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1. （2014·四川凉山州）已知☉O的直径CD=10 cm，AB是☉O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8 cm，则AC的长为（ ）.
A. 2cm B. 4 cm
C. 2 cm或4 cm D. 2 cm或4 cm
2. （2014·山东泰安）如图所示，P为☉O的直径BA延长线上的一点，PC与☉O相切，切点为C，点D是圆上一点，连接PD. 已知PC=PD=BC. 下列结论：（1） PD与☉O相切；（2） 四边形PCBD是菱形；（3） PO=AB；（4） ∠PDB=120°. 其中正确的个数为（ ）.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
3. （2014·江苏扬州）如图所示，以△ABC的边BC为直径的圆O分别交AB、AC于点D、E，连接OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=______°.
4. （2014·湖北孝感）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.
（1） 先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作☉O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 请你判断（1）中AB与☉O的位置关系，并证明你的结论.
5. （2014·福建福州）如图所示，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，☉O为△ACD的外接圆.
（1） 求BC的长；
（2） 求☉O的半径.
6. （2014·湖北孝感）如图所示，AB是☉O的直径，点C是☉O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE.
（1） 求证：AC平分∠DAB；
（2） 求证：△PCF是等腰三角形.
7. （2014·山东日照）如图所示，AB是☉O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切☉O于点E，交AM于点D，交BN于点C.
（1） 求证：OD∥BE；
（2） 如果OD=6 cm，OC=8 cm，求CD的长.
8. （2014·江苏苏州）如图所示，已知☉O上依次有A，B，C，D四个点，=，连接AB，AD，BD，弦AB不经过圆心O. 延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF.
（1） 若☉O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；
（2） 求证：BF=BD；
（3） 设G是BD的中点，探索：在☉O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系.
参考答案
1. C 解析：连接AC，AO. 当C点位置如答图1时，AC=4 cm；当C点位置如答图2时，AC=2 cm.
2. A 解析：连接CO，DO，由△PCO≌△PDO有∠PDO=90°，（1） 正确；由（1）得∠CPB=∠BPD，∴△CPB≌△DPB，∴PC=PD=BC=BD，（2） 正确；连AC，△PCO≌△BCA，∴AC=CO=AO，∴PO=AB，（3） 正确；∵四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，DP=DB，∴∠PDB=120°，（4） 正确.
3. 50 解析：∵∠A=65°，∴∠B ∠C=115°，即∠BDO ∠CEO=115°，∴∠BOD ∠COE=130°.
4. （1） 如答图3；（2） 相切. 证明：作OD⊥AB于D，∵BO平分∠ABC，∠ACB=90°，OD⊥AB，∴OD=OC，∴AB与☉O相切.
5. （1） 作AE⊥BC于E，如答图4，则∠AEB=∠AEC=90°，∵∠B=45°，AB=3，∴∠BAE=45°，∴BE=AE=3；∵∠ACB=60°，AE=3，∴EC=，∴BC=3 ；（2） 连接AO并延长交☉O于M，连CM，∵∠EAC=30°，EC=，∴AC=2，∵∠D=∠M=60°，∴AM=4，∴r=2.
6. （1） ∵PD切☉O于点C，∴OC⊥PD. ∵AD⊥PD，∴OC∥AD. ∴∠ACO=∠DAC. ∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB；（2） ∵AD⊥PD，∴∠DAC ∠ACD=90°. 又∵AB为☉O的直径，∴∠ACB=90°. ∴∠PCB ∠ACD=90°，∴∠DAC=∠PCB. 又∵∠DAC=∠CAO， ∴∠CAO=∠PCB. ∵CE平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF，∴∠PFC=∠PCF，∴△PCF是等腰三角形.
7. （1） 连接OE，∵AM、DE是☉O的切线，∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°， ∴∠AOD=∠EOD=∠AOE=∠ABE，∴OD∥BE；（2） ∠AOD=∠EOD=∠AOE，同理∠BOC=∠EOC=∠BOE，∵∠AOD ∠EOD ∠BOC ∠EOC=180°，∴∠EOD ∠EOC=90°，∴△DOC是直角三角形，∴CD=10 cm.
8. （1） 连接OB，OD，劣弧的长为2π；（2） 连接AC，易知BF为△EAC的中位线，∴BF=AC，∵=，∴=，∴BD=AC，∴BF=BD；（3） 过点B作AE的垂线，与☉O的交点即为所求的点P. ∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，∴∠FBE=∠CAE，∵=，∴∠CAB=∠DBA，∵BP⊥AE，∴∠GBP=∠FBP，∵G为BD的中点，∴BG=BD，∴BG=BF，又BP=BP，∴△PBG≌△PBF，∴PG=PF，此时PB垂直平分AE.
