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【摘 要】 数学教科书中的探究活动是学生数学探究学习的主要载体.以日本《中学数学》系列教科书为研究对象，对其中的巩固知识型、拓展知识型、应用知识型探究活动进行梳理，并分别进行案例分析，呈现三类活动的特点.最终得到数学探究活动教学或教科书编写应该注意的三个方面：（1）重视真实背景，体现数学的应用价值;（2）注意问题设计的层次性，激发学生的探究欲望;（3）注重类型均衡，提高学生的数学素养.
【关键词】 探究活动;教科书;日本
数学探究是当下颇受关注的学习活动之一，在各国的数学课程中都占有重要地位.教科书作为承载课程理念最为核心的载体[1]，是学生进行探究活动的重要资源，对教科书中的探究活动进行分析，有助于教师更好地进行探究教学，也可以为教科书编写提供参考.研究表明，我国初中数学教科书中有关数学探究内容的编写仍然面临不少挑战，比如探究情境类型不够丰富、探究问题脱离实际生活等[2].日本的数学教育在全球处于领先地位，其教科书也受到国内外许多学者的研究与借鉴.日本教育出版株式会社于2015年出版了《中学数学》系列教科书，其中的“自由研究”栏目呈现出许多高质量的探究活动案例.本研究将以这些探究活动为研究对象，通过一定的梳理与分析，以期对我国数学教育中探究活动的设置提供启示.
1 “自由研究”栏目中的探究活动概况
日本现行中小学学制为：小学六年、初中和高中分别为三年[3].教育出版株式会社出版的初中数学教科书共有三册：《中学数学1》《中学数学2》《中学数学3》，供初中学段7—9年级学生使用.每册教科书均单独设置了名为“自由研究”的栏目，属于专门的数学探究活动.全三册教科书“自由研究”栏目共设置了12个探究活动.
在各册教科书中的“自由研究”栏目中，其探究活动积极融入本学年要求的数与式、图形、函数、统计与概率等知识，需要学生综合运用已有的知识、技能和方法.例如“时钟长针和短针的重合时间”活动需要学生运用方程式和一次函数的知识;“黄金比例”活动需要学生运用二次方程式和相似的知识.每个探究活动不仅明确给出了学生需要解决的问题，而且设置了多个由易到难的问题，注意启发学生思考，由浅入深地给出思考问题的路径，帮助学生更好地进行数学探究.
将所有探究活动按功能划分，主要包括三类：巩固知识型、拓展知识型和应用知识型三类.巩固知识型探究活动是基于学生已学知识综合设计成探究活动，能够帮助学生进一步巩固所学知识，使知识融会贯通，例如“找到倍数的方法”帮助学生巩固整式的知识;拓展知识型探究活动的目的在于拓宽学生的知识面，帮助学生了解与掌握一些新的数学知识，例如“盲文的结构”使学生了解盲文的读写规则并且学会读盲文，拓展知识面;应用知识型探究活动是指针对社会生活中的实际问题，让学生根据已学习的知识进行探究，分析和解决问题，体会到数学在生活中的广泛应用，例如“建立电话联络网”让学生运用所学知识解决实际问题.三类探究活动在三册教科书中的分布见表1.
2 “自由研究”栏目活动分析
为了更好地探讨“自由研究”栏目中探究活动的内容、特点及其在教科书中的作用，依据以上三种分类，下面以案例的形式对该栏目的探究活动加以分析.
2.1 巩固知识型探究活动
巩固知识型探究活动包括“长方形的分解”“点数和面积的关系”“找到倍数的方法”，这类活动不仅巩固本学期所学新知识，也包括利用新知识对已有知识的拓展探究，使知识融会贯通，例如《中学数学3》中“找到倍数的方法”.
案例 找到倍数的方法.
奥林匹克运动会将于2020年在东京举行（笔者注：因新冠疫情，2020东京奥运会将延期举行）.夏季奥林匹克运动会每4年举行一次，年份是4的倍数.
