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解析几何中的对称问题是解析几何中重要的基础内容，也是近年来的高考热点之ー.对称点、对称直线的求法，对称问题的简单应用及其解题过程中所体现的思想和方法是学生必须掌握的。这里对对称问题进行适当的归纳、总结.使学生对这部分知识有个较完整的、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手.
题型一：点关于点对称
思路分析：P（x_0，y_0 ）关于点M（a，b）的对称点为P^' （x，y）.则有{（（x_0+x）/2=a@（y_0+y）/2=b）┤所以{（x=2a-x_0@y=2b-y_0 ）┤即点P^' （2a-x_0，2b-y_0 ）.特别地，点P关于坐标原点O的对称点为P^' （-x_0，-y_0 ）
例1：点（1，1）关于点（2，3）的对称点坐标是
解：设所求对称点坐标为（x，y），则{（（1+x）/2=2@（1+y）/2=3）┤ 所以{（x=3@y=5）┤ 即所求点坐标（3，5）
练习：点（-2，3）关于点（1，2）的对称点坐标是
题型二：点关于直线对称
思路分析：（1）若点P关于直线l的对称点为P^'，则直线l为线段PP^'的中垂线，于是有以下等量关系：①K_（PP^' ）·K_l=-1（直线l的斜率存在且不为0） ②线段PP^'的中点在直线l上 ③直线l上的任意一点到P，P^'的距离相等。
解法总结：设P（x_1，y_1 ），P^' （x_2，y_2 ）关于直线l：Ax+By+C=0对称，则线段PP^'的中点在对称轴l上，而且过点P，P^'的直线垂直于对称轴l由{（A （x_1+x_2）/2+B （y_1+y_2）/2+C=0@（y_1-y_2）/（x_1-x_2 ）·（-A/B）=-1）┤可得P关于直线l的对称点P^' （x_2，y_2 ） （其中B≠0且x_1≠x_2）
例2：求點A（2，2）关于直线2x-4y+9=0的对称点的坐标
解：设点B（x，y）是点A（2，2）关于直线的对称点则有{（2·（x+2）/2-4 （y+2）/2+9=0@（y-2）/（x-2）·1/2=-1）┤ 解得{（x=1@y=4）┤，所以对称点的坐标为（1，4）
点评：点关于直线的对称问题可转化为中点和垂直的问题来解决。
练习：光线通过点A（2，3），在直线l：x+y+1=0上反射，反射光线经过B（1，1），试求入射光线和反射光线所在直线的方程。（答案）反射光线4x-5y+1=0入射光线5x-4y+2=0
总结：常见的点关于直线的对称点：①点P（x_0，y_0 ）关于X轴的对称点P^' （x_0，-y_0 ）；②点P（x_0，y_0 ）关于Y轴的对称点P^' （-x_0，y_0 ）；③点P（x_0，y_0 ）关于直线y=x的对称点P^' （y_0，x_0 ）；④点P（x_0，y_0 ）关于直线y=-x的对称点P^' （-y_0，-x_0 ）；⑤点P（x_0，y_0 ）关于直线x=m（m≠0）的对称点P^' （2m-x_0，y_0 ）⑥点P（x_0，y_0 ）关于直线y=n（n≠0）的对称点P^' （x_0，2n-y_0 ）
题型三：直线关于点对称
思路分析：方法一.直线关于点的对称问题，可转化为点关于点的对称问题来求解.在直线上任意的取两个不同的点，分别求它们的对称点必在要求直线上。
方法二.有几何图形可知，所求直线与已知直线相互平行，再用对称点到两直线的距离相等来求解。
方法三.任意点法-代入法：在所求直线上任意取一个点（x，y），则其对称点必在已知直线上，代入已知直线得x，y满足的方程，即为所求直线.
