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一、填空题
1.某学院的A,B,C三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生,B专业有420名学生,则在该学院的C专业应抽取 名学生。
2.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95)由此得到频率分布直方图如图3,则这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是 .
3.一个骰子连续投2 次,点数和为4的概率 .
4.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为 .
5.在平面直角坐标系xoy中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域, E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域,向D 中随机投一点,则落入E中的概率 .
6.从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 。
7.点A为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧AB的长度小于1的概率为 。
8.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如下表:
学生1号2号3号4号5号
甲班67787
乙班67679
则以上两组数据的方差中较小的一个为= .
9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小,则a、b的取值分别是 .
二、解答题
10.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.
11.从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160)、第二组[160,165);…第八组[190,195],右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列.
(1)估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上(含180cm)的人数;
(2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图;
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为x、y,求满足x-y≤5的事件概率.
14.(理科选修)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示,椐统计,随机变量ξ的概率分布如下:
ξ0123
p0.10.32aa
(1)求a的值和ξ的数学期望;
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。
12.(理科选修)已知:(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+……+an(x-1)n(n≥2,n∈N)
(1)当n=5时,求a0+a1+a2+a3+a4+a5的值。
(2)设bn=a22n-3,Tn=b2+b3+b4+…+bn。试用数学归纳法证明:
当n≥2时,Tn=n(n+1)(n-1)3
训练(8)参考答案
一、填空题
1.40
2.13
3.112
4.0.2
5.π16
6.0.75
7.23
8.25
9.a=10.5,b=10.5
二、解答题
10.解:(1)由茎叶图可知:甲班身高集中于160~179之间,而乙班身高集中于170~180之间。因此乙班平均身高高于甲班;
(2)X=158+162+163+168+170+171+179+179+18210=170
甲班的样本方差为110(171-170)2+(179-170)2+(179-170)2+(182-170)2〗=57
(3)设身高为176 cm的同学被抽中的事件为A;
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有:(181,173)(181,176) (181,178) (181,179) (179,173) (179,176) (179,178)(178,173)(178,176)(176,173)共10个基本事件,而事件A含有4个基本事件;∴P(A)=410=25;
11.解:(1)由频率分布直方图知,前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,后三组频率为1-0.82=0.18,人数为0.18×50=9人
这所学校高三男生身高在180cm以上(含180cm)的人数为800×0.18=144 人
(2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04,人数为0.04×50=2人,设第六组人数为m,则第七组人数为9-2-m=7-m,又m+2=2(7-m),所以m=4,即第六组人数为4人,第七组人数为3人,频率分别为0.08,0.06,频率除以组距分别等于0.016,0.012,见图
(3)由(2)知身高在[180,185]内的人数为4人,设为a,b,c,d.身高在[190,195]的人数为2人,设为A,B.
若x,y∈[180,185]时,有ab,ac,ad,bc,bd,cd共六种情况.
若x,y∈[190,195]时,有AB共一种情况.
若x,y分别在[180,185],[190,195]内时,有aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB共8种情况
所以基本事件的总数为6+8+1=15种
事件x-y≤5所包含的基本事件个数有6+1=7种,故P(x-y≤5)=715
12.(理科选修)解:(1)当n=5时,
原等式变为
(x+1)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5
令x=2得a0+a1+a2+a3+a4+a5=35=243
(2)因为(x+1)n=[2+(x-1)]n所以a2=C2n•2n-2
bn=a22n-3=2C2n=n(n-1)(n≥2)
①当n=2时。左边=右边,等式成立。
②假设当n=k(k≥2,k∈N)时,等式成立,即Tk=k(k+1)(k-1)3
那么,当n=k+1时,
左边=Tk+bk+!=k(k+1)(k-1)3+(k+1)[(k+1)-1]=k(k+1)(k-1)3+k(k+1)
=k(k+1)(k-13+1)=k(k+1)(k+2)3=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)-1]3=右边。
故当n=k+1时,等式成立。
综上①②,当n≥2时,Tn=n(n+1)(n-1)3
1.某学院的A,B,C三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生,B专业有420名学生,则在该学院的C专业应抽取 名学生。
2.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95)由此得到频率分布直方图如图3,则这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是 .
