们不仅有大小，而且有作用方向。紧接着笔者追问道：“像速度这样既有大小，又有方向的量应该怎样表示呢？”由此引出了這节课的新内容。在学生思考了片刻之后，笔者向他们介绍了向量的概念，这样他们便对向量的概念形成过程有深刻的理解与记忆。
（二）尝试将语言转化，辨别一般与特殊。语言和思维之间存在有机的、辩证的联系，思维的过程和结果需要通过语言表现出来。因此，为了培养学生的抽象概括能力，教师可以引导学生尝试用自己的语言对数学概念进行描述，从而帮助他们形成从一般到特殊的思维，建立抽象概括能力形成的基础。
比如，对“等差数列”进行教学时，笔者首先创设问题情境，引入了课题：“中影国际电影院 3 号厅设置了 20 排座位，这家电影院从第一排起各排的座位数组成如下数列：38，40，42，44，46，48，…;在全国统一鞋号中，成年人的鞋子的尺码（单位：cm）由大到小可排列为：25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5;一个堆放铅笔的 V 架……”三个案例分别得到三组数列。于是笔者向学生提问道：“同学们仔细观察这三组数列，可以发现有什么变化规律呢？”学生很快便发现，在这三组数列中，从第 2 项起，每一项与它的前一项的差值都是同一个常数。随后笔者讲道：“符合这一规律的数列就是等差数列，大家已经发现等差数列的本质特征，现在就请同学们尝试用自己的语言描述一下等差数列的概念。”最后学生成功地用数学语言抽象出等差数列的概念：“如果一个数列从它的第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，则这个数列就叫做等差数列，用数学表达式可以表示为：an-an-1=d（n∈N，且 n>1）。”达到了教学目的。
二、通过习题，启迪创新意识
数学习题练习是训练学生思维能力的有效途径之一，教师要善于通过习题训练，帮助学生巩固课堂所学数学知识，培养他们思维的抽象性、逻辑性，拓宽其思维深度，启迪其创新意识，从而使教学取得事半功倍的效果。
（一）变式，完善认知结构。数学知识之间具有十分紧密的联系，任何知识都不是孤立的，都是在原有知识的基础上的延伸与发展，因此教师应当注重引导学生建构数学知识体系。为此可以通过变式训练，改变题目的已知条件，促进学生将知识进行迁移与融合，建构完整的知识结构，提高思维的概括性。
比如，对“三角函数”进行教学时，笔者组织学生进行变式练习。笔者首先向学生提问道：“将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个 单位，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式是什么？”对于 y=sin2x 来说，首先向左平移 个单位，函数变为 y=sin（2x+）=cos2x，再向上平移 1 个单位，函数变为 y=cos2x+1=2cos2x。随后笔者对这一问题进行变式：“为了得到函数 y=cos（2x+）的图象，需要将函数 y=sin2x 进行怎样的平移变换？”学生利用三角函数相关知识进行分析可知，y=cos（2x+）=cos2（x+），而 y=sin2x=cos（-2x）=cos2（x-），所以得到函数 y=cos（2x+），需要将函数 y=sin2x 向左平移 个单位。三角函数的平移变换是高考的重点之一，笔者通过组织变式练习活动，帮助学生梳理了这类问题的解决思路：将函数的解析式化为 y=Asin（ωx+ψ）的形式，然后将平移前后的函数化为同名三角函数，最后再结合 x 的系数确定平移的单位与方向。在这一活动中，笔者通过变式练习，引导学生掌握三角函数图象变换类问题的求解策略，完善了他们的认知结构，同时有效强化了他们的抽象概括能力。 （二）推理，发展逻辑思维。推理是一个具有较高层次的思维方式，培养学生的推理能力，可以帮助他们快速找到问题的规律，提高其抽象概括能力。因此教师要注重引导学生进行数学推理活动，在习题训练中培养他们思维的逻辑性。
比如学习数列时，笔者让学生对如下问题进行求解：
在数列{An} 中，A1=1，，试猜想这个数列的通项公式，并证明你的猜想。
学生根据递推公式，可以依次求得 A1=1， 由此可以猜想 。在证明这一猜想时，由 可以得到 ，即 ，所以数列 是公差为 ，首项为 1 的等差数列，，即 。就这样学生在进行猜想与推理的活动中，更加深入地理解了等差数列的本质特征以及此类问题的求解规律，有效提高了自身的数学推理能力与思维的逻辑性。
三、自主探究，解决实际问题
“自主、合作、探究”是新课标所倡导的学习方式，教师可以通过组织探究性学习活动，引导学生在自主探究过程中，用课堂上所学的数学知识分析求解实际问题，提高他们的数学抽象与概括能力。