例3：求直线x+y+1=0关于点（1，2）对称的直线方程
解：方法一，在直线上任取两个不同的点A（0，-1），B（-1，0）它们关于点（1，2）的对称点分别为C（a，b），D（m，n），由{（（0+a）/2=1@（-1+b）/2=2）┤解得{（a=2@b=5）┤ 即得C（2，5），由{（（-1+m）/2=1@（0+n）/2=2）┤ 解得{（m=3@n=4）┤ 即得D（3，4）由C，D两点坐标可得直线方程：y-5= （5-4）/（2-3） （x-2），整理x+y-7=0即为所求直线方程
方法二，由平面几何可知，所求直线与已知直线平行设所求直线方程为x+y+c=0（c≠1），因为点（1，2）到直线x+y+1=0的距离为d=|1+2+1|/√（1^2+1^2 ）=4/√2=2√2，所以点（1，2）到直线x+y+c=0的距离|1+2+c|/√（1^2+1^2 ）=2√2，故c=-7所以所求直线方程为x+y-7=0
方法三，设P（x，y）为所求直线上的任意一点，记点P关于点（1，2）的对称点为Q（m，n），
由{（（x+m）/2=1@（y+n）/2=2）┤ 可得 {（m=2-x@n=4-y）┤，又因为Q点在直线x+y+1=0上，所以m+n+1=0也即是：2-x+4-y+1=0，整理得所求直线方程为x+y-7=0
点评：直线关于点的对称问题最终都可以转化为点关于点的对称问题.其中方法三代入法，是一个相对比较简单，并且是求轨迹方程的常用方法.
练习：求直线x+2y-1=0关于点（2，3）对称的直线方程
（答案）x+2y-15=0
题型四 直线关于直线对称
思路分析：方法一，转化为点关于直线的对称问题
方法二，用代入法求解
例4：求直线x-y-2=0关于直线l：3x-y+3=0对称的直线方程
解：方法一，由{（x-y-2=0@3x-y+3=0）┤得交点p（-5/2，-9/2），取直线x-y-2=0上一点A（0，-2），设A点关于直线l的对称点为B（m，n），则根据k_AB·k_l=-1，且线段AB的中点在直线l上，有{（（n+2）/（m-0）×3=-1@3×m/2-（n-2）/2+3=0）┤解得{（m=-3@n=-1）┤B（-3，-1）.故所求直线过P，B两点所以所求直线方程为y+9/2=（-9/2+1）/（-5/2+3）·（x+5/2）即7x+y+22=0，
方法二，设P（x，y）为所求直线上任意一点，P关于直线l的对称点为Q（m，n）.根据k_PQ·k_l=-1，且线段PQ的中点在直线l上，可得{（（n-y）/（m-x）·3=-1@3·（m+x）/2-（n+y）/2+3=0）┤，解得{（m=（-8x+6y-18）/10@n=（6x+8y+6）/10）┤，又因为Q点在直线x-y-2=0上，所以（-8x+6y-18）/10-（6x+8y+6）/10-2=0，即7x+y+22=0.故所求直线方程为7x+y+22=0.
例5：求直线x-y-2=0关于直线l：x-y+3=0对称的直线方程
解：方法一，直线x-y-2=0与直线l：x-y+3=0平行，由平面几何知识可知，所求直线也和直线l平行，可设所求直线方程为：x-y+c=0（c≠-2），直线x-y-2=0到直线l的距离和所求直线到直线l的距离相等，可得|-2-3|/√（1^2+（-1）^2 ）=|3-c|/√（1^2+（-1）^2 ）解得c=8.故所求直线方程为x-y+8=0.
方法二，设P为所求直线上任意一点，P关于直线l的对称点为Q（m，n）.根据k_PQ·k_l=-1，且线段PQ的中点在直线l上，可得{（（n-y）/（m-x）×1=-1@（m+x）/2-（n+y）/2+3=0）┤解得{（m=y-3@n=x+3）┤，又因为点Q在直线x-y-2=0上，所以y-3-（x+3）-2=0即x-y+8=0.故所求直线方程为x-y+8=0.
点评：直线关于直线的对称问题首先要判断两条直线的位置关系.直线关于直线的对称问题最终都可以转化为点关于直线的对称问题.其中方法二代入法，是一个相对比较简单，并且是求轨迹方程的常用方法.
