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【摘要】 本文对同济版《线性代数》第一版到第五版各个版本进行了比较分析，给出了各个版本一些突出特征分析。并结合教学实际，提出了教学建议。
【关键词】线性代数 矩阵的秩 向量组相关性 线性方程组
1 引言
同济大学编写的《线性代数》教材在我国工科院校被广泛使用，自1982年至今已经使用32年了，现在用的已经是第五版。在教学过程中，不少老师反映现在的版本（三、四、五版）好像不如以前的版本（第二版）容易进行教学，本人也从事了二十多年的线代课程教学，针对老师们的一些意见，进行了细致的分析对比，做了一些思考总结。本文就是针对这个问题的一些想法，希望能对从事该课程教学的老师有一定的参考作用。
2 第一版和第二版的比较分析
第一版和第二版的主要差异在于矩阵的秩与向量组的秩的定义以及相互之间关系的论述上。
2.1 在第一版中首先根据向量组的线性相关性定义了向量组的秩，然后利用向量组的秩定义矩阵的秩，即用矩阵的列向量组的秩作为矩阵的秩。而体现这两个秩之间关系的是下面的定理：
这个定理体现的是向量组的相关性与向量组形成的矩阵的非0子式的阶数的关系，就是说，如果A中最高阶非0子式的阶数为r，则该矩阵A的列向量形成的向量组的秩为r，即：最大无关组中的向量的个数为r。但是这里并没有证明：如果一个矩阵的列向量组的秩为r，则该矩阵的最高阶非0子式的阶数也是r，这是第一版中的一个缺陷。
另外，实际上第一版中没有证明矩阵的列向量组秩和行向量组秩的相等关系。第一版中从定理6只是表明：如果一个矩阵的最高阶非0子式的阶数为r，则该矩阵的行向量组和列向量组的秩都是r，但是如果矩阵的列向量组的秩为r， 从该定理得不到矩阵的最高阶非0子式的阶数也为r，从而也就无法得到矩阵的行向量组的秩为r。因此，只是在表面上好像看似乎体现出三个秩相等，但是本质上没有论证清楚。因为在这里矩阵的秩是按照矩阵的列向量组的秩来定义的，因此不能直接得出矩阵和它的转置矩阵的秩相等，从而就得不到矩阵的列向量组和行向量组的秩相等。
2.2 在第二版中是用最高阶非0子式的阶数定义矩阵的秩，而不是像第一版中的那样用列向量组的秩来定义，向量组的秩仍是按照向量组相关性来定义的，两个秩的定义是独立的。
该定理充分性的证明与第一版定理6的证明是相同的。必要性的证明则是用数学归纳法，由于根据归纳假设有非零的行列式，就可以利用克莱默法则，通过方程组理论，构建了向量用另外的向量组线性表示关系，然后利用线性表示的系数进行行列式的倍乘加减变换，转化行列式形式，然后根据无关性得到了非0的高阶子式。
根据这个定理6（第二版），很容易得出第一版中定理6（第一版）的结论，因为r阶非0子式所在的列向量组线性无关，而所有的r+1阶子式为0，表明所有的r+1个列向量组成的向量组是相关的，从而列向量组的秩就是r。同时，根据这个定理得出：如果矩阵的列向量组的最大无关组中向量的个数为r，则向量组形成的矩阵中必有r阶非0子式，并且没有任何的r+1阶非0子式，因此向量组的秩揭示了矩阵中非0子式的阶数特征。
正是由于有了这个定理6，就可以得到矩阵的秩等于其列向量组的秩，也等于其行向量组的秩。关键是在这里矩阵的秩与向量组的秩的定义是相互独立的。第一版中矩阵秩的定义实际上是没有什么意义的，只是给矩阵中的列向量组的秩换了个名字而已，没有直接反映矩阵中的非0子式阶数的特征。
3 第一、二版与第三、四、五版的差异及特点比较分析
3.1 理论整体架构上的比较分析
