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摘 要：学习内容的急剧转换导致的不适应，成为了几何难学的一个重要原因。同时，当教师对学生提出以“因为如何”推理“所以如何”时，这对习惯了形象思维、习惯了以数和四则运算来学习数学的初中生而言，是一个不小的挑战。
关键词：初中几何 高效学习 体验
初中几何是欧氏几何以现代语言向适龄学生提供的一个重要学习内容。作为初中数学的重要组成部分，初中几何即平面几何主要是让学生更多地理解数与形的关系。在实际教学中，初中几何常常有“难教难学”的评价，应该说这在一定程度上与实际情况是吻合的。那为什么会有这一状况出现呢？笔者结合近年来的教学经验，从课程、学生等方面进行了分析，寻找出了部分原因。
一、初中几何“难教难学”的原因
1.从课程内容上来看
习惯了以数为数学学习主要内容的学生，当其开始系统地学习平面几何时，会有一个适应阶段。在这一阶段里，学习对象主要是以图形为主，如点、线、角、面等，运用到的知识除了基本的概念之外，还有命题与逆命题、定理与逆定理，以及为了问题的解决而作的辅助线等。这些内容与学生之前所接触的以数及逻辑运算为主要内容的数学，有着很大的不同。学习内容的急剧转换导致的不适应，成了几何“难教难学”的一个重要原因。
2.从学生的角度来看
由于几何的研究对象是图形，而图形又是事物的抽象概括，要用到的是抽象思维。而且，在具体的问题解决中，除了运用到原来的计算之外，还运用到了诸多推理方法。当我们对学生提出以“因为如何”推理出“所以如何”时，这对习惯了形象思维、习惯了以数和四则运算来学习数学的初中生而言，是一个不小的挑战。
结合几何学习内容及学习方法的特点，去想方设法地激发学生的学习兴趣，是实施有效几何教学的重要出发点。事实上，几何本身有着重要的兴趣点可供发掘。笔者在初中时期的数学本学得不是太好，但后来却有了明显的进步，一个重要的原因就是在学习几何中感受到了成就感。而之所以能够如此，也正是因为当时的数学老师，能够将几何学习与许多有趣的内容结合起来，将枯燥的数学知识以有趣的方式呈现出来，从而使学生们亲之、好之、乐之。
现如今，当笔者自己以数学教师的身份站在学生面前教授几何知识时，也常设法激发学生的学习兴趣。在这样的努力中，笔者总结出些许经验。
二、解决初中几何“难教难学”的策略
1.要善于将教材中的内容与学生的实际生活结合起来，尤其是要挖掘教材内容背后的生活模型
因为我们的几何教材呈现给学生的都是高度抽象的图形，在学生的实际生活中其实是不直接存在这些图形的。而研究又表明，学好几何必须有两个前提：一是让学生产生直观的感觉，而这离不开对实物的感知；二是要学会必要的抽象思维，因为欧氏几何研究的毕竟是抽象的图形。要将两者结合，关键就在于寻找到两者的契合点。
例析1：如图，直线MN一侧有两个点A、B，直线上一点P到A与B距离之和最短时，点P在哪儿？
这一几何问题通常被生活化为：一个人想从河边的A处出发，到河里拎一桶水后送到B处，怎么走路程是最短的？显然，后者比前者更能激发学生的研究兴趣；而后者也能给学生提供一个思考的机会，即将后者所展示的实际情形抽象成类似于前者的几何问题，这可以培养学生的抽象能力，进而培养学生的思考能力。
2.要帮学生建立好几何知识的基本架构，尤其是要重视基本概念的教学
几何的抽象性体现在其研究对象都是点、线、角等概念，这些概念有时看起来简单，但集合在一起时往往不容易辨别其中的关系。
例析2：过直线AB外一点M作AB的垂线。
在初中“点到直线的距离”的教学中，“点到直线的距离”必须要过某点作该直线的垂线段，垂线段的长度就是“点到直线的距离”。从概念上说，就是一个点、两根线和一个直角。这道看似非常简单的题目其实却有着比较高的错误率，其原因在哪里呢？其实只要教师注意到初中这一年龄阶段学生的认知特点就明白了，即学生并没有真正建立起由一个点到另一根直线之间的垂直表象。故，笔者此处所说的建立架构，既包括知识上的架构，也包括学生思维对象的架构，即以数学图景为表现形式的心理表象的建立。
笔者的做法是这样的：将自己的拳头看作一个点，然后找一根细杆作为直线，在手指上系一根皮筯，任意改变细杆的位置，然后将皮筯拉向细杆，并使其垂直于细杆，则此时皮筋的长度所表示的就是拳头到细杆的距离，即点到直线的距离。通过多次变化、重复训练，学生就能掌握此类知识，当他们再遇到类似的问题时，就能比较迅速地找出点到直线的距离。