练习：求直线3x-y+2=0关于直线l：x-y+1=0对称的直线方程（答案）5x-7y+2=0
题型一：点关于点对称
思路分析：P（x_0，y_0 ）关于点M（a，b）的对称点为P^' （x，y）.则有{（（x_0+x）/2=a@（y_0+y）/2=b）┤所以{（x=2a-x_0@y=2b-y_0 ）┤即点P^' （2a-x_0，2b-y_0 ）.特别地，点P关于坐标原点O的对称点为P^' （-x_0，-y_0 ）
例1：点（1，1）关于点（2，3）的对称点坐标是
解：设所求对称点坐标为（x，y），则{（（1+x）/2=2@（1+y）/2=3）┤ 所以{（x=3@y=5）┤ 即所求点坐标（3，5）
练习：点（-2，3）关于点（1，2）的对称点坐标是
题型二：点关于直线对称
思路分析：（1）若点P关于直线l的对称点为P^'，则直线l为线段PP^'的中垂线，于是有以下等量关系：①K_（PP^' ）·K_l=-1（直线l的斜率存在且不为0） ②线段PP^'的中点在直线l上 ③直线l上的任意一点到P，P^'的距离相等。
解法总结：设P（x_1，y_1 ），P^' （x_2，y_2 ）关于直线l：Ax+By+C=0对称，则线段PP^'的中点在对称轴l上，而且过点P，P^'的直线垂直于对称轴l由{（A （x_1+x_2）/2+B （y_1+y_2）/2+C=0@（y_1-y_2）/（x_1-x_2 ）·（-A/B）=-1）┤可得P关于直线l的对称点P^' （x_2，y_2 ） （其中B≠0且x_1≠x_2）
例2：求點A（2，2）关于直线2x-4y+9=0的对称点的坐标
解：设点B（x，y）是点A（2，2）关于直线的对称点则有{（2·（x+2）/2-4 （y+2）/2+9=0@（y-2）/（x-2）·1/2=-1）┤ 解得{（x=1@y=4）┤，所以对称点的坐标为（1，4）
点评：点关于直线的对称问题可转化为中点和垂直的问题来解决。
练习：光线通过点A（2，3），在直线l：x+y+1=0上反射，反射光线经过B（1，1），试求入射光线和反射光线所在直线的方程。（答案）反射光线4x-5y+1=0入射光线5x-4y+2=0
总结：常见的点关于直线的对称点：①点P（x_0，y_0 ）关于X轴的对称点P^' （x_0，-y_0 ）；②点P（x_0，y_0 ）关于Y轴的对称点P^' （-x_0，y_0 ）；③点P（x_0，y_0 ）关于直线y=x的对称点P^' （y_0，x_0 ）；④点P（x_0，y_0 ）关于直线y=-x的对称点P^' （-y_0，-x_0 ）；⑤点P（x_0，y_0 ）关于直线x=m（m≠0）的对称点P^' （2m-x_0，y_0 ）⑥点P（x_0，y_0 ）关于直线y=n（n≠0）的对称点P^' （x_0，2n-y_0 ）
题型三：直线关于点对称
思路分析：方法一.直线关于点的对称问题，可转化为点关于点的对称问题来求解.在直线上任意的取两个不同的点，分别求它们的对称点必在要求直线上。
方法二.有几何图形可知，所求直线与已知直线相互平行，再用对称点到两直线的距离相等来求解。
方法三.任意点法-代入法：在所求直线上任意取一个点（x，y），则其对称点必在已知直线上，代入已知直线得x，y满足的方程，即为所求直线.
