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数列美国著名数学教育家波利亚说过：掌握数学就意味着要善于解题.而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，而数学思想是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，有着普遍的应用意义，也是历年高考考查的重点，只有对数学思想理解透彻做到融会贯通时，才能提出新看法、巧解法.
下面结合实例分析如何从数学思想的高度出发解数列问题，旨在开启思维、拓宽思路，让我们对该类问题的认识上个新的台阶，所形成的解题方法成为源头活水.
一、 函数与方程思想
例1 在等差数列{an}中，已知S100=10,S10=100,那么S110=_________.
分析1：由已知条件列方程组，求出a1与d,代入公式即可求获得.
解法1：设数列{an}的公差为d，则S10=10a1+10×92d=100
S100=100a1+100×992d=10a1=1099100
d=-1150
∴S110=11a1+110×1092d=-110.
分析2.由于Sn=d2n2+a1-d2当d≠0时，Sn是关于n的缺常数项的二次函数，故可构造函数解之.
解法2：设Sx=ax2+bx,则S110=1002a+100b=0
S10=102a+10b=100a=-11100
b=11110,
∴Sn=-11100x2+11110x.从而S110=-11100×1102+11110×110=-110.
分析3：由于Snn=d2n2+a1-d2n=d2n+a1-d2是关于n的一次函数（d≠0),因此可用点共线的性质求解.
解：由点10,S1010,100,S100100110,S110110共线，则
10100-10010100-10=S110110-10100110-100，解得S110=-110.
评注：法1就是列方程组和求解的过程，体现的是方程的思想；法2则站在函数的高度分析数列问题，直击问题本质，体现了函数在解答数列问题中的独特魅力;法3是函数与方程思想的统一.事实上，本题揭示了等差数列的一个性质：“若Sp=q,Sq=p(p≠q),则Sp+q=-(p+q)”.
二、 数形结合思想
例２ 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若Sp=Sq(p≠q),则Sp+q=_________.
分析：∵Sn=na1+n(n-1)2d=d2n2+a1-d2n.由题设知d≠0
∴Sn是n的二次函数（缺常数项），其图象是由过原点的抛物线上的点构成.如图所示：
又因抛物线对称轴方程为n=p+q2，故Sp+q=0.
评注：借助函数的图象，利用数形结合思想研究数列，
直观、明了，不失为一种好方法.
三、 分类讨论思想
例３ 设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0(n=1,2,…).
（Ⅰ） 求q的取值范围；
（Ⅱ） 设bn=an+2-32an+1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小.
分析：由于影响Sn的主要因素是q，故本题应首先对其讨论.
解：（Ⅰ） 因为{an}是等比数列，Sn＞0，可得a1=S1＞0,q≠0.
当q=1时,Sn=na1＞0;
当q≠1时,Sn=a1(1-qn)1-q＞0，即1-qn1-q＞0，（n=1,2,…）
上式等价于不等式组：1-q＜0,1-qn＜0,(n=1,2,…) ①
或1-q＞0,1-qn＞0,(n=1,2,…) ②
解①式得q＞1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1＜q＜1.
综上，q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞)
（Ⅱ） 由bn=aa+2-32an+1得bn=anq2-32q,Tn=q2-32qSn.
于是Tn-Sn=Snq2-32q-1=Snq+12(q-2).
又∵Sn＞0且－1＜q＜0或q＞0
当-1＜q＜-12或q＞2时Tn-Sn＞0即Tn＞Sn
当-12＜q＜2且q≠0时，Tn-Sn＜0即Tn＜Sn
当q=-12或q=2时，Tn-Sn=0即Tn=Sn
评注：分类讨论的思想是高考的重点考查内容，在中学数学各章节中都有所体现，数列中能引起讨论的有两处：（1） 利用公式an=Sn-Sn-1时要分n=1和n≥2;(2) 等比数列的前n项和Sn要分q=1,q≠1两种情况.
四、 整体思想
解题时,把一些结构相同的式子整体看待，以简化推理和运算，即所谓“整体思想”用这种思想解决数列运算往往有奇效.如例1中还可以运用整体思想来解，得到下面解法：
解法4 ∵S100-S10=90(a11+a100)2=-90,
∴a11+a100=-2，又∵a11+a100=a1+a110=-2，∴S110=110(a1+a110)2=-110.
例4 设正项等比数列{an}的首项a1=12，前n项和为Sn，且210S30-(210+1)S20+S10=0.
求{an}的通项；
分析：关键求出公比q.注意等比数列的性质的灵活运用.
解：（Ⅰ） 由210S30-(210+1)S20+S10=0得210(S30-S20)=S20-S10,
即210(a21+a22+…+a30)=a11+a12+…+a20,
可得210·q10(a11+a12+…+a20)=a11+a12+…+a20.
