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2017年无锡市中考数学试卷既注重基础、基本技能的考查，又关注数学思想方法和数学活动经验。其中部分试题，立意新颖，解法多样，具有一定的创新性。下面结合笔者对无锡市中考数学第24题的阅卷情况，结合学生的答题情况进行简要分析，并谈几点对试题的反思与教学导向。
【题目】如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）作△ABC的外心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F、点H分别在边BC和AC上。
一、试题评析
1.源于教材
24题的第（1）小题作△ABC的外心O来源于书本九年级上册《2.3确定圆的条件》中的尝试与交流；第（2）小题来源于书本九年级上册《2.6正多边形与圆》中的操作与思考。但是通过适当的改编，很好地体现了命题“源于教材，却高于教材”，注重考查知识结构的系统性和完整性，为数学课堂教学的改革提供了良好的导向。
2.立足基础
2017年无锡市初中数学中考指导意见中，对于尺规作图的要求是这样的：①五种基本作图；②利用基本作图作三角形；③利用基本作图完成：过不共线三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形；④了解尺规作图的道理，保留作图痕迹，不要求写出作法。前三条的要求是C等级，也就是掌握，第四条是B等级，只要理解即可。本题考查圆外心的知识点，突出对正六边形的特点与作法的考查，不仅重点考查学生的数学基本作图能力，而且突出考查学生的分析能力、推理能力等数学素养。
3.基于素养
尺规作图是一种很好的考查内容的方法。第（1）小题实际上已经确定一个点（定点圆心）和一条线段（定长DO），根据圆的定义就可以把圆O作出来。实际上这一小题起着承上启下的作用。学生如果缺少圆的意识，还可以通过画一个正六边形，再分析推理得出正六边形的一些性质和特点，如正六边形的对称性等，这样就迎刃而解了。这种方法就是分析推理法，这对学生的思维能力要求比较高。而我们在平时的教学过程中要尽可能地培养学生的分析推理能力，提高学生的数学核心素养。
4.重在创新
本题不仅考查外心的作法和正六边形的作法，而且在基本模型上添加了条件，把第一小题与第二小题联系在一起，为不同思维层次的学生搭建了不同的平台，在问题解决的过程中充分展示了学生的数学素养。这样作适度的创新，提高了学生思维能力的要求。
二、典型问题及解决的方法
1.典型错误方法
（1）如图1，认为线段DI与线段FG平行，于是在三角形另两边上截取点E、H。
（2）如图2，当学生在BC上找点F时，很多学生过点D作BC的垂线，学生认为垂线与BC的交点就是点F。
（3）如图3，已作出圆O，但是认为圆与三边交点就是正六边形的六个顶点。
（4）如图4，已作出圆O，也找到圆与边交点为点F和点H，但在找剩余点时，是以已知点为圆心，DO为半径，在三角形三边上去截取剩余的点，把五个点硬凑到三边上。
2.答题错误原因
（1）缺乏圆的意识。
（2）对正六边形特点掌握不牢固。
（3）学生缺少分析、推理能力。
3.答题正确方法
（1）在不作圆的前提下，如图1，分别以点D、O为圆心，OD为半径作圆弧，交于三角形AC边右侧的点即为点I，以此类推，作出剩余点。
（2）作圆，与边BC左侧交点为点F，与边AC下侧交点为点H，构成等边三角形DFH。
①如图2，分别作三个内角角平分线或三边垂直平分线交于圆得出剩余三点；②如图3，利用对称性，分别将D、F、H与圆心连接并延长，与圆的交点或者在延长线上以半径去截取得到的点即为剩余三点。
（3）作圆，利用截取法。
①如图4，分别以点D、F、H为圆心，DO为半径在圆周上截取三次，得到点I、G、E；②如图5，以点D为圆心，DO为半径，在圆周上连续截取五次，得到剩余五点。
三、教学导向
1.深度挖掘教材，合理使用教材
