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数学中抽象的概念特别多，如自然数、点、线、面、体等。为帮助学生更好地理解抽象的、形式化的数学概念，教师应清楚数学概念教学的一般过程，它主要涉及以下三个环节（途径）：概念探究、变式教学、数学联结。
一、通过合理设置的“脚手架”，探究概念的外延与内涵。
“脚手架”理念与传统课堂教学实践中的铺垫策略有许多相通之处。把这一概念推广到教学中，主要有两个用意：一是通过搭建“脚手架”降低任务的难度；二是在没有完成低层次任务的情况下也可以从事高层次的任务。
由于数学概念相对比较抽象，因此在数学概念的教学中最基本的搭建“脚手架”的方法是将其具体化，如通过“手工操作”的方式来帮助学生掌握数学概念。
笔者以“圆的认识”为例具体阐述。“圆”的相关知识在2014人教版教材中出现两次，第一次是在一年级下册，第二次是在六年级上册。在这两次认识中，我们可以分两个层次引导学生进行概念探究。
第一层次（一年级下册）：游戏中初步感悟。
师（出示一个盒子）：老师在这个盒子里装了一些长方形、正方形、三角形、圆，以及其他平面图形，你能从中摸出一个圆吗？
学生跃跃欲试，几个学生上台并准确摸出了圆。
师：你们为什么不摸出这些图形？（出示三角形、平行四边形、长方形）
师：你觉得圆和这些图形各有哪些特点呢？
第二层次（六年级上册）：活动中二度建构。
师：请同学们结合手中的学习材料，用圆片折一折，画一画，量一量。边操作边思考：同一个圆里的半径有什么特点？直径有什么特点？半径和直径又有什么关系？
学生带着问题，有的折，有的量，有的比一比，积极投入研究活动，并在动手操作和合作交流中自主建构了圆半径、直径的特征，以及半径与直径之间的关系。
教师根据不同年龄段学生的心理认知特点，引导他们进行适当的手工操作，帮助不同年级的学生把几何形状和它们的性质概念化，达到他们相应年级应该达到的水平。
需要注意的是，“脚手架”作为一种教学辅助手段，具有持续性与暂时性的特点。在学习过程中，当学生在“脚手架”的功能区中取得了足够的积累时，“脚手架”可能变得多余，教师应给予“拆除”。同时，新的学习过程要求新的“脚手架”，它需要移动至新的最近发展区。
二、通过各种变式，对概念进行多角度的辨析与理解
1.在直观具体的变式中建立联系。
数学概念虽然抽象，但大多数概念直接来自具体的感性经验。因此，引入概念的关键是建立感性经验与抽象概念之间的联系。
平行与垂直，这两个概念比较抽象，学生不易理解。有经验的教师通常会借助两类变式：一是通过桌面上两支笔的不同摆放位置使学生理解垂直和平行研究的是在同一平面内两条直线的位置关系。二是利用不同的图形变式，使学生原有的感性经验从具体直观上升到图形的水平。这里必须强调的是，在教学的适当阶段还应尽可能地摆脱具体或直观的背景，使概念上升到抽象水平。
2.在非标准变式中突出概念的本质属性。
每个数学概念都有一个明晰的边界，即它是一种外延性概念。从逻辑的角度看，外延性概念所包含的每个对象都是等价的。
如图1所示，第一列中的两条直线都是互相垂直的；第二列中的两个图形都是平行四边形；第三列标示的都是三角形的高；第四列表示的都是圆的半径和直径。以上陈述在概念的对象集合中是等价的，但在学生的概念理解系统中，这些对象的地位并不相同。学生由于受到感性经验的影响，或在引入概念时有“先入为主”等多种原因的干扰，学生很容易判断出第一排图形是概念图形，因为它们具有标准的形式而称为标准变式；而对于第二排图形，学生就会感到迟疑或不能确定它们是不是概念图形，我们把这种非标准的形式称为“非标准变式”。
在这两种概念变式中，标准变式是把双刃剑，一方面它有利于学生对概念的准确把握，另一方面却容易限制学生的思维，从而人为地缩小概念的外延。解决这个问题的有效办法就是不断变换概念的非本质属性，充分利用非标准变式，突出其本质属性。
3.在非概念变式中明确概念的外延。
除了在内涵上下工夫，数学概念作为一种外延性概念，教师应充分利用“非概念变式”，让学生明确概念所包含对象的清晰边界。