因为an＞0，所以210q10=1,解得q=12，因而a1=a1qn-1=12n,n=1,2,….
评注：从整体的角度考虑问题，开阔了视野，能居高临下，从本质上把握解题方向，优化了思维结构.本题运用了等比数列的性质：S2n-Sn=a2n+a2n-1+a2n-2+…+an+1=qn·Sn
五、 归纳思想
例5 下面数表
1=1
3+5=8
7+9+11=27
13+15+17+19=64
21+23+25+27+29=125
所暗示的一般规律是 .
分析：很明显应该从观察特例入手，逐步探求其规律性，这就是“特殊到一般”学科思想.“观察—归纳—猜想”是解决此类的最基本的策略.
解析：设第n行左边第一个数为an,则a1=1,a2=3,an+1=an+2n.叠加得an=n2-n+1,而第n行等式左边是n个奇数的和，故第n行所暗示的一般规律是(n2-n+1)+(n2-n+3)+…+［n2-n+(2n-1)］=n3.
评注：归纳、猜想、证明是解决数列中探索性问题的一种重要方法，它是培养创造性思维的好素材.本题除体现“归纳思想”，也考查了“观察和概括”能力和“特殊与一般”的数学思想.
六、 类比思想
例7 已知等差数列有一性质：若{an}是等差数列，则通项为bn=a1+a2+…+ann的数列{bn}也是等差数列.类似上述命题，相应的等比数列有性质：若{an}是等比数列(an＞0),则通项为_________数列{bn}也是等比数列.
分析：本题是将等差数列的算术平均数类比等比数列的几何平均数，应填bn=na1·a2…an,下面来证明类比的正确性.
设q是等比数列{an}的公比，则bn=na1·a2…an=nan1·q1+2+…+(n-1)=a1·qn-12,因此{bn}是等比数列.
评注：有些数学问题的性质十分类似，运用类比的方法可以发现规律，也有助于培养我们的知识迁移能力、探究能力和创新意识.
七、 转化与化归思想
例8 设a0为常数，且an=-2an-1+3n-1(n∈N)．求通项an.
分析：递推公式是给出数列的一种方式，是数列各项间内在关系的本质反映，但它抽象犹如“笼着轻纱的梦”，倘能化陌生为熟悉，化抽象为具体，乃解决问题的良策.
解法1：两边同除以（-2）n,得an(-2)n=an-1(-2)n-1+13·-32n
令bn=an(-2)n,则bn-bn-1=13·-32n
∴bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1
=13-32n+-32n-1+…+-322+
a1-2=13·-3221--32n-11--32-
12(1-2a0)
=…=15-32n-1+a0
∴an=(-2)nbn=…=15［3n+(-1)n-1·2n］+(-1)n·2na0.
解法2：由an=3n-1-2an-1(n∈N)得an3n=13-23·an-13n-1.
设bn=an3n，则bn=-23bn-1+13.即：bn-15=-23bn-1-15,
（1） 当a0≠15时
得bn-15是以b1-15=2315-a0为首项，-23为公比的等比数列.
则bn-15=2315-a0-23n-1=15-a0(-1)n-123n,
得：an3n=bn=15-a0(-1)n-123n+15,
即an=15［3n+(-1)n-1·2n］+(-1)n·2na0.（*）
（2） 当a0=15时，
由b1-15=2315-a0=0，得b1=15，又由bn-15=-23bn-1-15
知bn=bn-1=bn-2=…=b1=15，进一步得到an=3n·15，也适合上面的（*）an=15［3n+(-1)n-1·2n］+(-1)n·2na0.
综上所述,有(1)、（2）得an=15［3n+(-1)n-1·2n］+(-1)n·2na0
解法3：用待定系数法
设an+λ·3n=-2(an-1+λ·3n-1),即:an=-2an-1-5λ·3n-1,
比较系数得：-5λ=1,所以λ=-15 所以an-15·3n=-2an-1-15·3n-1,
所以数列是an-3n5公比为－2，首项为a1-35的等比数列.
∴an-3n5=1-2a0-35(-2)n-1(n∈N).即an=15［3n+(-1)n-1·2n］+(-1)n·2na0.
评注：法1是将递推数列化为形如an+1-an=f(n)类型；法2是化为形如an+1=can+d的类型;法3则是通过待定系数法直接化为等比数列.通项公式是数列中的重要内容，尤其是由递推公式求通项是近年来高考的热点，也是一个难点，解决这类问题最有效的方法就是化归为我们熟悉的问题.
总之，数列问题历来是高考的热点问题,由于它能有效地考察考生的多种能力, 其解答过程大都蕴含着重要的数学思想方法，故深受命题者的青睐,倘若能站在学科思想的高度去把握数列问题，就相当于站到了阵地的制高点，问题解决起来犹如驾轻就熟，给人一种“问渠哪得清如许？为有源头活水来”的舒适感觉.