（一）实验，制定方案，得出结论。学生学习数学知识时运用数学抽象能力的关键是找到问题的共性，将问题由具体到抽象，再由抽象到具体。因而笔者认为，教师可以有意识地组织学生开展数学实验活动，引导他们分析问题、制定方案，最后得出结论，使他们在实验活动中深化自身的抽象概括能力。
比如，对“古典概型”进行教学时，笔者向学生提问道：“甲、乙两人玩‘石头、剪刀、布’游戏，请问甲赢的概率有多大？乙赢的概率又有多大呢？”随后学生根据这一问题展开了数学实验活动。具体思路为：列举甲乙两人玩‘石头、剪刀、布’游戏可能出现的所有结果，根据古典概率型公式 P（A）=事件 A 包含的基本事件数/试验的基本事件总数，求得概率。学生成功地将实际问题抽象为数学模型，画出如下表格（表 1），得出正确的结论：甲赢的概率为 ，乙赢的概率为 。
在这一活动中，笔者通过组织学生对实际生活问題展开自主探究，帮助他们积累了从具体到抽象的活动经验，使他们学会从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，有效提高他们的数学抽象能力。
（二）汇报，分析归纳，多元反思。反思是学生认识过程中强化自我意识、进行自我监控、自我调节的重要形式。教师引导学生进行反思活动，有助于促进他们逐渐养成一般性思考问题的习惯。因此教师可以通过组织学生进行小组汇报，引导他们进行分析、归纳与多元反思的思维活动，使其学会用数学抽象的思维方法求解问题。
比如，对“函数与方程”进行教学时，笔者引导学生对函数零点的判定的相关知识进行梳理与总结，然后以小组汇报的形式进行展示。在这一过程中，学生对这一知识进行概括，例如，函数 y=f（x）零点个数的确定方法有：（1）代数法，函数 y=f（x）的零点等价于 f（x）=0 的根;（2）几何法，对于不能用求根公式的方程，将它与函数 y=f（x）的图象联系起来，并用函数的性质找出零点。又例如，学生还总结了二分法求方程近似解的步骤：第一步，确定区间[a，b]，验证 f（a）-f（b）<0，给定精确度 ε。第二步，求区间（a，b）的中点 c。第三步，计算 f（c），若 f（c）=0，则 c 就是函数的零点;若 f（a）-f（c）<0，则令 b=c;若 f（c）-f（b）<0，则令 a=c。第四步，判断是否达到精确度 ε，否则重复第二至四步。笔者有意识地引导学生进行反思与总结，帮助他们进一步巩固所学知识，有效提高他们的抽象概括能力。
综上所述，教师通过采用上述“结合概念”“通过习题”“自主探究”几种策略，能够有效地在数学教学过程中培养学生的抽象概括能力，提高其思维的抽象性与敏捷性，深化其数学核心素养。总之，数学抽象能力是一种综合能力，需要一个长期的培养过程。教师要不断探索与实践，采用多种方法与途径，提高学生的数学综合能力和素质。
【参考文献】
[1]康文彦，刘 辉.培养学生数学抽象核心素养的几种途径[J].教育探索，2017（05）
[2]楚秉晶.在概念教学中培养学生的数学抽象能力[J].初中数学教与学，2017（11）
[3]张永明.高中生数学抽象概括能力培养的途径与策略[J].数学学习与研究，2015（05）
[4]陈中峰.试论“数学抽象”素养形成和发展的基本途径[J].福建中学数学，2017（06）
（责编 卢建龙）
【关键词】高中数学 抽象概括 核心素养
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2019）09B-0065-03
数学是一门抽象的学科，数学抽象是高中数学学科核心素养之一。数学抽象指的是舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，它是重要的教学目标之一。这就决定了抽象概括能力的重要性。因此在数学课堂的教学中，教师要注重培养学生的数学抽象能力，使他们学会抓住问题的本质，由表及里地进行分析和综合，从而找到问题的关键点与突破点，正确求解问题，深化其数学素养。
一、结合概念，经历其形成过程
数学概念是数学学习的基础，是对数学知识的本质内涵和特征形式的高度概括和总结。因此，数学概念的学习过程实际上是对知识的抽象与概括过程。教师应当注重结合概念教学来培养学生的抽象概括能力，引导他们经历数学概念的形成过程，从而帮助他们形成抽象思维。
（一）基于产生背景，提炼本质属性。在进行概念学习时，教师应注重引导学生从思维上对概念的本质属性进行抽象与概括，善于根据概念的产生背景，引导他们提炼数学概念的本质属性，从而帮助他们正确地理解和掌握数学概念，打下坚实的数学基础。