3.一个骰子连续投2 次,点数和为4的概率 .
4.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为 .
5.在平面直角坐标系xoy中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域, E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域,向D 中随机投一点,则落入E中的概率 .
6.从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 。
7.点A为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧AB的长度小于1的概率为 。
8.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如下表:
学生1号2号3号4号5号
甲班67787
乙班67679
则以上两组数据的方差中较小的一个为= .
9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小,则a、b的取值分别是 .
二、解答题
10.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.
11.从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160)、第二组[160,165);…第八组[190,195],右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列.
(1)估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上(含180cm)的人数;
(2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图;
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为x、y,求满足x-y≤5的事件概率.
14.(理科选修)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示,椐统计,随机变量ξ的概率分布如下:
ξ0123
p0.10.32aa
(1)求a的值和ξ的数学期望;
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。
12.(理科选修)已知:(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+……+an(x-1)n(n≥2,n∈N)
(1)当n=5时,求a0+a1+a2+a3+a4+a5的值。
(2)设bn=a22n-3,Tn=b2+b3+b4+…+bn。试用数学归纳法证明:
当n≥2时,Tn=n(n+1)(n-1)3
训练(8)参考答案
一、填空题
1.40
2.13
3.112
4.0.2
5.π16
6.0.75
7.23
8.25
9.a=10.5,b=10.5
二、解答题
10.解:(1)由茎叶图可知:甲班身高集中于160~179之间,而乙班身高集中于170~180之间。因此乙班平均身高高于甲班;
(2)X=158+162+163+168+170+171+179+179+18210=170
甲班的样本方差为110(171-170)2+(179-170)2+(179-170)2+(182-170)2〗=57
(3)设身高为176 cm的同学被抽中的事件为A;
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有:(181,173)(181,176) (181,178) (181,179) (179,173) (179,176) (179,178)(178,173)(178,176)(176,173)共10个基本事件,而事件A含有4个基本事件;∴P(A)=410=25;
11.解:(1)由频率分布直方图知,前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,后三组频率为1-0.82=0.18,人数为0.18×50=9人
这所学校高三男生身高在180cm以上(含180cm)的人数为800×0.18=144 人
(2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04,人数为0.04×50=2人,设第六组人数为m,则第七组人数为9-2-m=7-m,又m+2=2(7-m),所以m=4,即第六组人数为4人,第七组人数为3人,频率分别为0.08,0.06,频率除以组距分别等于0.016,0.012,见图
(3)由(2)知身高在[180,185]内的人数为4人,设为a,b,c,d.身高在[190,195]的人数为2人,设为A,B.
若x,y∈[180,185]时,有ab,ac,ad,bc,bd,cd共六种情况.
若x,y∈[190,195]时,有AB共一种情况.
若x,y分别在[180,185],[190,195]内时,有aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB共8种情况
所以基本事件的总数为6+8+1=15种
事件x-y≤5所包含的基本事件个数有6+1=7种,故P(x-y≤5)=715
12.(理科选修)解:(1)当n=5时,
原等式变为
(x+1)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5
令x=2得a0+a1+a2+a3+a4+a5=35=243
(2)因为(x+1)n=[2+(x-1)]n所以a2=C2n•2n-2
bn=a22n-3=2C2n=n(n-1)(n≥2)
①当n=2时。左边=右边,等式成立。
②假设当n=k(k≥2,k∈N)时,等式成立,即Tk=k(k+1)(k-1)3
那么,当n=k+1时,
左边=Tk+bk+!=k(k+1)(k-1)3+(k+1)[(k+1)-1]=k(k+1)(k-1)3+k(k+1)
=k(k+1)(k-13+1)=k(k+1)(k+2)3=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)-1]3=右边。
故当n=k+1时,等式成立。
综上①②,当n≥2时,Tn=n(n+1)(n-1)3