第一二版本主要体现了以线性方程组作为教材内容的一条主线的思想。即：通过求解线性方程组，引入行列式概念建立克莱默法则；把矩阵作为线性方程组的一种表示形式，建立矩阵的概念、计算、逆矩阵、矩阵的分块等；通过引入矩阵的秩，建立了线性方程组解的存在性基本理论；建立了用矩阵的行初等变换求得方程组的通解的基本方法；将方程组的数量关系转换成向量组之间的线性表示关系，从而通过建立向量组的相关性、无关性、线性表示、向量组的秩等理论方法，得到了线性方程组解的存在性以及方程组全部解的表示方式，即用基础解系表示通解；在线性方程组、行列式、矩阵、向量组等理论基础上，进一步研究二次型的分析方法。
第三四五版本[3][4][5]主要体现了以矩阵理论与方法作为教材内容一条主线的思想。先是建立线性方程组的基本求解方法，引入矩阵初等变换、矩阵行阶梯形、矩阵行最简行、矩阵标准形等概念，在此基础上最后根据系数矩阵行阶梯形形式对应的线性方程组解的存在性以及解的表达形式，建立了线性方程组解的基本理论；引入矩阵的非0子式概念，以及矩阵的秩，证明了矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，完整全面地建立了用矩阵的初等变换以及矩阵的秩分析计算线性方程组的基本方法，这是三四五版中理论架构的核心思想。三四五版的重要特点就是，在引入向量组理论之前先建立了用矩阵的初等变换以及矩阵的秩分析求解线性方程组的理论方法。
在上述基础上，再来利用所建立起来的矩阵基本理论方法，分析研究向量组的线性计算、线性关系、相关性和无关性、向量组的秩、向量组的线性表示等，并利用建立起来的向量组的概念方法，引入基础解系，给出了线性方程组的通解表达形式。
3.2 关于矩阵的秩与向量组的秩
一二版中矩阵秩的定义是基于用矩阵分析向量组的线性关系需要而引入的，而三四五版中矩阵秩的定义是基于线性方程组求解的需要。
关于矩阵秩与向量组秩相等关系的证明方式，一二版与三四五版明显不同。
一二版的证明前面已做了分析。三四五版证明是通过建立方程组来表示向量的线性关系，利用得到的关于线性方程组有非零解的充分必要条件，得到相应的结果。这个证明的关键假设是：任何一个矩阵都可以经过行的初等变换化为行的阶梯形，并且行阶梯形中非0行的个数永远不变，进而最高阶非0子式的阶数就不变，就是矩阵的秩不变，从而就可以根据矩阵行阶梯形的形式直接得到方程组是否只有0解或者有非零解，就可以根据原始矩阵中非0子式的阶数来决定向量组的相关性；反之，如果知道向量组的相关性了，就知道相应的方程组解的状况，也就知道了矩阵的行阶梯形的形状，从而就知道了矩阵的非0子式情况，就知道了矩阵的秩。尽管这个假设有一定的直观解释，但是实际上没有进行严格形式化证明。 就是说，在三四五版中，建立相关性与非0子式阶数关系的理论基础是：矩阵的行初等变换、行初等变换不改变最高阶非0子式的阶数、矩阵一定能够通过行的初等变换化到行的阶梯形形式、方程组系数矩阵行阶梯形的形式能够直接得到方程组解的状况、向量组的相关性等价于方程组的非零解的存在性等五个重要结论，有了这几个作为基础，才能够得到向量组的最大线性无关组中向量的个数与最高阶非零子式阶数相等。
可见，为了得到矩阵秩等于它的列向量组和行向量组的秩相等的结果，在三四五版中的证明显得很繁琐、笨重、冗长，没有像前版中的那样的仅仅利用行列式就可以证明的处理方式。
4 教学建议
4.1 从上面的分析可以看出，一二版的理论体系显得比较简洁，循序渐进。三四五版的理论体系突出了矩阵在其它方面的作用，但是还是给人感到在理论架构上过于人为地制造了矩阵的应用，并不是显得自然、顺畅、简洁。
三四五版的问题是：由于过早引入了矩阵秩的概念，而这个概念有较强的抽象性，因为涉及到矩阵的所有的子式，而子式本身就是隐藏在矩阵里面的一个东西，所以学生接受起来有一定的困难，再加上矩阵秩的计算公式以及规律也繁多，显得理论性太强，一开始就把学生的学习兴趣压下去了。前面部分还是很轻松的，一到了矩阵的秩就开始出现明显的学习困难。