学生的学习是以教材为根基的，所以试题的选材、立意必须依托于教材，遵循“植根于教材，来源于教材”“題在书外，理在书中”的命题原则。2017年无锡市中考数学试题中，除了24题以外，多数题目基础性较强，是对教材中的内容的改编和延伸拓展。因此，在数学教学中，教师应该立足于教材，以数学知识的主干内容为框架，将各知识点串连起来，形成知识网；要充分挖掘教材，创造性地使用教材，加强基础知识和基本技能的训练，让学生掌握学习数学的基本方法。
2.依据课标标准，注重落实“四基”
（1）注重实效训练，熟练基本技能。
在基本技能的教学中，要让学生在理解程序和步骤的道理的前提下，掌握技能操作的程序和步骤。比如说尺规作图，学生不仅要知道作图的步骤，而且要能知道这些步骤的理由。基本技能的形成，需要适度的训练，而在训练的过程中，教师要注重训练的实效性。
（2）渗透数学思想，掌握学习技巧。
教师要深入挖掘知识形成过程中所渗透的数学思想与方法，要为学生创设情境，引导学生思考，让学生在探究过程中自悟自生，学会数学的思维，建构学生自己的理解，掌握学习的技巧。任何知识的获取，只有通过自己的思维和理解，才能内化自己的认知。学生认知的发展也不是一种数量上的简单积累的过程，而是认知结构不断重新建构的过程，所以数学教学应该注重数学思维，应为促进学生的理解而教。
（3）积累活动经验，提升解题能力。
数学学习的本质是一种活动，学生对知识的接受是经验、思维投入的过程。所以，教师在教学过程中要注重结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，这才是学生积累数学活动经验的重要途径。比如说在几何教学中，不妨围绕一些基本图形，探究拓展，采用一题多解、一题多变等教学方式，不断加强几何推理经验的积累，提升学生的解题能力。
3.锻炼推理能力，走向核心素养
从所举题目的画图补救的方法中可以看到，推理能力是数学学科的一个特征，是数学学科教学、学习的核心—思维能力的重要方面，同时也是数学核心素养之一。
推理包括合情推理和演绎推理。在“数与代数”“图形与几何”等教学内容中，教师应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，合情推理和演绎推理是相辅相成的两种推理形式。比如在“猜想—证明”的问题探究中，要让学生亲历用合情推理发现结论、用演绎推理证明结论的完整推理过程，在过程中感悟数学思想，锻炼推理能力，提升数学素养。
【题目】如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）作△ABC的外心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F、点H分别在边BC和AC上。
一、试题评析
1.源于教材
24题的第（1）小题作△ABC的外心O来源于书本九年级上册《2.3确定圆的条件》中的尝试与交流；第（2）小题来源于书本九年级上册《2.6正多边形与圆》中的操作与思考。但是通过适当的改编，很好地体现了命题“源于教材，却高于教材”，注重考查知识结构的系统性和完整性，为数学课堂教学的改革提供了良好的导向。
2.立足基础
2017年无锡市初中数学中考指导意见中，对于尺规作图的要求是这样的：①五种基本作图；②利用基本作图作三角形；③利用基本作图完成：过不共线三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形；④了解尺规作图的道理，保留作图痕迹，不要求写出作法。前三条的要求是C等级，也就是掌握，第四条是B等级，只要理解即可。本题考查圆外心的知识点，突出对正六边形的特点与作法的考查，不仅重点考查学生的数学基本作图能力，而且突出考查学生的分析能力、推理能力等数学素养。
3.基于素养
尺规作图是一种很好的考查内容的方法。第（1）小题实际上已经确定一个点（定点圆心）和一条线段（定长DO），根据圆的定义就可以把圆O作出来。实际上这一小题起着承上启下的作用。学生如果缺少圆的意识，还可以通过画一个正六边形，再分析推理得出正六边形的一些性质和特点，如正六边形的对称性等，这样就迎刃而解了。这种方法就是分析推理法，这对学生的思维能力要求比较高。而我们在平时的教学过程中要尽可能地培养学生的分析推理能力，提高学生的数学核心素养。
4.重在创新