探究1 1932年夏季奥林匹克运动会在哪个城市举办过？1982年呢？
让我们来思考一下找出4的倍数的方法吧.
探究2 四位数的自然数满足什么条件时是4的倍数？用几个自然数来探究一下吧.
另外，我们来预测一下在什么情况下会变成4的倍数.
设四位数的自然数千位数为a，百位数为b，十位数为c，个位数为d，则“四位自然数”可以表示如下，（a是1-9的自然数，b，c，d分别是0-9的自然数）
1000a 100b 10c d（*）
探究3 使用上面的（*）式子，试着说明一下2的预想.
接下来，我们再来思考找到3的倍数、5的倍数、9的倍数的方法.
探究4 上面的（*）式，可以进行如下变形.
1000a 100b 10c d=3（333a 33b 3c） a b c d.
說明一下根据这个公式，找出四位数自然数是否是3的倍数的方法吧.
探究5 上面的（*）式可以按下面的方式变形，（ ）里应该填入什么数呢？
1000a 100b 10c d=（ ）（200a 20b 2c） d.
从这个等式中，关于找到倍数的方法，又能发现什么呢？
探究6 上面的（*）式变形成下面这种形式时，（ ）里应该填什么数字呢？
1000a 100b 10c d=（ ）（111a 11b c） a b c d.
从这个等式中，关于找到倍数的方法，又能发现什么呢？
到目前为止，我们对四位数的自然数进行了研究，对于任何位数的自然数，都可以得到以下结论：
3的倍数 各个数位上数字之和是3的倍数
4的倍数 最后两位数是4的倍数
5的倍数 个位数是0或5
9的倍数 各个数位上数字之和是9的倍数
该活动以奥林匹克运动会举办的间隔年份为活动背景，提出探究问题：满足什么条件的四位数自然数是4的倍数？首先用几个四位数探究，然后从特殊到一般，利用本学年学习的多项式知识，将所有的四位数用字母表示成多项式形式，进而可以得到4的倍数的特征，接着让学生自行探究其他数字（诸如3，5，9）的倍数.该活动的重点和难点是四位数的表示方法，在探究刚开始时教师可以让学生自己思考，过程中给予适当提示，锻炼学生独立思考的能力. 该活动既能帮助学生巩固已学的多项式知识，又引导学生探究寻找倍数的新方法.学生在小学阶段已经掌握了2，3，5的倍数特征，这个探究活动使学生进一步认识倍数及其证明方法，不仅是对本学年多项式知识的巩固，也是对学生知识体系中已有数学结论的拓展探究，用新知识解决旧问题，使知识融会贯通，有利于学生构建系统的知识网络，对发展学生思维的灵活性具有重要的促进作用.
2.2 拓展知识型探究活动
拓展知识型探究活动包括“玩计算器”“一笔画”“盲文的结构”“黄金比例”“取石游戏必胜法”，这类活动通常会选择历史或生活中有意义的数学问题为背景进行探究，适当拓展和丰富学生的知识面，例如《中学数学1》中“一笔画”活动.
案例 一笔画.
18世纪的欧洲有一个叫哥尼斯堡的城镇，流经城镇中央的河上有七座桥.每到傍晚，许多人都来此散步，人们漫步于这七座桥之间，久而久之，有人就提出了这样一个问题：能不能既不重复又不遗漏地一次相继走遍这七座桥？哥尼斯堡的居民们认为这是一个有趣的问题，并尝试了许多方法，但没有人取得成功.这个问题后来被称为“哥尼斯堡七桥问题”.
从图的一点出发，笔不离纸，遍及图中每条线段，同一条线不描两遍，这叫“一笔画”.
如图2所示，用线画出散步的路线，上面的问题就可以转化为：能否用“一笔画”的方法画出图3所示的图形.
探究1 下面几个图形，试着探究一下能不能一笔画出来.
图4着眼于线聚集的点，思考在什么情况下能一笔画出.对于中间的那个图形，可以像图5那样一笔画出来.