接着就利用矩阵的秩去建立线性方程组解的存在性和解的个数分析、利用矩阵的秩来分析计算向量组的线性表示、相关性、无关性、向量组的最大无关组等，在教材中到处都见得到矩阵的秩，实际上很多学生对这个概念是看不见、摸不着、想不通。
整个线性代数的难点就在于向量组理论与方法，特别是利用矩阵研究向量组的理论方法中定理多、概念多、题型多、方法多，如果只是一味强调利用矩阵的秩分析向量组的相关性，会给学生造成不小的困难。就这个解决问题的思路而言是非常好的，但还是要遵循循序渐进的认识规律，从数学理论的形式、逻辑和直觉等方面化繁为简、化难为易、化抽象为具体，逐步增强学生学习理解数学理论方法的兴趣和能力。
4.2 教学建议
至于选择前版（主要是指第二版）或者是后版（第三、四、五版中任何一个都可以）进行教学，作者认为都是可以的。不管是哪个版本，学生最终学到的线性代数的概念、方法、原理、问题、应用等都是一样的，但是三四五版对学生的抽象理解能力、理论的总体驾驭能力等要求较高。基于上面的分析，作者认为在基于现行教材的基础上，可以按照如下安排实施教学过程。
第一章 行列式 可以增讲简单常系数差分方程公式计算方法，以便于利用行列式展开降阶的方法计算行列式。
第二章 矩阵及其运算 可以适当加强关于矩阵方程、矩阵方程组等求解问题的训练，藉此能够加强学生对于矩阵的抽象运算和分析的训练。
第三章 向量组的相关性
向量概念是线性代数的重要几何背景，有利于提高学生的学习兴趣，应该早点介绍。向量及向量组作为线性代数理论的一种重要对象和工具，能够很好地表示线性方程组的结构和方程组的解，因此在详细讨论线性方程组的计算以前，要介绍向量的基本概念和一些基本的性质。内容上可选择最基本的一些结果进行介绍，能够体现出对向量进行直接分析计算的典型方法，让学生直接感受向量的形式、内容和它的逻辑，降低其抽象性。
第四章 矩阵的秩
本章的主要内容包括：引入矩阵的初等变换、非零子式、矩阵的秩等概念以及基本性质、基本运算规律。建立非0子式阶数与向量组最大无关组中向量个数的关系。
这部分内容应该体现出向量组理论和矩阵秩理论的互相利用关系。最重要的结论仍旧是定理：向量组中的最大无关组中向量的个数等于向量组构成的矩阵里面的最高阶非0子式的阶数。该定理的证明最好能够利用一二版中证明方法，通过数学归纳法，利用行列式的基本理论，这样同时也能够训练学生利用数学归纳法进行证明的重要数学思想方法。
在证明了这个定理的基础上，学生对矩阵秩的认识更加具体了，然后再结合向量组线性关系的线性方程组表示形式，以及用矩阵的秩表示的线性方程组解的理论方法，给出利用矩阵的秩分析计算向量组的相关性的定理。
另外在本部分可以较为详细介绍矩阵秩的一些计算规律，包括在矩阵的代数计算、矩阵的初等变换之下秩的规律，为后面利用矩阵的秩分析方程组解的存在性和解的构成奠定基础。
第五章 线性方程组
本章要强调利用矩阵的初等变换，得到等价的、特殊形式的线性方程组，并能够由其直接得到线性方程组的通解。要综合体现出利用行列式、矩阵、向量组等基本理论来求解线性方程组的思想和方法。
既要让学生掌握具体的求解线性方程组的初等变换计算过程，又要让学生学会利用向量工具，结合系数矩阵和增广矩阵的秩，构造出线性方程组的通解。这充分体现出了前面讲的向量组理论和矩阵秩理论在求解线性方程组中的重要作用。
为了体现出线性代数的综合应用，可以讲一个例子：用代数概念和方法分析刻划空间中任意三个平面的相对位置关系。
第六章 相似矩阵与二次型 按现行教材讲授
第七章 线性空间与线性变换 按现行教材讲授
[参 考 文 献]
[1] 同济大学数学教研室 .线性代数（第一版）[M].北京：人民教育出版社， 1982
[2] 同济大学数学教研室 .线性代数（第二版）[M].北京：高等教育出版社， 1990
[3] 同济大学应用数学系 .线性代数（第三版）[M].北京： 高等教育出版社，1999
[4] 同济大学应用数学系 .线性代数（第四版）[M].北京： 高等教育出版社，2003