如图2所示，平行与垂直，通过非概念图形与概念图形的比较，可以十分直观地理解概念的本质属性。而在“圆的认识”中，学生认识了半径与直径两个概念后，教师可以让学生从图3这么多线段中找出哪些是半径？哪些是直径？并重点说一说理由。这样操作可以预防学生在理解概念时可能出现的混淆，进一步明确半径与直径这两个概念的内涵和外延，并进行多角度的辨析与理解。由此可见，运用“非概念变式”，学生能够准确地把握概念变式的本质特征。
三、通过数学联结与已有的相关概念建立联系
任何一个数学概念都不是孤立的，把新获得的概念与已有的相关概念相互联系，从而形成一个概念的网络，即数学联结。通常情况下，数学联结有以下三种基本形式。
1.新信息与已有理解之间的联结。如教学“容积”的概念后，可以出示两个体积一样大（容积不同）的盒子，问它们的容积一样大吗？使学生关联、对比容积和体积之间的联系与区别，理解要计算长方体容器的容积要从里面量长、宽、高的必要性。
2.不同数学概念及其表征之间的联结。在“圆的认识”中，注意让学生把圆和三角形、正方形、长方形进行对比，说一说它们有什么相同的地方？有什么不同的地方？这样做的目的是让学生感受到：圆和三角形、正方形、长方形一样，都是平面图形，但圆是由一条曲线围成的封闭图形，而其他图形则是由几条线段围成的。这就把不同的数学概念进行了联结。在学习了质数和合数两个概念后，学生往往把质数和奇数、合数和偶数的概念混淆起来。教师应该引导学生思考：是不是所有的质数都是奇数？是不是所有的奇数都是质数？是不是所有的偶数都是合数？是不是所有的合数都是偶数？将不同数学概念及其表征进行联结，进一步明确奇数和偶数，质数和合数是按照不同的标准对自然数进行分类的结果。
3.数学概念与日常生活中的相关现象之间的联结。学习了“圆的认识”后，让学生解释：车轮为什么是圆的？车轴应装在什么位置？如果体育老师要在操场上画一个大大的圆，该怎么办？学生将眼光投向生活，将新概念与生活紧密联系起来，有利于感知新概念的实际意义。
概念的理解从心理层面讲应该是这样的：当我理解了，我就感到愉快，我就自信；我可以忘掉所有细节，而在需要的时候重新构造；我觉得它已经属于我，我可以把它解释给别人听。
（作者单位：福建省厦门市湖明小学）
一、通过合理设置的“脚手架”，探究概念的外延与内涵。
“脚手架”理念与传统课堂教学实践中的铺垫策略有许多相通之处。把这一概念推广到教学中，主要有两个用意：一是通过搭建“脚手架”降低任务的难度；二是在没有完成低层次任务的情况下也可以从事高层次的任务。
由于数学概念相对比较抽象，因此在数学概念的教学中最基本的搭建“脚手架”的方法是将其具体化，如通过“手工操作”的方式来帮助学生掌握数学概念。
笔者以“圆的认识”为例具体阐述。“圆”的相关知识在2014人教版教材中出现两次，第一次是在一年级下册，第二次是在六年级上册。在这两次认识中，我们可以分两个层次引导学生进行概念探究。
第一层次（一年级下册）：游戏中初步感悟。
师（出示一个盒子）：老师在这个盒子里装了一些长方形、正方形、三角形、圆，以及其他平面图形，你能从中摸出一个圆吗？
学生跃跃欲试，几个学生上台并准确摸出了圆。
师：你们为什么不摸出这些图形？（出示三角形、平行四边形、长方形）
师：你觉得圆和这些图形各有哪些特点呢？
第二层次（六年级上册）：活动中二度建构。
师：请同学们结合手中的学习材料，用圆片折一折，画一画，量一量。边操作边思考：同一个圆里的半径有什么特点？直径有什么特点？半径和直径又有什么关系？
学生带着问题，有的折，有的量，有的比一比，积极投入研究活动，并在动手操作和合作交流中自主建构了圆半径、直径的特征，以及半径与直径之间的关系。
教师根据不同年龄段学生的心理认知特点，引导他们进行适当的手工操作，帮助不同年级的学生把几何形状和它们的性质概念化，达到他们相应年级应该达到的水平。
需要注意的是，“脚手架”作为一种教学辅助手段，具有持续性与暂时性的特点。在学习过程中，当学生在“脚手架”的功能区中取得了足够的积累时，“脚手架”可能变得多余，教师应给予“拆除”。同时，新的学习过程要求新的“脚手架”，它需要移动至新的最近发展区。
