高中数学有四大思想，化归思想是很重要也是经常用到的一种思想，它贯穿高中数学的始末。本文就数列通项公式的求法，以小见大，来探索化归思想高中数学中的应用，希望对同学们领悟并最终达到灵活运用化归思想的目的有所帮助。下面介绍几种常用的数列通项公式的求法。
　　一、直接化归为等差数列类问题
　　等差数列的定义表达式：an+1- an=d(n∈N*)， d为常数。
　　下面将通过具体题目来讲述怎样化归为等差数列类问题。
　　an+1- an=f(n)， f(n)为可求和数列，此方法又称为累加法或逐差求和法。
　　例题 设数列｛an｝满足an= an-1+n+1(n≥2)，a1=1，求an
　　解：a1=1a2=4
　　故有an- an-1=n+1(n≥2) a- an-2=(n-1)+1(n≥3) an-2- an-3=(n-2)+1(n≥4)
　　… a3- a2=3+1 a2- a1=2+1上述(n-1)个表达式相加。
　　可得an=2+3+4+…+n+(n-1) •1=n22 +3n2-1(n∈N*)
　　评注：表面上是求通项公式，但实际上是求一个“等差数列”（实际上{ an- an-1}非等差数列）的和，这种方法是由等差数列的求和方法演变出来的。
　　二、直接化归为等比数列类问题
　　等比数列的定义表达式：an+1/ an=q(n∈N*)， an ≠0，q为常数，且q≠0，an+1/ an= f(n) (n∈N*)， f(n)为可求积数列，an ≠0 (n∈N*)， q为常数.
　　下面将通过具体题目来讲述怎样化归为等比数列类问题。例题：设数列｛an｝满足anan-1=n+1n(n≥2)，a1=1，求an
　　解：anan-1(n≥2) ，an-1an-2(n≥3)an-2an-3=n-1n-2 …a3a2a2a1=22上述(n-1)个表达式相乘，得an=n+12•a1=n+12 (n∈N*)
　　评注：表面上是求通项公式，但实际上是求一个“等比数列”（实际上{anan-1}非等比数列）的积。
　　 三、通过变形构建新的数列化归为等差数列类或化归为等比数列类问题
　　这类问题最灵活多变，也是经常考。通常新的数列可能是由含有原来数列的一个数学表达式构成，新的数列是一个等差或者等比数列。形式上灵活多变，比如新数列bn=an+1，bn= 1an，
　　bn=Xn+yn，上述an 、Xn、yn均为不典型的等差等比数列，但是通过变形拼凑构建新的数列，而新的数列满足等差或者等比数列的定义，从而使问题得到求解。
　　(1)an+1= q• an+p(n∈N*)， q为常数，p为常数，可以变形为an+1+ pq-1= q( an+pq-1)，q≠1，构建一个新的等比数列。
　　例题：设数列｛an｝满足an=2 an-1 +1(n≥2)，a1=1，求an
　　解：an=2 an-1 +1可以变形得an+1=2 （an-1 +1），故有｛an+1｝为一等比数列，首项为2，公比为2，所以an+1=2•2n-1(n≥2)， 进而an=2n-1(n∈N*)
　　(2)an+1= q• an+ f(n) (n∈N*)， q为常数，可以变形为an-1+f(n)q-1= q( an+f(n)q-1 )，q≠1， 构建一个新的等比数列，有时也可变形为an+1qn=1=anqn+f(n)q+1，只要满足f(n)q+1可以求和即可。
　　例题：设数列｛an｝满足an=2an-1+3n-1， (n≥2)，a1=4，求an
　　方法一：
　　解：由an=2an-1+3n-1，可得an-3n=2(an-1-3n-1，可得｛an-3n｝为一等比数列，首项为1，公比为2，进而an-3n=1•2n-1，故有an=2n-1+3n(n∈N*)
　　方法二： 解：由an=2an-1+3n-1，可得an2n=an-12n-1+(22)nan2n-an-12n-1+(22)n-1
　　可以使用累加法an2n-an-12n-1+12(32)n-1(n≥2)an-12n-1-an-22n-2+12(32)n-2(n≥3)an-32n-3-an-32n-3+12(32)n-2 n-3(n≥4)
　　 a323-a222+12(23)2a222-a121+12(23)1累加得an2n-a12=12[(23)1+(23)2+…+(23)n-2+(23)n-1]可得an=2n-1+3n(n∈N*)
　　评注：
　　通过上文不难看出，上述例子中用到的方法灵活多变，但是不变的是运用化归思想将不典型的数列项公式的求法的问题通过拼凑变形化归为等差数列类或化归为等比数列类问题。变形的方法途径可能是多种多样，需具体问题具体分析。
　　四、通过变形简化化归为等差数列类或化归为等比数列类问题
　　有的题会给出一个表达式，该表达式中含有an、sn等，尽管表达式很复杂，但是一般情况下，都是可以通过因式分解、分离等方法，达到降次简化的目的，并最终将问题转化化归为等差数列类或化归为等比数列类问题。
　　例题 已知各项均为正数的数列｛an｝的前n项和sn满足s1>1，且6sn= （an+1）•（an+2），n∈N*，求｛an｝的通项公式。
　　解：不难求得a1=2， 6sn= （an+1）•（an+2）6sn=1= （an+1+1）•（an+1+2） 两式相减，并整理得（an+1+ an）（an-1- an-3）=0，因an>0，所以an+1= -an，不成立，舍去。因此，an+1- an=3(n∈N*)，从而｛an｝是公差为3首项为2的等差数列，故an=3n-1
　　评注：一般情况下，有的题即便题给的数学表达式表满上看似很复杂，但是也是能够通过降次、因式分解等方法，将问题化归为等差数列类或等比数列类问题。
　　因为篇幅有限和题型多变性，本文不能也不可能把所有的数列通项公式的求法一一列举。化归的方法途径可能多种多样，需具体问题具体分析。但是只有掌握了化归思想，领悟并熟练运用数学思想，才能以不变应万变，不管题型如何变化，都能做到心中有数，并能化归转化为课本中，课堂中熟悉的内容，最终达到“受之以‘渔’”的目的。