[5] 同济大学数学系 .线性代数（第五版）[M].北京： 高等教育出版社，2007
【关键词】线性代数 矩阵的秩 向量组相关性 线性方程组
1 引言
同济大学编写的《线性代数》教材在我国工科院校被广泛使用，自1982年至今已经使用32年了，现在用的已经是第五版。在教学过程中，不少老师反映现在的版本（三、四、五版）好像不如以前的版本（第二版）容易进行教学，本人也从事了二十多年的线代课程教学，针对老师们的一些意见，进行了细致的分析对比，做了一些思考总结。本文就是针对这个问题的一些想法，希望能对从事该课程教学的老师有一定的参考作用。
2 第一版和第二版的比较分析
第一版和第二版的主要差异在于矩阵的秩与向量组的秩的定义以及相互之间关系的论述上。
2.1 在第一版中首先根据向量组的线性相关性定义了向量组的秩，然后利用向量组的秩定义矩阵的秩，即用矩阵的列向量组的秩作为矩阵的秩。而体现这两个秩之间关系的是下面的定理：
这个定理体现的是向量组的相关性与向量组形成的矩阵的非0子式的阶数的关系，就是说，如果A中最高阶非0子式的阶数为r，则该矩阵A的列向量形成的向量组的秩为r，即：最大无关组中的向量的个数为r。但是这里并没有证明：如果一个矩阵的列向量组的秩为r，则该矩阵的最高阶非0子式的阶数也是r，这是第一版中的一个缺陷。
另外，实际上第一版中没有证明矩阵的列向量组秩和行向量组秩的相等关系。第一版中从定理6只是表明：如果一个矩阵的最高阶非0子式的阶数为r，则该矩阵的行向量组和列向量组的秩都是r，但是如果矩阵的列向量组的秩为r， 从该定理得不到矩阵的最高阶非0子式的阶数也为r，从而也就无法得到矩阵的行向量组的秩为r。因此，只是在表面上好像看似乎体现出三个秩相等，但是本质上没有论证清楚。因为在这里矩阵的秩是按照矩阵的列向量组的秩来定义的，因此不能直接得出矩阵和它的转置矩阵的秩相等，从而就得不到矩阵的列向量组和行向量组的秩相等。
2.2 在第二版中是用最高阶非0子式的阶数定义矩阵的秩，而不是像第一版中的那样用列向量组的秩来定义，向量组的秩仍是按照向量组相关性来定义的，两个秩的定义是独立的。
该定理充分性的证明与第一版定理6的证明是相同的。必要性的证明则是用数学归纳法，由于根据归纳假设有非零的行列式，就可以利用克莱默法则，通过方程组理论，构建了向量用另外的向量组线性表示关系，然后利用线性表示的系数进行行列式的倍乘加减变换，转化行列式形式，然后根据无关性得到了非0的高阶子式。
根据这个定理6（第二版），很容易得出第一版中定理6（第一版）的结论，因为r阶非0子式所在的列向量组线性无关，而所有的r+1阶子式为0，表明所有的r+1个列向量组成的向量组是相关的，从而列向量组的秩就是r。同时，根据这个定理得出：如果矩阵的列向量组的最大无关组中向量的个数为r，则向量组形成的矩阵中必有r阶非0子式，并且没有任何的r+1阶非0子式，因此向量组的秩揭示了矩阵中非0子式的阶数特征。
正是由于有了这个定理6，就可以得到矩阵的秩等于其列向量组的秩，也等于其行向量组的秩。关键是在这里矩阵的秩与向量组的秩的定义是相互独立的。第一版中矩阵秩的定义实际上是没有什么意义的，只是给矩阵中的列向量组的秩换了个名字而已，没有直接反映矩阵中的非0子式阶数的特征。
3 第一、二版与第三、四、五版的差异及特点比较分析
3.1 理论整体架构上的比较分析
第一二版本主要体现了以线性方程组作为教材内容的一条主线的思想。即：通过求解线性方程组，引入行列式概念建立克莱默法则；把矩阵作为线性方程组的一种表示形式，建立矩阵的概念、计算、逆矩阵、矩阵的分块等；通过引入矩阵的秩，建立了线性方程组解的存在性基本理论；建立了用矩阵的行初等变换求得方程组的通解的基本方法；将方程组的数量关系转换成向量组之间的线性表示关系，从而通过建立向量组的相关性、无关性、线性表示、向量组的秩等理论方法，得到了线性方程组解的存在性以及方程组全部解的表示方式，即用基础解系表示通解；在线性方程组、行列式、矩阵、向量组等理论基础上，进一步研究二次型的分析方法。