二、通过各种变式，对概念进行多角度的辨析与理解
1.在直观具体的变式中建立联系。
数学概念虽然抽象，但大多数概念直接来自具体的感性经验。因此，引入概念的关键是建立感性经验与抽象概念之间的联系。
平行与垂直，这两个概念比较抽象，学生不易理解。有经验的教师通常会借助两类变式：一是通过桌面上两支笔的不同摆放位置使学生理解垂直和平行研究的是在同一平面内两条直线的位置关系。二是利用不同的图形变式，使学生原有的感性经验从具体直观上升到图形的水平。这里必须强调的是，在教学的适当阶段还应尽可能地摆脱具体或直观的背景，使概念上升到抽象水平。
2.在非标准变式中突出概念的本质属性。
每个数学概念都有一个明晰的边界，即它是一种外延性概念。从逻辑的角度看，外延性概念所包含的每个对象都是等价的。
如图1所示，第一列中的两条直线都是互相垂直的；第二列中的两个图形都是平行四边形；第三列标示的都是三角形的高；第四列表示的都是圆的半径和直径。以上陈述在概念的对象集合中是等价的，但在学生的概念理解系统中，这些对象的地位并不相同。学生由于受到感性经验的影响，或在引入概念时有“先入为主”等多种原因的干扰，学生很容易判断出第一排图形是概念图形，因为它们具有标准的形式而称为标准变式；而对于第二排图形，学生就会感到迟疑或不能确定它们是不是概念图形，我们把这种非标准的形式称为“非标准变式”。
在这两种概念变式中，标准变式是把双刃剑，一方面它有利于学生对概念的准确把握，另一方面却容易限制学生的思维，从而人为地缩小概念的外延。解决这个问题的有效办法就是不断变换概念的非本质属性，充分利用非标准变式，突出其本质属性。
3.在非概念变式中明确概念的外延。
除了在内涵上下工夫，数学概念作为一种外延性概念，教师应充分利用“非概念变式”，让学生明确概念所包含对象的清晰边界。
如图2所示，平行与垂直，通过非概念图形与概念图形的比较，可以十分直观地理解概念的本质属性。而在“圆的认识”中，学生认识了半径与直径两个概念后，教师可以让学生从图3这么多线段中找出哪些是半径？哪些是直径？并重点说一说理由。这样操作可以预防学生在理解概念时可能出现的混淆，进一步明确半径与直径这两个概念的内涵和外延，并进行多角度的辨析与理解。由此可见，运用“非概念变式”，学生能够准确地把握概念变式的本质特征。
三、通过数学联结与已有的相关概念建立联系
任何一个数学概念都不是孤立的，把新获得的概念与已有的相关概念相互联系，从而形成一个概念的网络，即数学联结。通常情况下，数学联结有以下三种基本形式。
1.新信息与已有理解之间的联结。如教学“容积”的概念后，可以出示两个体积一样大（容积不同）的盒子，问它们的容积一样大吗？使学生关联、对比容积和体积之间的联系与区别，理解要计算长方体容器的容积要从里面量长、宽、高的必要性。
2.不同数学概念及其表征之间的联结。在“圆的认识”中，注意让学生把圆和三角形、正方形、长方形进行对比，说一说它们有什么相同的地方？有什么不同的地方？这样做的目的是让学生感受到：圆和三角形、正方形、长方形一样，都是平面图形，但圆是由一条曲线围成的封闭图形，而其他图形则是由几条线段围成的。这就把不同的数学概念进行了联结。在学习了质数和合数两个概念后，学生往往把质数和奇数、合数和偶数的概念混淆起来。教师应该引导学生思考：是不是所有的质数都是奇数？是不是所有的奇数都是质数？是不是所有的偶数都是合数？是不是所有的合数都是偶数？将不同数学概念及其表征进行联结，进一步明确奇数和偶数，质数和合数是按照不同的标准对自然数进行分类的结果。
3.数学概念与日常生活中的相关现象之间的联结。学习了“圆的认识”后，让学生解释：车轮为什么是圆的？车轴应装在什么位置？如果体育老师要在操场上画一个大大的圆，该怎么办？学生将眼光投向生活，将新概念与生活紧密联系起来，有利于感知新概念的实际意义。
概念的理解从心理层面讲应该是这样的：当我理解了，我就感到愉快，我就自信；我可以忘掉所有细节，而在需要的时候重新构造；我觉得它已经属于我，我可以把它解释给别人听。
（作者单位：福建省厦门市湖明小学）