【编者按】社会科学的高速发展，对人们的数学素养提出了更高的要求，而这也促使基础教育必须做出相应的变化。基于此，兼具能力发展与实践操作等丰富内容的数学拓展课进入了广大教师的视野。一线教师如何提升自身专业素养，如何遵循《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求、学生发展规律等要素设计出高水平的数学拓展课？本期话题围绕“小学数学拓展课的设计与实践”展开探讨。
　　纵观数学史，许多著名的数学结论都是从猜想开始。虽然数学猜想的结论不一定正确，但它作为一种创造性的思维活动，是科学发现的一种重要方法。可以说，数学猜想不仅是推动数学理论发展的强大动力，也是推动科学发展的强大动力之一。猜想作为一种创造性的思维活动，该怎么教呢？如果能引导学生像数学家一样去思考，经历大胆猜想、小心求证的过程，无疑是培养学生猜想能力、提高创新能力、发展推理能力、激发学习兴趣以提升核心素养的有效途径。基于以上思考，笔者将世界三大数学猜想之一的“四色猜想”引入课堂，开发了五年级思维拓展课。
　　一、营造宽松的学习氛围，让学生敢于猜想
　　心理专家指出，紧张的学习气氛制约着人们智慧潜能的发挥，而宽松民主的学习环境，可以诱发学生创新潜能的萌动。一个人的创造力只有在他感觉心理安全和心理自由的条件下，才能获得最优的表现和发展。学生只有在这样的课堂环境中，才会敢想、敢说、敢问、敢猜、敢辩。
　　《最强大脑》节目以“让科学流行起来”为口号，以“让更多年轻人爱上科学”为目标。节目中的智力游戏有助于提高选手和观众的观察力、记忆力、空间力、创造力、推理力和计算力。其中有两期节目是以“四色问题”为主题的，一期是拿破仑的四色礼物，一期是卢浮宫四色金字塔，正好与本节课教学内容相契合。因此，创设此情境，无论是形式还是内容，都为接下来的学习埋下伏笔，可谓一举多得。
　　课前，先让学生欣赏一段《最强大脑》比赛视频。以视频为媒介，借谈话导入新课，消除了紧张的气氛，拉近了师生的距离，调动了学生的情绪，激发了学习的兴趣，为接下来的猜想从心理上做了充分的准备。课中，现实版的“最强大脑”填色游戏贯穿始终，吸引着学生全程积极参与，加上教师激励性的评价语言，让每一个学生都乐于猜想。教师尊重每一个学生的发言，答错了也能体面地坐下，让每一个学生都敢于猜想。
　　二、设计有趣的推理游戏，让学生科学猜想
　　数学猜想是以一定的数学事实为根据，包含着以数学事实作为基础的可贵的想象成分。没有数学事实作根据，随心所欲地胡乱猜想得到的命题不能称之为“数学猜想”。数学猜想通常是应用归纳、类比的方法提出的。归纳猜想是一种由特殊到一般的推理形式，其思维过程为“特例—归纳—猜测”。类比猜想是一种由特殊到特殊的推理形式，其思维过程为“联想—类比—猜测”。四色猜想属于归纳猜想。不管哪种猜想，都是一种合情推理，其结论具有或然性，不一定正确，需要进一步证明。
　　基于以上认识，笔者设计了现实版的“最强大脑”推理游戏，给泰森多边形填色。游戏分初级、中级和高级挑战三个层级，每一级胜出的学生都有资格进入最后的脑王争霸赛，让学生在填色游戏中经历大胆猜想、小心求证的过程，不断体验挑战的乐趣。随着游戏不断升级，学生的学习也从浅表逐渐走向深入。具体操作如下。
　　游戏规则：给泰森多边形填色，要求每相邻两个多边形颜色不能相同，使用颜色种类最少、用时最短并且填色均匀者为胜，显示不全看不到公共边的两个图形视为不相邻。泰森多边形对小学生来说是陌生的，但北京水立方像肥皂泡一样的图案却是学生熟悉的，将两者建立联系，一下便拉近了学生和泰森多边形之间的距离。
　　游戏从初级挑战开始，要求按游戏规则给图1填色。完成后对比观察，发现最少是三种颜色。教师追问：“用四种颜色的能不能减少一种呢？”学生很快发现，红色多边形和黄色多边形是不相邻的，可以用同一种颜色来填。因此，把黄色改成红色即可（图4）。
　　游戏需要学生根据规则步步推理。既要保证相邻两个多边形颜色不能相同，又要保证使用颜色种类尽可能少。对于规则，比赛之前笔者没有做过多的解释与提醒，学生出错在所难免。而恰恰是在出错、纠错的过程中，提高了学生的推理能力，强化了对游戏规则的理解，为接下来的猜想埋下伏笔。