3.帮助学生学好几何语言
几何知识是用几何语言，即几何知识中的各种符号、图形及表达文字来表达的。也许数学教师对几何教学中所用的如⊙、∥、⊥、□ 等符号已司空见惯，可事实上对于不懂几何的人而言，或者对于刚学习几何的学生而言，这是非常抽象的，更别说其他的规律、定理了，所以必须教会学生读懂这些几何语言。
有些几何符号还是具有较强的表象性特点的，例如上述几个符号都基本上能看出一点几何特点，但对于平行线知识中的内错角、同旁内角，以及三角形中的中位线等概念，就必须进行必要的讲授与训练，学生才能熟练掌握。
此外，任何一个几何规律，都不能只单纯地记文字，必须在思维中有相应的数学图像支撑。例如，记忆“两直线平行，同旁内角互补”时，就要求学生头脑中能及时浮现两条直线平行的情形，知道哪两个角是同旁内角的关系，然后再想象它们加起来等于180度。养成这种利用想象表象辅助学习的习惯，对于几何学习而言是一件非常有益的事情。
几何语言最重要的应用是在证明题上，故常有几何证明是几何学习的制高点的说法。事实也是如此，只要学会了几何证明，那几何学习的问题就几乎全部解决了。而几何证明的过程，实际上又是利用已有的知识，借助于逻辑推理，从已知走向求证的过程。逻辑推理是其中的难点与关键。回溯欧氏几何的诞生与演变历程，可以看出逻辑推理最初是基于公理的，公理与现在学生所学的定理等是不一样的，但其在历史上的地位与学生的证明起点其实却又是相似的。故研究几何发展史上的经典推理典故，对于培养学生的推理兴趣与能力是有益的。
由于推理本身有着明显的个性心理特征，因此拙作暂不具体阐述如何进行逻辑推理能力的培养，只从教学目的上着眼：什么时候我们能让学生明白几何证明其实就是基于已知，寻找通向未知的路；什么时候让学生感受到证明的过程就是“因为”与“所以”交替进行、不断说理的过程，那也可以说学生是懂得了证明的真义了。而要做到这些，仅凭口头教育是不可能达到的，必须让学生在几何证明题的演绎中去亲身体验。
几何或许是难学的，但这种难恰恰体现了几何作为人类文化结晶的固有特点与魅力。而教师引领学生学好几何的过程，又正是克服困难、感受魅力、寻找高峰体验的一段奇妙之旅！
关键词：初中几何 高效学习 体验
初中几何是欧氏几何以现代语言向适龄学生提供的一个重要学习内容。作为初中数学的重要组成部分，初中几何即平面几何主要是让学生更多地理解数与形的关系。在实际教学中，初中几何常常有“难教难学”的评价，应该说这在一定程度上与实际情况是吻合的。那为什么会有这一状况出现呢？笔者结合近年来的教学经验，从课程、学生等方面进行了分析，寻找出了部分原因。
一、初中几何“难教难学”的原因
1.从课程内容上来看
习惯了以数为数学学习主要内容的学生，当其开始系统地学习平面几何时，会有一个适应阶段。在这一阶段里，学习对象主要是以图形为主，如点、线、角、面等，运用到的知识除了基本的概念之外，还有命题与逆命题、定理与逆定理，以及为了问题的解决而作的辅助线等。这些内容与学生之前所接触的以数及逻辑运算为主要内容的数学，有着很大的不同。学习内容的急剧转换导致的不适应，成了几何“难教难学”的一个重要原因。
2.从学生的角度来看
由于几何的研究对象是图形，而图形又是事物的抽象概括，要用到的是抽象思维。而且，在具体的问题解决中，除了运用到原来的计算之外，还运用到了诸多推理方法。当我们对学生提出以“因为如何”推理出“所以如何”时，这对习惯了形象思维、习惯了以数和四则运算来学习数学的初中生而言，是一个不小的挑战。
结合几何学习内容及学习方法的特点，去想方设法地激发学生的学习兴趣，是实施有效几何教学的重要出发点。事实上，几何本身有着重要的兴趣点可供发掘。笔者在初中时期的数学本学得不是太好，但后来却有了明显的进步，一个重要的原因就是在学习几何中感受到了成就感。而之所以能够如此，也正是因为当时的数学老师，能够将几何学习与许多有趣的内容结合起来，将枯燥的数学知识以有趣的方式呈现出来，从而使学生们亲之、好之、乐之。
现如今，当笔者自己以数学教师的身份站在学生面前教授几何知识时，也常设法激发学生的学习兴趣。在这样的努力中，笔者总结出些许经验。