例3：求直线x+y+1=0关于点（1，2）对称的直线方程
解：方法一，在直线上任取两个不同的点A（0，-1），B（-1，0）它们关于点（1，2）的对称点分别为C（a，b），D（m，n），由{（（0+a）/2=1@（-1+b）/2=2）┤解得{（a=2@b=5）┤ 即得C（2，5），由{（（-1+m）/2=1@（0+n）/2=2）┤ 解得{（m=3@n=4）┤ 即得D（3，4）由C，D两点坐标可得直线方程：y-5= （5-4）/（2-3） （x-2），整理x+y-7=0即为所求直线方程
方法二，由平面几何可知，所求直线与已知直线平行设所求直线方程为x+y+c=0（c≠1），因为点（1，2）到直线x+y+1=0的距离为d=|1+2+1|/√（1^2+1^2 ）=4/√2=2√2，所以点（1，2）到直线x+y+c=0的距离|1+2+c|/√（1^2+1^2 ）=2√2，故c=-7所以所求直线方程为x+y-7=0
方法三，设P（x，y）为所求直线上的任意一点，记点P关于点（1，2）的对称点为Q（m，n），
由{（（x+m）/2=1@（y+n）/2=2）┤ 可得 {（m=2-x@n=4-y）┤，又因为Q点在直线x+y+1=0上，所以m+n+1=0也即是：2-x+4-y+1=0，整理得所求直线方程为x+y-7=0
点评：直线关于点的对称问题最终都可以转化为点关于点的对称问题.其中方法三代入法，是一个相对比较简单，并且是求轨迹方程的常用方法.
练习：求直线x+2y-1=0关于点（2，3）对称的直线方程
（答案）x+2y-15=0
题型四 直线关于直线对称
思路分析：方法一，转化为点关于直线的对称问题
方法二，用代入法求解
例4：求直线x-y-2=0关于直线l：3x-y+3=0对称的直线方程
解：方法一，由{（x-y-2=0@3x-y+3=0）┤得交点p（-5/2，-9/2），取直线x-y-2=0上一点A（0，-2），设A点关于直线l的对称点为B（m，n），则根据k_AB·k_l=-1，且线段AB的中点在直线l上，有{（（n+2）/（m-0）×3=-1@3×m/2-（n-2）/2+3=0）┤解得{（m=-3@n=-1）┤B（-3，-1）.故所求直线过P，B两点所以所求直线方程为y+9/2=（-9/2+1）/（-5/2+3）·（x+5/2）即7x+y+22=0，
方法二，设P（x，y）为所求直线上任意一点，P关于直线l的对称点为Q（m，n）.根据k_PQ·k_l=-1，且线段PQ的中点在直线l上，可得{（（n-y）/（m-x）·3=-1@3·（m+x）/2-（n+y）/2+3=0）┤，解得{（m=（-8x+6y-18）/10@n=（6x+8y+6）/10）┤，又因为Q点在直线x-y-2=0上，所以（-8x+6y-18）/10-（6x+8y+6）/10-2=0，即7x+y+22=0.故所求直线方程为7x+y+22=0.
例5：求直线x-y-2=0关于直线l：x-y+3=0对称的直线方程
解：方法一，直线x-y-2=0与直线l：x-y+3=0平行，由平面几何知识可知，所求直线也和直线l平行，可设所求直线方程为：x-y+c=0（c≠-2），直线x-y-2=0到直线l的距离和所求直线到直线l的距离相等，可得|-2-3|/√（1^2+（-1）^2 ）=|3-c|/√（1^2+（-1）^2 ）解得c=8.故所求直线方程为x-y+8=0.
方法二，设P为所求直线上任意一点，P关于直线l的对称点为Q（m，n）.根据k_PQ·k_l=-1，且线段PQ的中点在直线l上，可得{（（n-y）/（m-x）×1=-1@（m+x）/2-（n+y）/2+3=0）┤解得{（m=y-3@n=x+3）┤，又因为点Q在直线x-y-2=0上，所以y-3-（x+3）-2=0即x-y+8=0.故所求直线方程为x-y+8=0.
点评：直线关于直线的对称问题首先要判断两条直线的位置关系.直线关于直线的对称问题最终都可以转化为点关于直线的对称问题.其中方法二代入法，是一个相对比较简单，并且是求轨迹方程的常用方法.
练习：求直线3x-y+2=0关于直线l：x-y+1=0对称的直线方程（答案）5x-7y+2=0