比如，对“幂函数”进行教学时，为了让学生清晰准确地掌握幂函数的概念，笔者首先从学生熟悉的背景出发，为抽象出幂函数的概念做准备。例如，“正方形的边长为 x，面积为 y，那么面积 y 关于 x 的函数可以表达为什么？”学生迅速回答道：“y=x2。”就这样笔者依次引出了函数 y=x2，y=x3，，。随后笔者追问道：“上述函数有什么共同特征呢？”接下来笔者给学生留出充足的时间与空间，让他们进行思考与分析。经过一段时间的交流与讨论，学生发现，上述函数可以依次表达为：y=x2，y=x3，，y=x-1，都是形如 y=xa 的函数，其中 x 是自变量，a 是常数。由此笔者引出了幂函数的概念：“像这样形如 y=xa（a 为常数）的函数，叫做幂函数。”就这样学生体会到幂函数来自生活，同时也准确地把握了幂函数的本质特征，高效地达成了教学目标。又比如笔者对“向量”进行教学时，为了让学生了解向量的概念与本质，笔者向他们提问道：“在数学或者其他学科中，你接触过哪些类型的量？这些量本质上有何区别？”随后学生对这一问题展开激烈的讨论。他们分别说出很多物理学科中的量，包括质量、密度、弹力、速度、位移等。对于质量、密度这类量，在规定的单位下，都可以用一个实数表示它们的大小。但是对于如速度、弹力、位移等，它们不仅有大小，而且有作用方向。紧接着笔者追问道：“像速度这样既有大小，又有方向的量应该怎样表示呢？”由此引出了這节课的新内容。在学生思考了片刻之后，笔者向他们介绍了向量的概念，这样他们便对向量的概念形成过程有深刻的理解与记忆。
（二）尝试将语言转化，辨别一般与特殊。语言和思维之间存在有机的、辩证的联系，思维的过程和结果需要通过语言表现出来。因此，为了培养学生的抽象概括能力，教师可以引导学生尝试用自己的语言对数学概念进行描述，从而帮助他们形成从一般到特殊的思维，建立抽象概括能力形成的基础。
比如，对“等差数列”进行教学时，笔者首先创设问题情境，引入了课题：“中影国际电影院 3 号厅设置了 20 排座位，这家电影院从第一排起各排的座位数组成如下数列：38，40，42，44，46，48，…;在全国统一鞋号中，成年人的鞋子的尺码（单位：cm）由大到小可排列为：25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5;一个堆放铅笔的 V 架……”三个案例分别得到三组数列。于是笔者向学生提问道：“同学们仔细观察这三组数列，可以发现有什么变化规律呢？”学生很快便发现，在这三组数列中，从第 2 项起，每一项与它的前一项的差值都是同一个常数。随后笔者讲道：“符合这一规律的数列就是等差数列，大家已经发现等差数列的本质特征，现在就请同学们尝试用自己的语言描述一下等差数列的概念。”最后学生成功地用数学语言抽象出等差数列的概念：“如果一个数列从它的第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，则这个数列就叫做等差数列，用数学表达式可以表示为：an-an-1=d（n∈N，且 n>1）。”达到了教学目的。
二、通过习题，启迪创新意识
数学习题练习是训练学生思维能力的有效途径之一，教师要善于通过习题训练，帮助学生巩固课堂所学数学知识，培养他们思维的抽象性、逻辑性，拓宽其思维深度，启迪其创新意识，从而使教学取得事半功倍的效果。
（一）变式，完善认知结构。数学知识之间具有十分紧密的联系，任何知识都不是孤立的，都是在原有知识的基础上的延伸与发展，因此教师应当注重引导学生建构数学知识体系。为此可以通过变式训练，改变题目的已知条件，促进学生将知识进行迁移与融合，建构完整的知识结构，提高思维的概括性。
比如，对“三角函数”进行教学时，笔者组织学生进行变式练习。笔者首先向学生提问道：“将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个 单位，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式是什么？”对于 y=sin2x 来说，首先向左平移 个单位，函数变为 y=sin（2x+）=cos2x，再向上平移 1 个单位，函数变为 y=cos2x+1=2cos2x。随后笔者对这一问题进行变式：“为了得到函数 y=cos（2x+）的图象，需要将函数 y=sin2x 进行怎样的平移变换？”学生利用三角函数相关知识进行分析可知，y=cos（2x+）=cos2（x+），而 y=sin2x=cos（-2x）=cos2（x-），所以得到函数 y=cos（2x+），需要将函数 y=sin2x 向左平移 个单位。三角函数的平移变换是高考的重点之一，笔者通过组织变式练习活动，帮助学生梳理了这类问题的解决思路：将函数的解析式化为 y=Asin（ωx+ψ）的形式，然后将平移前后的函数化为同名三角函数，最后再结合 x 的系数确定平移的单位与方向。在这一活动中，笔者通过变式练习，引导学生掌握三角函数图象变换类问题的求解策略，完善了他们的认知结构，同时有效强化了他们的抽象概括能力。 （二）推理，发展逻辑思维。推理是一个具有较高层次的思维方式，培养学生的推理能力，可以帮助他们快速找到问题的规律，提高其抽象概括能力。因此教师要注重引导学生进行数学推理活动，在习题训练中培养他们思维的逻辑性。