本题不仅考查外心的作法和正六边形的作法，而且在基本模型上添加了条件，把第一小题与第二小题联系在一起，为不同思维层次的学生搭建了不同的平台，在问题解决的过程中充分展示了学生的数学素养。这样作适度的创新，提高了学生思维能力的要求。
二、典型问题及解决的方法
1.典型错误方法
（1）如图1，认为线段DI与线段FG平行，于是在三角形另两边上截取点E、H。
（2）如图2，当学生在BC上找点F时，很多学生过点D作BC的垂线，学生认为垂线与BC的交点就是点F。
（3）如图3，已作出圆O，但是认为圆与三边交点就是正六边形的六个顶点。
（4）如图4，已作出圆O，也找到圆与边交点为点F和点H，但在找剩余点时，是以已知点为圆心，DO为半径，在三角形三边上去截取剩余的点，把五个点硬凑到三边上。
2.答题错误原因
（1）缺乏圆的意识。
（2）对正六边形特点掌握不牢固。
（3）学生缺少分析、推理能力。
3.答题正确方法
（1）在不作圆的前提下，如图1，分别以点D、O为圆心，OD为半径作圆弧，交于三角形AC边右侧的点即为点I，以此类推，作出剩余点。
（2）作圆，与边BC左侧交点为点F，与边AC下侧交点为点H，构成等边三角形DFH。
①如图2，分别作三个内角角平分线或三边垂直平分线交于圆得出剩余三点；②如图3，利用对称性，分别将D、F、H与圆心连接并延长，与圆的交点或者在延长线上以半径去截取得到的点即为剩余三点。
（3）作圆，利用截取法。
①如图4，分别以点D、F、H为圆心，DO为半径在圆周上截取三次，得到点I、G、E；②如图5，以点D为圆心，DO为半径，在圆周上连续截取五次，得到剩余五点。
三、教学导向
1.深度挖掘教材，合理使用教材
学生的学习是以教材为根基的，所以试题的选材、立意必须依托于教材，遵循“植根于教材，来源于教材”“題在书外，理在书中”的命题原则。2017年无锡市中考数学试题中，除了24题以外，多数题目基础性较强，是对教材中的内容的改编和延伸拓展。因此，在数学教学中，教师应该立足于教材，以数学知识的主干内容为框架，将各知识点串连起来，形成知识网；要充分挖掘教材，创造性地使用教材，加强基础知识和基本技能的训练，让学生掌握学习数学的基本方法。
2.依据课标标准，注重落实“四基”
（1）注重实效训练，熟练基本技能。
在基本技能的教学中，要让学生在理解程序和步骤的道理的前提下，掌握技能操作的程序和步骤。比如说尺规作图，学生不仅要知道作图的步骤，而且要能知道这些步骤的理由。基本技能的形成，需要适度的训练，而在训练的过程中，教师要注重训练的实效性。
（2）渗透数学思想，掌握学习技巧。
教师要深入挖掘知识形成过程中所渗透的数学思想与方法，要为学生创设情境，引导学生思考，让学生在探究过程中自悟自生，学会数学的思维，建构学生自己的理解，掌握学习的技巧。任何知识的获取，只有通过自己的思维和理解，才能内化自己的认知。学生认知的发展也不是一种数量上的简单积累的过程，而是认知结构不断重新建构的过程，所以数学教学应该注重数学思维，应为促进学生的理解而教。
（3）积累活动经验，提升解题能力。
数学学习的本质是一种活动，学生对知识的接受是经验、思维投入的过程。所以，教师在教学过程中要注重结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，这才是学生积累数学活动经验的重要途径。比如说在几何教学中，不妨围绕一些基本图形，探究拓展，采用一题多解、一题多变等教学方式，不断加强几何推理经验的积累，提升学生的解题能力。
3.锻炼推理能力，走向核心素养
从所举题目的画图补救的方法中可以看到，推理能力是数学学科的一个特征，是数学学科教学、学习的核心—思维能力的重要方面，同时也是数学核心素养之一。
推理包括合情推理和演绎推理。在“数与代数”“图形与几何”等教学内容中，教师应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，合情推理和演绎推理是相辅相成的两种推理形式。比如在“猜想—证明”的问题探究中，要让学生亲历用合情推理发现结论、用演绎推理证明结论的完整推理过程，在过程中感悟数学思想，锻炼推理能力，提升数学素养。