把聚集在各点上的线数一数，A-4条，B-3条，C-3条，D-4条，E-4条，由此可知，奇数条线集中的点是2个.
探究2 除了中间的图形，试着数一下其他图形中聚集在各点上的线的数量.在一笔能画出的图形中，奇数条线聚集的点有多少个？
探究3 在上面的“哥尼斯堡七桥问题”中，可以说出所有的过桥方法吗？
该活动以“哥尼斯堡七桥问题”为背景展开探究，首先让学生了解“一笔画”的概念，再引导学生自行探究能否一笔画出各种图形，总结符合“一笔画”图形的特点，最后掌握新知识“一笔画”.历史上，“哥尼斯堡七桥问题”是由数学家欧拉解决，教师可以在活动中向学生介绍欧拉解决该问题的思路和方法，使学生体会到欧拉解决问题过程中体现出的重要数学思想和策略，比如一般化思想，数学化思想和简化策略[4].
该活动选用数学名题“哥尼斯堡七桥问题”，拓展学习新知识“一笔画”，内容新颖，能够引起学生的兴趣.整个探究活动包括三个探究环节，三个环节环环相扣，并且体现出由易到难的设置特点.此外，该探究活动始终重视引导学生思考解决问题的方法，辅助学生学会从具体问题中抽象出数学模型，运用数学思想解决问题，有利于提高学生的问题解决能力.还需提及的是，在历史中，由“哥尼斯堡七桥问题”引出的一笔画问题，使得图论这一重要数学分支得以创立，教师也可由此进行适当的延伸介绍，拓展学生的数学眼界.
2.3 应用知识型探究活动
应用知识型探究活动包括“田径跑道”“时钟长针和短针的重合时间”“大气中的CO2浓度”“建立电话联络网”，这类活动通常会选择与学生生活息息相关的现象或物体为背景，目的在于使学生体会到数学的应用性.《中学数学2》中“田径跑道”，就是应用知识型探究活动的一个典型例子.
案例 田径跑道.
探究在学校操场上建造田径跑道的方法.
首先，我们来考虑一下建造田径跑道内侧的部分.如图6所示，最内侧田径跑道由两个半圆和一个长方形组合而成，周长为200m.图6
探究1 假设半圆的半径OA为10m，那么直线部分AB为多少m？另外，半径OA设为15m时AB又为多少m呢？（假设圆周率是3.14，试着计算一下）
探究2 将半圆的半径OA设为rm，用r表示直线部分AB的长度.
下面在图6最内侧跑道的周围，向外依次建立6条宽为1m的跑道，如图7所示.
以每条跑道内侧的长度作为该跑道的长度，来探究下面的问题.
探究3 假设半圆的半径OA为10m，试着求出第1跑道和第2跑道的1圈长度之差.另外，第2道和第3道呢？
探究4 假设半圆的半径OA为15m，试着回答探究3的问题.（半径OA为10m的时候和15m的时候有区别吗？）
如上图7所示，在终点位置相同的情况下，以所有跑道的长度为200m为前提.
探究5 从第2道到第6道的起跑线应该设置在什么位置？
该活动以生活中常见的田径跑道为背景，让学生探究建造跑道的方法.首先探究最内侧周长为200米的跑道，求出半径r与直线部分AB的关系，再依次向外建造6条宽为1米的跑道，求出相邻跑道的长度之差，最后探究田径比赛时不同跑道的选手起跑线位置设置的方法.活动的情境背景與学生生活密切相关，学生经历实际问题“数学化”的过程，有助于提高学生的数学建模素养.
数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，是数学与外部世界联系的桥梁[5].数学问题中的情境背景应该提升与学生的关联性，这样才有助于情境中信息与学生已有认知相匹配[6].该活动注重情境背景与学生实际生活的关联性，培养学生从现实情境中发现数学问题的能力，学会建立数学模型，运用数学知识解决实际问题，使学生能够意识到数学来源于生活，并且应用于生活，感受到数学的应用价值，提高学生的数学应用能力.