　　游戏进入中级挑战，要求按游戏规则给图2填色。教师先鼓励学生大胆猜想：“多边形数量增多，再用三种颜色，还够吗？”大部分学生猜不够，认为图形数量越多，用的颜色种类也越多。大胆猜想，小心求证，是科学研究的基本方法，也是培养学生的科学探究精神和创新能力，发展合情推理能力的有效措施。缺乏思考的验证是盲目的，亲历失败后，教师不用做过多强调，学生自会总结经验教训，先认真思考，再小心填色，多了理性，少了盲目，使验证更加有效。通过对比观察，学生发现三种颜色不够，最少用四种。在汇报交流方法时，学生的发言特别精彩。一个学生说：“我先把中间的多边形填上蓝色，它周围一圈的多边形就不能用蓝色了，我用‘红—绿—红—绿—红—绿’交替着填，当填到周围一圈的最后一个时，发现不增加颜色就撞色了，于是又增加了黄色。”（图5）另一个说：“我是先把左下角的一个填上红色，然后根据规则推理，把所有可能填红色的都填上。再选绿色，把所有可能填绿色的都填上，以此类推，直到填满。”这些都是最优的策略。笔者的评价“思维缜密、推理严谨”直指核心素养，给全班同学指明努力的方向。学生也在对话交流中分享收获的喜悦，初步学会了科学合理地提出猜想，小心谨慎地验证猜想。
　　三、制造尖锐的矛盾冲突，让学生修正猜想
　　猜想是一種合情推理，其结论具有或然性。有的猜想被验证为正确，成为定理，如本节课研究的四色猜想，现在可以称为四色定理;有的猜想被验证为错误，如欧拉猜想;还有一些猜想正在验证过程中，如哥德巴赫猜想。教师在教学过程中需要有意设计，让学生经历“猜想—修正—再猜想”的过程，体会猜想的道路并不总是一帆风顺，有时需要调整方向。 　　中级挑战结束后，教师再让学生用最优策略给图6、图7填色。很快得出结论：图6最少用三种颜色，图7最少用四种颜色。面对结论，学生产生了三个疑问：（1）为什么图6和图2多边形数量相同，却用了三种颜色？（2）为什么图7多边形数量较少，却用了四种颜色？（3）颜色种类的多少，到底和什么有关呢？这些都是笔者期待的很有价值的问题。笔者启发学生比较图6和图7中间图形的边数，再联想涂色过程，很快发现了其中的奥秘：图6中间图形是六边形，边数为偶数，周围相邻的图形按照“红—绿—红—绿—红—绿”的顺序正好填完，而图2中间图形是七边形，边数为奇数，按照同样的顺序填，最后会单出一个，不增加颜色就撞色，图7也同样。由此发现，颜色种类的多少和中间图形的边数有关。如果中间图形边数是奇数，则最少需要4种颜色。
　　教师巧设矛盾冲突，打破了原有的平衡，引发质疑，激发学生进一步探究。学起于思，思源于疑。小疑则小进，大疑则大进。新的发现，迫使学生对之前的猜想进行修正。带着新发现，进入游戏的高级挑战，要求按游戏规则给图3填色。学生自觉地观察“中间图形”（周围有一圈多边形的图形）边数，发现图3的“中间图形”不止一个，并且五边形、六边形、七边形都有。根据刚才新发现推测，3种颜色肯定不够。多边形的数量增加了很多，边数也复杂了很多，4种也可能不够，所以猜5种。验证猜想时，学生又提出填色时能不能只涂一个点代替，在此启发下又想到可不可以用数字代替，省下换彩笔的麻烦。学习就是这样一个认真倾听、相互启发、不断改进的过程。遇到复杂的问题能想到化繁为简，用抽象的数学符号代替填色，说明学生已经在自觉地用数学的思维思考现实世界了。
　　验证猜想时学生惊奇地发现，大部分同学的猜想是错误的，原来4种颜色能填满（图8）。出乎大家预料，并没有像猜的那样，多边形数量越多，需要的颜色种类越多。合情未必是真理，合情推理得出的结论有可能是对的，也有可能是错的，这是本环节学生最真切的体会。笔者追问：“如果多边形数量再增加一倍，甚至更多，你猜结果会怎样？”学生大胆猜想，不管图形数量增加多少，都是最少用4种颜色。此时，学生提出的猜想就是著名的四色猜想。当学生发现自己的猜想竟和数学家一模一样时，心里是满满的自豪感。“四色猜想”这节拓展课的价值不在于了解四色问题是什么，而在于引导学生经历数学家猜想的过程，学习用数学思想方法解决问题，感受数学思想的魅力。
　　四、感受执着的科学精神，让学生延续猜想
　　不经逻辑证明的猜想永远是猜想。经过一代又一代数学家的不懈努力，四色猜想终于得到证明，由四色猜想变成了四色定理。由猜想走向定理的过程充满了艰辛，但也充满了魅力，吸引一代又一代数学家献出毕生的精力。观看科普视频，了解四色猜想证明的过程，学生从中感受到了什么是科学精神。数学猜想与发现，就像数学领域中的两颗耀眼的明珠，放射着人类智慧的光芒，是科学宝库中无价的财富。相信数学家严谨的科学态度，会激励着学生们在“大胆猜测、小心求证”这条道路上继续前行，勇攀科学高峰。
　　中小学数学教育的核心目标在于：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。本节课以培养学生猜想能力为目标，从喜闻乐见的《最强大脑》开始，在层层递进的填色游戏中推进，在数学家生命不息、探索不止的故事中升华，在紧张激烈的脑王争霸赛中结束。将冰冷的美丽还原成火热的思考，师生共同经历了一段美好的智慧之旅。教师借助一定的活动情境带领學生超越表层的知识符号学习，进入知识内在的逻辑形式和意义领域，挖掘知识内涵的丰富价值，完整地实现知识教学对学生的发展价值。
　　（作者单位：山东省济南市章丘区清照小学 北京市朝阳区教育研究中心）