第三四五版本[3][4][5]主要体现了以矩阵理论与方法作为教材内容一条主线的思想。先是建立线性方程组的基本求解方法，引入矩阵初等变换、矩阵行阶梯形、矩阵行最简行、矩阵标准形等概念，在此基础上最后根据系数矩阵行阶梯形形式对应的线性方程组解的存在性以及解的表达形式，建立了线性方程组解的基本理论；引入矩阵的非0子式概念，以及矩阵的秩，证明了矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，完整全面地建立了用矩阵的初等变换以及矩阵的秩分析计算线性方程组的基本方法，这是三四五版中理论架构的核心思想。三四五版的重要特点就是，在引入向量组理论之前先建立了用矩阵的初等变换以及矩阵的秩分析求解线性方程组的理论方法。
在上述基础上，再来利用所建立起来的矩阵基本理论方法，分析研究向量组的线性计算、线性关系、相关性和无关性、向量组的秩、向量组的线性表示等，并利用建立起来的向量组的概念方法，引入基础解系，给出了线性方程组的通解表达形式。
3.2 关于矩阵的秩与向量组的秩
一二版中矩阵秩的定义是基于用矩阵分析向量组的线性关系需要而引入的，而三四五版中矩阵秩的定义是基于线性方程组求解的需要。
关于矩阵秩与向量组秩相等关系的证明方式，一二版与三四五版明显不同。
一二版的证明前面已做了分析。三四五版证明是通过建立方程组来表示向量的线性关系，利用得到的关于线性方程组有非零解的充分必要条件，得到相应的结果。这个证明的关键假设是：任何一个矩阵都可以经过行的初等变换化为行的阶梯形，并且行阶梯形中非0行的个数永远不变，进而最高阶非0子式的阶数就不变，就是矩阵的秩不变，从而就可以根据矩阵行阶梯形的形式直接得到方程组是否只有0解或者有非零解，就可以根据原始矩阵中非0子式的阶数来决定向量组的相关性；反之，如果知道向量组的相关性了，就知道相应的方程组解的状况，也就知道了矩阵的行阶梯形的形状，从而就知道了矩阵的非0子式情况，就知道了矩阵的秩。尽管这个假设有一定的直观解释，但是实际上没有进行严格形式化证明。 就是说，在三四五版中，建立相关性与非0子式阶数关系的理论基础是：矩阵的行初等变换、行初等变换不改变最高阶非0子式的阶数、矩阵一定能够通过行的初等变换化到行的阶梯形形式、方程组系数矩阵行阶梯形的形式能够直接得到方程组解的状况、向量组的相关性等价于方程组的非零解的存在性等五个重要结论，有了这几个作为基础，才能够得到向量组的最大线性无关组中向量的个数与最高阶非零子式阶数相等。
可见，为了得到矩阵秩等于它的列向量组和行向量组的秩相等的结果，在三四五版中的证明显得很繁琐、笨重、冗长，没有像前版中的那样的仅仅利用行列式就可以证明的处理方式。
4 教学建议
4.1 从上面的分析可以看出，一二版的理论体系显得比较简洁，循序渐进。三四五版的理论体系突出了矩阵在其它方面的作用，但是还是给人感到在理论架构上过于人为地制造了矩阵的应用，并不是显得自然、顺畅、简洁。
三四五版的问题是：由于过早引入了矩阵秩的概念，而这个概念有较强的抽象性，因为涉及到矩阵的所有的子式，而子式本身就是隐藏在矩阵里面的一个东西，所以学生接受起来有一定的困难，再加上矩阵秩的计算公式以及规律也繁多，显得理论性太强，一开始就把学生的学习兴趣压下去了。前面部分还是很轻松的，一到了矩阵的秩就开始出现明显的学习困难。
接着就利用矩阵的秩去建立线性方程组解的存在性和解的个数分析、利用矩阵的秩来分析计算向量组的线性表示、相关性、无关性、向量组的最大无关组等，在教材中到处都见得到矩阵的秩，实际上很多学生对这个概念是看不见、摸不着、想不通。