二、解决初中几何“难教难学”的策略
1.要善于将教材中的内容与学生的实际生活结合起来，尤其是要挖掘教材内容背后的生活模型
因为我们的几何教材呈现给学生的都是高度抽象的图形，在学生的实际生活中其实是不直接存在这些图形的。而研究又表明，学好几何必须有两个前提：一是让学生产生直观的感觉，而这离不开对实物的感知；二是要学会必要的抽象思维，因为欧氏几何研究的毕竟是抽象的图形。要将两者结合，关键就在于寻找到两者的契合点。
例析1：如图，直线MN一侧有两个点A、B，直线上一点P到A与B距离之和最短时，点P在哪儿？
这一几何问题通常被生活化为：一个人想从河边的A处出发，到河里拎一桶水后送到B处，怎么走路程是最短的？显然，后者比前者更能激发学生的研究兴趣；而后者也能给学生提供一个思考的机会，即将后者所展示的实际情形抽象成类似于前者的几何问题，这可以培养学生的抽象能力，进而培养学生的思考能力。
2.要帮学生建立好几何知识的基本架构，尤其是要重视基本概念的教学
几何的抽象性体现在其研究对象都是点、线、角等概念，这些概念有时看起来简单，但集合在一起时往往不容易辨别其中的关系。
例析2：过直线AB外一点M作AB的垂线。
在初中“点到直线的距离”的教学中，“点到直线的距离”必须要过某点作该直线的垂线段，垂线段的长度就是“点到直线的距离”。从概念上说，就是一个点、两根线和一个直角。这道看似非常简单的题目其实却有着比较高的错误率，其原因在哪里呢？其实只要教师注意到初中这一年龄阶段学生的认知特点就明白了，即学生并没有真正建立起由一个点到另一根直线之间的垂直表象。故，笔者此处所说的建立架构，既包括知识上的架构，也包括学生思维对象的架构，即以数学图景为表现形式的心理表象的建立。
笔者的做法是这样的：将自己的拳头看作一个点，然后找一根细杆作为直线，在手指上系一根皮筯，任意改变细杆的位置，然后将皮筯拉向细杆，并使其垂直于细杆，则此时皮筋的长度所表示的就是拳头到细杆的距离，即点到直线的距离。通过多次变化、重复训练，学生就能掌握此类知识，当他们再遇到类似的问题时，就能比较迅速地找出点到直线的距离。
3.帮助学生学好几何语言
几何知识是用几何语言，即几何知识中的各种符号、图形及表达文字来表达的。也许数学教师对几何教学中所用的如⊙、∥、⊥、□ 等符号已司空见惯，可事实上对于不懂几何的人而言，或者对于刚学习几何的学生而言，这是非常抽象的，更别说其他的规律、定理了，所以必须教会学生读懂这些几何语言。
有些几何符号还是具有较强的表象性特点的，例如上述几个符号都基本上能看出一点几何特点，但对于平行线知识中的内错角、同旁内角，以及三角形中的中位线等概念，就必须进行必要的讲授与训练，学生才能熟练掌握。
此外，任何一个几何规律，都不能只单纯地记文字，必须在思维中有相应的数学图像支撑。例如，记忆“两直线平行，同旁内角互补”时，就要求学生头脑中能及时浮现两条直线平行的情形，知道哪两个角是同旁内角的关系，然后再想象它们加起来等于180度。养成这种利用想象表象辅助学习的习惯，对于几何学习而言是一件非常有益的事情。
几何语言最重要的应用是在证明题上，故常有几何证明是几何学习的制高点的说法。事实也是如此，只要学会了几何证明，那几何学习的问题就几乎全部解决了。而几何证明的过程，实际上又是利用已有的知识，借助于逻辑推理，从已知走向求证的过程。逻辑推理是其中的难点与关键。回溯欧氏几何的诞生与演变历程，可以看出逻辑推理最初是基于公理的，公理与现在学生所学的定理等是不一样的，但其在历史上的地位与学生的证明起点其实却又是相似的。故研究几何发展史上的经典推理典故，对于培养学生的推理兴趣与能力是有益的。
由于推理本身有着明显的个性心理特征，因此拙作暂不具体阐述如何进行逻辑推理能力的培养，只从教学目的上着眼：什么时候我们能让学生明白几何证明其实就是基于已知，寻找通向未知的路；什么时候让学生感受到证明的过程就是“因为”与“所以”交替进行、不断说理的过程，那也可以说学生是懂得了证明的真义了。而要做到这些，仅凭口头教育是不可能达到的，必须让学生在几何证明题的演绎中去亲身体验。
几何或许是难学的，但这种难恰恰体现了几何作为人类文化结晶的固有特点与魅力。而教师引领学生学好几何的过程，又正是克服困难、感受魅力、寻找高峰体验的一段奇妙之旅！