下面结合实例分析如何从数学思想的高度出发解数列问题，旨在开启思维、拓宽思路，让我们对该类问题的认识上个新的台阶，所形成的解题方法成为源头活水.
一、 函数与方程思想
例1 在等差数列{an}中，已知S100=10,S10=100,那么S110=_________.
分析1：由已知条件列方程组，求出a1与d,代入公式即可求获得.
解法1：设数列{an}的公差为d，则S10=10a1+10×92d=100
S100=100a1+100×992d=10a1=1099100
d=-1150
∴S110=11a1+110×1092d=-110.
分析2.由于Sn=d2n2+a1-d2当d≠0时，Sn是关于n的缺常数项的二次函数，故可构造函数解之.
解法2：设Sx=ax2+bx,则S110=1002a+100b=0
S10=102a+10b=100a=-11100
b=11110,
∴Sn=-11100x2+11110x.从而S110=-11100×1102+11110×110=-110.
分析3：由于Snn=d2n2+a1-d2n=d2n+a1-d2是关于n的一次函数（d≠0),因此可用点共线的性质求解.
解：由点10,S1010,100,S100100110,S110110共线，则
10100-10010100-10=S110110-10100110-100，解得S110=-110.
评注：法1就是列方程组和求解的过程，体现的是方程的思想；法2则站在函数的高度分析数列问题，直击问题本质，体现了函数在解答数列问题中的独特魅力;法3是函数与方程思想的统一.事实上，本题揭示了等差数列的一个性质：“若Sp=q,Sq=p(p≠q),则Sp+q=-(p+q)”.
二、 数形结合思想
例２ 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若Sp=Sq(p≠q),则Sp+q=_________.
分析：∵Sn=na1+n(n-1)2d=d2n2+a1-d2n.由题设知d≠0
∴Sn是n的二次函数（缺常数项），其图象是由过原点的抛物线上的点构成.如图所示：
又因抛物线对称轴方程为n=p+q2，故Sp+q=0.
评注：借助函数的图象，利用数形结合思想研究数列，
直观、明了，不失为一种好方法.
三、 分类讨论思想
例３ 设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0(n=1,2,…).
（Ⅰ） 求q的取值范围；
（Ⅱ） 设bn=an+2-32an+1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小.
分析：由于影响Sn的主要因素是q，故本题应首先对其讨论.
解：（Ⅰ） 因为{an}是等比数列，Sn＞0，可得a1=S1＞0,q≠0.
当q=1时,Sn=na1＞0;
当q≠1时,Sn=a1(1-qn)1-q＞0，即1-qn1-q＞0，（n=1,2,…）
上式等价于不等式组：1-q＜0,1-qn＜0,(n=1,2,…) ①
或1-q＞0,1-qn＞0,(n=1,2,…) ②
解①式得q＞1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1＜q＜1.
综上，q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞)
（Ⅱ） 由bn=aa+2-32an+1得bn=anq2-32q,Tn=q2-32qSn.
于是Tn-Sn=Snq2-32q-1=Snq+12(q-2).
又∵Sn＞0且－1＜q＜0或q＞0
当-1＜q＜-12或q＞2时Tn-Sn＞0即Tn＞Sn
当-12＜q＜2且q≠0时，Tn-Sn＜0即Tn＜Sn
当q=-12或q=2时，Tn-Sn=0即Tn=Sn
评注：分类讨论的思想是高考的重点考查内容，在中学数学各章节中都有所体现，数列中能引起讨论的有两处：（1） 利用公式an=Sn-Sn-1时要分n=1和n≥2;(2) 等比数列的前n项和Sn要分q=1,q≠1两种情况.
四、 整体思想
解题时,把一些结构相同的式子整体看待，以简化推理和运算，即所谓“整体思想”用这种思想解决数列运算往往有奇效.如例1中还可以运用整体思想来解，得到下面解法：
解法4 ∵S100-S10=90(a11+a100)2=-90,
∴a11+a100=-2，又∵a11+a100=a1+a110=-2，∴S110=110(a1+a110)2=-110.
例4 设正项等比数列{an}的首项a1=12，前n项和为Sn，且210S30-(210+1)S20+S10=0.
求{an}的通项；
分析：关键求出公比q.注意等比数列的性质的灵活运用.
解：（Ⅰ） 由210S30-(210+1)S20+S10=0得210(S30-S20)=S20-S10,
即210(a21+a22+…+a30)=a11+a12+…+a20,
可得210·q10(a11+a12+…+a20)=a11+a12+…+a20.
因为an＞0，所以210q10=1,解得q=12，因而a1=a1qn-1=12n,n=1,2,….
