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摘 要:从思维方法分析运算是一种推理,是一种典型的演绎推理。因此,在运算教学时一定要讲清道理,让学生明白其中的算理。从简单的表面分析出深刻道理,这是数学的魅力所在,也是数学教学时追求的目标。在进行数列专题教学时,完成一道数列综合题时,多数学生求解时,出现了漏解的情况,但又找不到问题所在。下面我们来一起进行多维度探究,分析学生的解题过程中出现的问题及如何解决。
关键词:数列;漏解;多维度;探究
一、原题再现:
等差数列的首项为1,公差为d,数列的前n项和为Sn.且对任意的, 6Sn=9bn-an-2恒成立,如果数列是等比数列,则d的值为 .
二、学生的错误解法展示:
学生A解法:由为等差数列,首项为1,公差为d,则an=1+(n-1)d.
由6Sn=9bn-an-2.n≥2時,6Sn-1=9bn-1-an-1-2 ,两式相减:6bn=9bn-9bn-1-d.∴3bn=9bn-1+d .
如果为等比数列 ,则 .
与对比,则
学生B解法:对任意的, 6Sn=9bn-an-2恒成立, ∴令n=1, 3b1-1-2=0得b1=1.
由
由为等比数列
整理得:,
∴d=3或-6.
检验:当d=3时, bn=3bn-1+1. 又 为等比数列 ∴d=3符合.当d=-6时,bn=3bn-1-2.
∴d=-6不合,舍去.
(学生在求得问题出现两解时,经常会去思考舍解的问题,可以理解)
三、学生的思维误区与解法完善
学生用两种方法得出来答案一致,有问题吗?
分析学生A的解法:主要的问题在于:如果数列为常数列时,与对比对应关系不成立。继续分析:
解法一、数列为等比数列,设公比为q,(q≠0),由 .
,由 ,所以
当q=1时, ,此时,数列为常数列.
为等比数列.当q≠1时,(*)式恒成立.
综上:d=3或-6.
分析学生B解法:b1=1, bn=3bn-1-2, 的表达式确定的,我们换一个思路,求出表达式可以吗?
解法二:
由b1-1=1-1=0,所以bn-1=0 ∴bn=1 ,为非零常数列,符合为等比数列.
从而学生解法B可以进行修正,从而得到两解。
继续与学生进行相关分析可以得到其它解法。
四、培养创新思维,拓展思维的深度与广度。
解法三:得
①当 即d=-6,此时 恒等于,为常数列.
②,为等比数列. .综上d=3或-6.
解法四:由.是与n无关的常数.
或为常数.时, d=3符合题意.
当为常数时, .此时, ,综上:d=3或-6.
本道数列综合题的研究,既解决了学生解题过程中的困惑,又培养了学生严谨的思维习惯。学生在解题时往往跟着感觉走,缺少对问题的认真细致的分析,从而经常出现漏解或多解的情况,教师在上课时要进行严谨地分析,让学生找出问题所在,从而避免下次犯同样的错误,提高学习效果,培养了学生严谨的思维和良好的解题习惯。
关键词:数列;漏解;多维度;探究
一、原题再现:
等差数列的首项为1,公差为d,数列的前n项和为Sn.且对任意的, 6Sn=9bn-an-2恒成立,如果数列是等比数列,则d的值为 .
二、学生的错误解法展示:
学生A解法:由为等差数列,首项为1,公差为d,则an=1+(n-1)d.
由6Sn=9bn-an-2.n≥2時,6Sn-1=9bn-1-an-1-2 ,两式相减:6bn=9bn-9bn-1-d.∴3bn=9bn-1+d .
如果为等比数列 ,则 .
与对比,则
学生B解法:对任意的, 6Sn=9bn-an-2恒成立, ∴令n=1, 3b1-1-2=0得b1=1.
由
由为等比数列
整理得:,
∴d=3或-6.
检验:当d=3时, bn=3bn-1+1. 又 为等比数列 ∴d=3符合.当d=-6时,bn=3bn-1-2.
∴d=-6不合,舍去.
(学生在求得问题出现两解时,经常会去思考舍解的问题,可以理解)
三、学生的思维误区与解法完善
学生用两种方法得出来答案一致,有问题吗?
分析学生A的解法:主要的问题在于:如果数列为常数列时,与对比对应关系不成立。继续分析:
解法一、数列为等比数列,设公比为q,(q≠0),由 .
,由 ,所以
当q=1时, ,此时,数列为常数列.
为等比数列.当q≠1时,(*)式恒成立.
综上:d=3或-6.
分析学生B解法:b1=1, bn=3bn-1-2, 的表达式确定的,我们换一个思路,求出表达式可以吗?
解法二:
由b1-1=1-1=0,所以bn-1=0 ∴bn=1 ,为非零常数列,符合为等比数列.
从而学生解法B可以进行修正,从而得到两解。
继续与学生进行相关分析可以得到其它解法。
四、培养创新思维,拓展思维的深度与广度。
解法三:得
①当 即d=-6,此时 恒等于,为常数列.
②,为等比数列. .综上d=3或-6.
解法四:由.是与n无关的常数.
或为常数.时, d=3符合题意.
当为常数时, .此时, ,综上:d=3或-6.
本道数列综合题的研究,既解决了学生解题过程中的困惑,又培养了学生严谨的思维习惯。学生在解题时往往跟着感觉走,缺少对问题的认真细致的分析,从而经常出现漏解或多解的情况,教师在上课时要进行严谨地分析,让学生找出问题所在,从而避免下次犯同样的错误,提高学习效果,培养了学生严谨的思维和良好的解题习惯。