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【摘要】在数学教学中教师要重视落实数学思想方法的教学,这样可以提高学生分析问题和解决问题的能力。文中结合中专函数内容的教学,讨论了几种重要的数学思想方法的应用。
【关键词】数学思想方法;中专;函数内容
On the mathematical way of thinking in the secondary function of the Teaching of
Pan Rong
【Abstract】In Mathematics Teaching Mathematics Teachers should pay attention to the implementation of the teaching of thinking, this can improve the students to analyze and solve problems. Secondary function of the content of the text in combination with the teaching, to discuss several important applications of mathematical thinking.
【Key words】mathematical way of thinking; secondary; function of the content of
日本著名学者米山国藏曾经指出“无论是对于科学工作者,技术人员还是数学教育工作者,最重要的是数学的精神、思想和方法,而数学的知识只是第二位的”。J.S.布鲁纳也指出:掌握基本数学思想和方法能使数学更易于理解和更易于记忆,领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。因此,在数学教学中教师要重视落实数学思想方法的教学,这样可以提高学生分析问题和解决问题的能力,减少解题中的思维障碍。在中专函数的内容中,蕴涵了几种重要的数学思想方法。
1 数形结合的思想
数学以现实世界的数学关系和空间形式作为其研究对象,而数和形是相互联
系,并可以相互转化的。数形结合就是根据数量与图形之间的关系,认识研究对象的数学特征,或把问题的数量关系转化为图形的性质来研究,或把图形的性质转化为数量关系来研究,从而寻找解决问题的方法。数形结合是沟通数与形内在联系的有效途径,或是由数构形、以形促数;或是由形思数,以数论形。著名的数学家华罗庚说得好:“数”缺“形”时少直观,“形”离“数”时难入微。
函数的内容最好是采用数形结合的方法来组织教学。对于函数概念和性质,除正面讲清用数量关系给出的定义外,还要借助图形直观揭示形的一面,用不同的语言(数的语言、形的语言)、从不同的角度、以不同的形式来认识函数概念、性质和图象的本质。函数概念一开始就介绍集合,而集合可用文氏图表示集合间的关系与运算;定义域、值域概念及其表示则可通过数轴来表示与认识;函数关系与图象——用平面点集来描写、揭示函数关系(对应关系),而且用这个平面点集组成的曲线来刻画函数的性质:奇偶性——关于原点或y轴的对称性,单调性——函数的走势、升降,最大值——最高点,最小值——最低点,有界性——是否存在平行线或直线,周期性——图象能否有规律的重复出现或重叠,等等。可见,在代数的核心内容函数的教学中,教师应努力做好这种“数”与“形”关系的揭示、转化与统一——这正是函数知识的精髓,这样将有助于学生抓住函数知识的本质,抓住知识的内部联系,进一步地帮助他们系统地理解、掌握和运用函数知识去解决相关问题,这正是学生思维深刻性与灵活性的发展,也体现了数形结合思想是将知识转化为能力的“桥”。[1]
例化简1-2sinxcosx,(0≤x≤π).
解原式=(sinx-cosx)2=|sinx-cosx|.
由图可知,此绝对值的零点是x=π4,
当0≤x≤π4时,sinx≤cosx;
当π4cosx.
所以原式=cosx-sinx,0≤x≤π4
sinx-cosx,π4
2 分类讨论的思想
分类讨论思想是依据数学对象本质属性的相同点和不同点,将数学对象划分为不同种类分别进行研究或求解的一种数学思想。即针对问题的情况,首先选定一个标准,从始至终按照这个标准进行分类,化整为零,然后“各个击破”,它能帮助学生在解题时,做到思维缜密、严谨、不重复、不遗漏。
例 如果ax2-5x>ax-7(其中a>0且a≠1),求x的取值范围。
解:依据指数函数的性质,分两种情况解答:
(1)当a>1时,y=au是增函数.因为ax2-5x>ax-7,所以x2-5x>x-7,即x2-6x+7>0.
解之得x<-1或x>7.
(2)当0ax-7,所以x2-5x 解之得-1
3 等价转化思想
等价转化,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象,进而达到解决问题的一种数学思想。一般总是将复杂的问题等价转化为简单的问题,将难解的问题通过等价转化为容易求解的问题,将未解决的问题等价转化为已解决的问题。从这一点来说,解题过程就是一个不断转化的过程。师生有意识地运用等价转化方法灵活解决有关数学问题,将有利于强化在解决数学问题中的应变能力,有利于提高解决数学问题的思维能力和技能、技巧。[2]
例如, 在解答集合问题时,有时需要对给定的条件进行等价转化,才有助于理解问题的含义,并得以将条件有效利用,使问题得到解决。
例1 已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={2,3},C={-4,2},满足(A∩B)￠,A∩C=￠,求实数a的值。
[分析] (A∩B)￠A∩B≠￠
即集合A,B至少有一个相同元素
又A∩C=￠
∴3∈A,2∈/A
将x=3代入集合A的条件,得
a2-3a-10=0
∴ a=-2或a=5
经检验a=-2符合已知条件,a=5不符合已知条件
∴a=-2.
又如在函数的内容中,解析式的恒等变形、三角函数值与角终边满足的条件的转化等等都要考虑等价转化思想。
例2 解不等式log12(x2-3x-4)>log12(2x+10)
解 要使原不等式成立,须满足x2-3x-4>02x+10>0
又由对数函数的单调性可得,x2-3x-4<2x+10.因此,原不等式可转化
为不等式组:x2-3x-4>0
2x+10>0
x2-3x-4<2x+10
解之得, -2
参考文献
[1] 路洪香.在函数教学中有效渗透数学思想方法的研究与实践[D].东北师范大学,2007:27
[2] 潘厚勇. 解决集合问题时数学思想的运用[J]. 牡丹江教育学院学报,2005(6):91
收稿日期:2009-12-17
【关键词】数学思想方法;中专;函数内容
On the mathematical way of thinking in the secondary function of the Teaching of
Pan Rong
【Abstract】In Mathematics Teaching Mathematics Teachers should pay attention to the implementation of the teaching of thinking, this can improve the students to analyze and solve problems. Secondary function of the content of the text in combination with the teaching, to discuss several important applications of mathematical thinking.