评注：从整体的角度考虑问题，开阔了视野，能居高临下，从本质上把握解题方向，优化了思维结构.本题运用了等比数列的性质：S2n-Sn=a2n+a2n-1+a2n-2+…+an+1=qn·Sn
五、 归纳思想
例5 下面数表
1=1
3+5=8
7+9+11=27
13+15+17+19=64
21+23+25+27+29=125
所暗示的一般规律是 .
分析：很明显应该从观察特例入手，逐步探求其规律性，这就是“特殊到一般”学科思想.“观察—归纳—猜想”是解决此类的最基本的策略.
解析：设第n行左边第一个数为an,则a1=1,a2=3,an+1=an+2n.叠加得an=n2-n+1,而第n行等式左边是n个奇数的和，故第n行所暗示的一般规律是(n2-n+1)+(n2-n+3)+…+［n2-n+(2n-1)］=n3.
评注：归纳、猜想、证明是解决数列中探索性问题的一种重要方法，它是培养创造性思维的好素材.本题除体现“归纳思想”，也考查了“观察和概括”能力和“特殊与一般”的数学思想.
六、 类比思想
例7 已知等差数列有一性质：若{an}是等差数列，则通项为bn=a1+a2+…+ann的数列{bn}也是等差数列.类似上述命题，相应的等比数列有性质：若{an}是等比数列(an＞0),则通项为_________数列{bn}也是等比数列.
分析：本题是将等差数列的算术平均数类比等比数列的几何平均数，应填bn=na1·a2…an,下面来证明类比的正确性.
设q是等比数列{an}的公比，则bn=na1·a2…an=nan1·q1+2+…+(n-1)=a1·qn-12,因此{bn}是等比数列.
评注：有些数学问题的性质十分类似，运用类比的方法可以发现规律，也有助于培养我们的知识迁移能力、探究能力和创新意识.
七、 转化与化归思想
例8 设a0为常数，且an=-2an-1+3n-1(n∈N)．求通项an.
分析：递推公式是给出数列的一种方式，是数列各项间内在关系的本质反映，但它抽象犹如“笼着轻纱的梦”，倘能化陌生为熟悉，化抽象为具体，乃解决问题的良策.
解法1：两边同除以（-2）n,得an(-2)n=an-1(-2)n-1+13·-32n
令bn=an(-2)n,则bn-bn-1=13·-32n
∴bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1
=13-32n+-32n-1+…+-322+
a1-2=13·-3221--32n-11--32-
12(1-2a0)
=…=15-32n-1+a0
∴an=(-2)nbn=…=15［3n+(-1)n-1·2n］+(-1)n·2na0.
解法2：由an=3n-1-2an-1(n∈N)得an3n=13-23·an-13n-1.
设bn=an3n，则bn=-23bn-1+13.即：bn-15=-23bn-1-15,
（1） 当a0≠15时
得bn-15是以b1-15=2315-a0为首项，-23为公比的等比数列.
则bn-15=2315-a0-23n-1=15-a0(-1)n-123n,
得：an3n=bn=15-a0(-1)n-123n+15,
即an=15［3n+(-1)n-1·2n］+(-1)n·2na0.（*）
（2） 当a0=15时，
由b1-15=2315-a0=0，得b1=15，又由bn-15=-23bn-1-15
知bn=bn-1=bn-2=…=b1=15，进一步得到an=3n·15，也适合上面的（*）an=15［3n+(-1)n-1·2n］+(-1)n·2na0.
综上所述,有(1)、（2）得an=15［3n+(-1)n-1·2n］+(-1)n·2na0
解法3：用待定系数法
设an+λ·3n=-2(an-1+λ·3n-1),即:an=-2an-1-5λ·3n-1,
比较系数得：-5λ=1,所以λ=-15 所以an-15·3n=-2an-1-15·3n-1,
所以数列是an-3n5公比为－2，首项为a1-35的等比数列.
∴an-3n5=1-2a0-35(-2)n-1(n∈N).即an=15［3n+(-1)n-1·2n］+(-1)n·2na0.
评注：法1是将递推数列化为形如an+1-an=f(n)类型；法2是化为形如an+1=can+d的类型;法3则是通过待定系数法直接化为等比数列.通项公式是数列中的重要内容，尤其是由递推公式求通项是近年来高考的热点，也是一个难点，解决这类问题最有效的方法就是化归为我们熟悉的问题.
总之，数列问题历来是高考的热点问题,由于它能有效地考察考生的多种能力, 其解答过程大都蕴含着重要的数学思想方法，故深受命题者的青睐,倘若能站在学科思想的高度去把握数列问题，就相当于站到了阵地的制高点，问题解决起来犹如驾轻就熟，给人一种“问渠哪得清如许？为有源头活水来”的舒适感觉.