整个线性代数的难点就在于向量组理论与方法，特别是利用矩阵研究向量组的理论方法中定理多、概念多、题型多、方法多，如果只是一味强调利用矩阵的秩分析向量组的相关性，会给学生造成不小的困难。就这个解决问题的思路而言是非常好的，但还是要遵循循序渐进的认识规律，从数学理论的形式、逻辑和直觉等方面化繁为简、化难为易、化抽象为具体，逐步增强学生学习理解数学理论方法的兴趣和能力。
4.2 教学建议
至于选择前版（主要是指第二版）或者是后版（第三、四、五版中任何一个都可以）进行教学，作者认为都是可以的。不管是哪个版本，学生最终学到的线性代数的概念、方法、原理、问题、应用等都是一样的，但是三四五版对学生的抽象理解能力、理论的总体驾驭能力等要求较高。基于上面的分析，作者认为在基于现行教材的基础上，可以按照如下安排实施教学过程。
第一章 行列式 可以增讲简单常系数差分方程公式计算方法，以便于利用行列式展开降阶的方法计算行列式。
第二章 矩阵及其运算 可以适当加强关于矩阵方程、矩阵方程组等求解问题的训练，藉此能够加强学生对于矩阵的抽象运算和分析的训练。
第三章 向量组的相关性
向量概念是线性代数的重要几何背景，有利于提高学生的学习兴趣，应该早点介绍。向量及向量组作为线性代数理论的一种重要对象和工具，能够很好地表示线性方程组的结构和方程组的解，因此在详细讨论线性方程组的计算以前，要介绍向量的基本概念和一些基本的性质。内容上可选择最基本的一些结果进行介绍，能够体现出对向量进行直接分析计算的典型方法，让学生直接感受向量的形式、内容和它的逻辑，降低其抽象性。
第四章 矩阵的秩
本章的主要内容包括：引入矩阵的初等变换、非零子式、矩阵的秩等概念以及基本性质、基本运算规律。建立非0子式阶数与向量组最大无关组中向量个数的关系。
这部分内容应该体现出向量组理论和矩阵秩理论的互相利用关系。最重要的结论仍旧是定理：向量组中的最大无关组中向量的个数等于向量组构成的矩阵里面的最高阶非0子式的阶数。该定理的证明最好能够利用一二版中证明方法，通过数学归纳法，利用行列式的基本理论，这样同时也能够训练学生利用数学归纳法进行证明的重要数学思想方法。
在证明了这个定理的基础上，学生对矩阵秩的认识更加具体了，然后再结合向量组线性关系的线性方程组表示形式，以及用矩阵的秩表示的线性方程组解的理论方法，给出利用矩阵的秩分析计算向量组的相关性的定理。
另外在本部分可以较为详细介绍矩阵秩的一些计算规律，包括在矩阵的代数计算、矩阵的初等变换之下秩的规律，为后面利用矩阵的秩分析方程组解的存在性和解的构成奠定基础。
第五章 线性方程组
本章要强调利用矩阵的初等变换，得到等价的、特殊形式的线性方程组，并能够由其直接得到线性方程组的通解。要综合体现出利用行列式、矩阵、向量组等基本理论来求解线性方程组的思想和方法。
既要让学生掌握具体的求解线性方程组的初等变换计算过程，又要让学生学会利用向量工具，结合系数矩阵和增广矩阵的秩，构造出线性方程组的通解。这充分体现出了前面讲的向量组理论和矩阵秩理论在求解线性方程组中的重要作用。
为了体现出线性代数的综合应用，可以讲一个例子：用代数概念和方法分析刻划空间中任意三个平面的相对位置关系。
第六章 相似矩阵与二次型 按现行教材讲授
第七章 线性空间与线性变换 按现行教材讲授
[参 考 文 献]
[1] 同济大学数学教研室 .线性代数（第一版）[M].北京：人民教育出版社， 1982
[2] 同济大学数学教研室 .线性代数（第二版）[M].北京：高等教育出版社， 1990
[3] 同济大学应用数学系 .线性代数（第三版）[M].北京： 高等教育出版社，1999
[4] 同济大学应用数学系 .线性代数（第四版）[M].北京： 高等教育出版社，2003
[5] 同济大学数学系 .线性代数（第五版）[M].北京： 高等教育出版社，2007