（作者单位：江苏省兴化市板桥初级中学）
A. 2cm B. 4 cm
C. 2 cm或4 cm D. 2 cm或4 cm
2. （2014·山东泰安）如图所示，P为☉O的直径BA延长线上的一点，PC与☉O相切，切点为C，点D是圆上一点，连接PD. 已知PC=PD=BC. 下列结论：（1） PD与☉O相切；（2） 四边形PCBD是菱形；（3） PO=AB；（4） ∠PDB=120°. 其中正确的个数为（ ）.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
3. （2014·江苏扬州）如图所示，以△ABC的边BC为直径的圆O分别交AB、AC于点D、E，连接OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=______°.
4. （2014·湖北孝感）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.
（1） 先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作☉O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 请你判断（1）中AB与☉O的位置关系，并证明你的结论.
5. （2014·福建福州）如图所示，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，☉O为△ACD的外接圆.
（1） 求BC的长；
（2） 求☉O的半径.
6. （2014·湖北孝感）如图所示，AB是☉O的直径，点C是☉O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE.
（1） 求证：AC平分∠DAB；
（2） 求证：△PCF是等腰三角形.
7. （2014·山东日照）如图所示，AB是☉O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切☉O于点E，交AM于点D，交BN于点C.
（1） 求证：OD∥BE；
（2） 如果OD=6 cm，OC=8 cm，求CD的长.
8. （2014·江苏苏州）如图所示，已知☉O上依次有A，B，C，D四个点，=，连接AB，AD，BD，弦AB不经过圆心O. 延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF.
（1） 若☉O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；
（2） 求证：BF=BD；
（3） 设G是BD的中点，探索：在☉O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系.
参考答案
1. C 解析：连接AC，AO. 当C点位置如答图1时，AC=4 cm；当C点位置如答图2时，AC=2 cm.
2. A 解析：连接CO，DO，由△PCO≌△PDO有∠PDO=90°，（1） 正确；由（1）得∠CPB=∠BPD，∴△CPB≌△DPB，∴PC=PD=BC=BD，（2） 正确；连AC，△PCO≌△BCA，∴AC=CO=AO，∴PO=AB，（3） 正确；∵四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，DP=DB，∴∠PDB=120°，（4） 正确.
3. 50 解析：∵∠A=65°，∴∠B ∠C=115°，即∠BDO ∠CEO=115°，∴∠BOD ∠COE=130°.
4. （1） 如答图3；（2） 相切. 证明：作OD⊥AB于D，∵BO平分∠ABC，∠ACB=90°，OD⊥AB，∴OD=OC，∴AB与☉O相切.
5. （1） 作AE⊥BC于E，如答图4，则∠AEB=∠AEC=90°，∵∠B=45°，AB=3，∴∠BAE=45°，∴BE=AE=3；∵∠ACB=60°，AE=3，∴EC=，∴BC=3 ；（2） 连接AO并延长交☉O于M，连CM，∵∠EAC=30°，EC=，∴AC=2，∵∠D=∠M=60°，∴AM=4，∴r=2.
6. （1） ∵PD切☉O于点C，∴OC⊥PD. ∵AD⊥PD，∴OC∥AD. ∴∠ACO=∠DAC. ∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB；（2） ∵AD⊥PD，∴∠DAC ∠ACD=90°. 又∵AB为☉O的直径，∴∠ACB=90°. ∴∠PCB ∠ACD=90°，∴∠DAC=∠PCB. 又∵∠DAC=∠CAO， ∴∠CAO=∠PCB. ∵CE平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF，∴∠PFC=∠PCF，∴△PCF是等腰三角形.
7. （1） 连接OE，∵AM、DE是☉O的切线，∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°， ∴∠AOD=∠EOD=∠AOE=∠ABE，∴OD∥BE；（2） ∠AOD=∠EOD=∠AOE，同理∠BOC=∠EOC=∠BOE，∵∠AOD ∠EOD ∠BOC ∠EOC=180°，∴∠EOD ∠EOC=90°，∴△DOC是直角三角形，∴CD=10 cm.
8. （1） 连接OB，OD，劣弧的长为2π；（2） 连接AC，易知BF为△EAC的中位线，∴BF=AC，∵=，∴=，∴BD=AC，∴BF=BD；（3） 过点B作AE的垂线，与☉O的交点即为所求的点P. ∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，∴∠FBE=∠CAE，∵=，∴∠CAB=∠DBA，∵BP⊥AE，∴∠GBP=∠FBP，∵G为BD的中点，∴BG=BD，∴BG=BF，又BP=BP，∴△PBG≌△PBF，∴PG=PF，此时PB垂直平分AE.
（作者单位：江苏省兴化市板桥初级中学）