【Key words】mathematical way of thinking; secondary; function of the content of
日本著名学者米山国藏曾经指出“无论是对于科学工作者,技术人员还是数学教育工作者,最重要的是数学的精神、思想和方法,而数学的知识只是第二位的”。J.S.布鲁纳也指出:掌握基本数学思想和方法能使数学更易于理解和更易于记忆,领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。因此,在数学教学中教师要重视落实数学思想方法的教学,这样可以提高学生分析问题和解决问题的能力,减少解题中的思维障碍。在中专函数的内容中,蕴涵了几种重要的数学思想方法。
1 数形结合的思想
数学以现实世界的数学关系和空间形式作为其研究对象,而数和形是相互联
系,并可以相互转化的。数形结合就是根据数量与图形之间的关系,认识研究对象的数学特征,或把问题的数量关系转化为图形的性质来研究,或把图形的性质转化为数量关系来研究,从而寻找解决问题的方法。数形结合是沟通数与形内在联系的有效途径,或是由数构形、以形促数;或是由形思数,以数论形。著名的数学家华罗庚说得好:“数”缺“形”时少直观,“形”离“数”时难入微。
函数的内容最好是采用数形结合的方法来组织教学。对于函数概念和性质,除正面讲清用数量关系给出的定义外,还要借助图形直观揭示形的一面,用不同的语言(数的语言、形的语言)、从不同的角度、以不同的形式来认识函数概念、性质和图象的本质。函数概念一开始就介绍集合,而集合可用文氏图表示集合间的关系与运算;定义域、值域概念及其表示则可通过数轴来表示与认识;函数关系与图象——用平面点集来描写、揭示函数关系(对应关系),而且用这个平面点集组成的曲线来刻画函数的性质:奇偶性——关于原点或y轴的对称性,单调性——函数的走势、升降,最大值——最高点,最小值——最低点,有界性——是否存在平行线或直线,周期性——图象能否有规律的重复出现或重叠,等等。可见,在代数的核心内容函数的教学中,教师应努力做好这种“数”与“形”关系的揭示、转化与统一——这正是函数知识的精髓,这样将有助于学生抓住函数知识的本质,抓住知识的内部联系,进一步地帮助他们系统地理解、掌握和运用函数知识去解决相关问题,这正是学生思维深刻性与灵活性的发展,也体现了数形结合思想是将知识转化为能力的“桥”。[1]
例化简1-2sinxcosx,(0≤x≤π).
解原式=(sinx-cosx)2=|sinx-cosx|.
由图可知,此绝对值的零点是x=π4,
当0≤x≤π4时,sinx≤cosx;
当π4
所以原式=cosx-sinx,0≤x≤π4
sinx-cosx,π4
2 分类讨论的思想
分类讨论思想是依据数学对象本质属性的相同点和不同点,将数学对象划分为不同种类分别进行研究或求解的一种数学思想。即针对问题的情况,首先选定一个标准,从始至终按照这个标准进行分类,化整为零,然后“各个击破”,它能帮助学生在解题时,做到思维缜密、严谨、不重复、不遗漏。
例 如果ax2-5x>ax-7(其中a>0且a≠1),求x的取值范围。
解:依据指数函数的性质,分两种情况解答:
(1)当a>1时,y=au是增函数.因为ax2-5x>ax-7,所以x2-5x>x-7,即x2-6x+7>0.
解之得x<-1或x>7.
(2)当0
3 等价转化思想
等价转化,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象,进而达到解决问题的一种数学思想。一般总是将复杂的问题等价转化为简单的问题,将难解的问题通过等价转化为容易求解的问题,将未解决的问题等价转化为已解决的问题。从这一点来说,解题过程就是一个不断转化的过程。师生有意识地运用等价转化方法灵活解决有关数学问题,将有利于强化在解决数学问题中的应变能力,有利于提高解决数学问题的思维能力和技能、技巧。[2]
例如, 在解答集合问题时,有时需要对给定的条件进行等价转化,才有助于理解问题的含义,并得以将条件有效利用,使问题得到解决。
例1 已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={2,3},C={-4,2},满足(A∩B)￠,A∩C=￠,求实数a的值。
[分析] (A∩B)￠A∩B≠￠
即集合A,B至少有一个相同元素
又A∩C=￠
∴3∈A,2∈/A
将x=3代入集合A的条件,得
a2-3a-10=0
∴ a=-2或a=5
经检验a=-2符合已知条件,a=5不符合已知条件
∴a=-2.
又如在函数的内容中,解析式的恒等变形、三角函数值与角终边满足的条件的转化等等都要考虑等价转化思想。
例2 解不等式log12(x2-3x-4)>log12(2x+10)
解 要使原不等式成立,须满足x2-3x-4>02x+10>0
又由对数函数的单调性可得,x2-3x-4<2x+10.因此,原不等式可转化
为不等式组:x2-3x-4>0
2x+10>0
x2-3x-4<2x+10
解之得, -2
参考文献
[1] 路洪香.在函数教学中有效渗透数学思想方法的研究与实践[D].东北师范大学,2007:27
[2] 潘厚勇. 解决集合问题时数学思想的运用[J]. 牡丹江教育学院学报,2005(6):91
收稿日期:2009-12-17