比如学习数列时，笔者让学生对如下问题进行求解：
在数列{An} 中，A1=1，，试猜想这个数列的通项公式，并证明你的猜想。
学生根据递推公式，可以依次求得 A1=1， 由此可以猜想 。在证明这一猜想时，由 可以得到 ，即 ，所以数列 是公差为 ，首项为 1 的等差数列，，即 。就这样学生在进行猜想与推理的活动中，更加深入地理解了等差数列的本质特征以及此类问题的求解规律，有效提高了自身的数学推理能力与思维的逻辑性。
三、自主探究，解决实际问题
“自主、合作、探究”是新课标所倡导的学习方式，教师可以通过组织探究性学习活动，引导学生在自主探究过程中，用课堂上所学的数学知识分析求解实际问题，提高他们的数学抽象与概括能力。
（一）实验，制定方案，得出结论。学生学习数学知识时运用数学抽象能力的关键是找到问题的共性，将问题由具体到抽象，再由抽象到具体。因而笔者认为，教师可以有意识地组织学生开展数学实验活动，引导他们分析问题、制定方案，最后得出结论，使他们在实验活动中深化自身的抽象概括能力。
比如，对“古典概型”进行教学时，笔者向学生提问道：“甲、乙两人玩‘石头、剪刀、布’游戏，请问甲赢的概率有多大？乙赢的概率又有多大呢？”随后学生根据这一问题展开了数学实验活动。具体思路为：列举甲乙两人玩‘石头、剪刀、布’游戏可能出现的所有结果，根据古典概率型公式 P（A）=事件 A 包含的基本事件数/试验的基本事件总数，求得概率。学生成功地将实际问题抽象为数学模型，画出如下表格（表 1），得出正确的结论：甲赢的概率为 ，乙赢的概率为 。
在这一活动中，笔者通过组织学生对实际生活问題展开自主探究，帮助他们积累了从具体到抽象的活动经验，使他们学会从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，有效提高他们的数学抽象能力。
（二）汇报，分析归纳，多元反思。反思是学生认识过程中强化自我意识、进行自我监控、自我调节的重要形式。教师引导学生进行反思活动，有助于促进他们逐渐养成一般性思考问题的习惯。因此教师可以通过组织学生进行小组汇报，引导他们进行分析、归纳与多元反思的思维活动，使其学会用数学抽象的思维方法求解问题。
比如，对“函数与方程”进行教学时，笔者引导学生对函数零点的判定的相关知识进行梳理与总结，然后以小组汇报的形式进行展示。在这一过程中，学生对这一知识进行概括，例如，函数 y=f（x）零点个数的确定方法有：（1）代数法，函数 y=f（x）的零点等价于 f（x）=0 的根;（2）几何法，对于不能用求根公式的方程，将它与函数 y=f（x）的图象联系起来，并用函数的性质找出零点。又例如，学生还总结了二分法求方程近似解的步骤：第一步，确定区间[a，b]，验证 f（a）-f（b）<0，给定精确度 ε。第二步，求区间（a，b）的中点 c。第三步，计算 f（c），若 f（c）=0，则 c 就是函数的零点;若 f（a）-f（c）<0，则令 b=c;若 f（c）-f（b）<0，则令 a=c。第四步，判断是否达到精确度 ε，否则重复第二至四步。笔者有意识地引导学生进行反思与总结，帮助他们进一步巩固所学知识，有效提高他们的抽象概括能力。
综上所述，教师通过采用上述“结合概念”“通过习题”“自主探究”几种策略，能够有效地在数学教学过程中培养学生的抽象概括能力，提高其思维的抽象性与敏捷性，深化其数学核心素养。总之，数学抽象能力是一种综合能力，需要一个长期的培养过程。教师要不断探索与实践，采用多种方法与途径，提高学生的数学综合能力和素质。
【参考文献】
[1]康文彦，刘 辉.培养学生数学抽象核心素养的几种途径[J].教育探索，2017（05）
[2]楚秉晶.在概念教学中培养学生的数学抽象能力[J].初中数学教与学，2017（11）
[3]张永明.高中生数学抽象概括能力培养的途径与策略[J].数学学习与研究，2015（05）
[4]陈中峰.试论“数学抽象”素养形成和发展的基本途径[J].福建中学数学，2017（06）
（责编 卢建龙）