3 启示
通过对日本教科书中三类探究活动的特点分析，归纳出数学探究活动教学或教科书编写应该注意的三个方面：首先，重视真实背景，体现数学的应用价值;其次，注意问题设计的层次性，激发学生的探究欲望;最后，注重活动类型均衡，全面提高学生的数学素养. 3.1 重视真实背景，体现数学的应用价值
数学问题中设置情境背景对学生有多方面的积极作用，为了将学生的数学学习与真实世界相关联，应该注意情境背景的真实性[7].探究活动的情境背景可以分为纯数学情境、真实情境和虚设情境，“自由研究”栏目中有2个是以纯数学情境为背景展开探究，其他10个都是以真实情境为背景，不涉及虚设情境.在真实情境中，又涉及到生活、自然、体育、游戏等多方面，比如在“时钟长针和短针重合时间”活动中，以生活中的时钟为背景;在探究“取石游戏必胜法”时，以游戏为背景抽象为数学问题进行探究.可见日本教材中的数学活动情境背景注重加强数学知识与实际生活，其他学科之间的联系，并且都采用真实的活动情境，丰富的现实背景使数学知识更加贴近生活，更能够使学生感受到数学的应用价值.
3.2 注意问题设计的层次性，激发学生的探究欲望
在探究过程中，学生在遇到知识疑难点茫然不知所措或四处出击一无所获时，教师可以通过点拨思维方向或思考方法，适时进行知识延伸拓展，帮助学生拓宽思维路径[8].日本教科书中探究活动的一个突出特点是问题设计的层次性，这体现在同一个探究活动中设置多个问题，各个问题由易到难，层层递进，引导学生逐级思考.例如案例“找到倍数的方法”中，教师在提出问题后，可以先让学生自行思考，如若学生未能打开思路，再给出提示“将四位数用多项式表示”，进而一步步引导学生进行探究.探究活动一般需要学生经历层层障碍，付出持久努力的思考才能获得答案，如果难度系数太大，往往令学生面对问题无从下手，很容易打击学生的学习积极性.因此，探究活动设计时需注意问题间的层次性划分，对学生进行适当的提示与引导，有助于提高学生的自信心，激发学生的探究欲望.
3.3 注重类型均衡，全面提高学生的数学素养
数学素养是个人在不同真实世界情境下进行数学推理并表示、使用和解释数学来解决问题的能力[9].由此可知，数学素养的内涵包括数学推理、问题解决和数学建模，培养学生的数学素养需要培养这三方面的能力.探究活动对于学生数学素养的培养发挥着重要的作用，在探究过程中可以培养学生的多种能力.不同类型的探究活动能够培养学生不同方面的能力：巩固知识型探究活动有利于学生建构系统的知识网络，提高问题解决能力;拓展知识型探究活动可以拓宽学生的知识面，有利于培养学生的创新能力和逻辑推理能力;应用知识型探究活动可以培养学生的实踐能力，提高数学建模和解决问题的能力.日本教科书对三类活动的设置较为均衡，能够发挥探究活动的不同功能，较为全面地提高学生不同方面的数学素养.
参考文献
[1]邢昀，唐恒钧.新加坡初中数学教科书中的探究活动分析[J].数学通报，2019，58（06）：15-17.
[2]范美玉.中、新、美初中数学教科书中数学探究内容的比较研究[D].天津：天津师范大学，2020：2-4.
[3]张冬莉，代钦.日本初中教科书中“勾股定理”特色及启示[J].中学数学杂志，2020（06）：28-31.
[4]胡重光.“七桥问题”及其对数学教育的启示[J].湖南第一师范学院学报，2011，11（06）：14-16.
[5]宁锐，李昌勇，罗宗绪.数学学科核心素养的结构及其教学意义[J].数学教育学报，2019，28（02）：24-29.
[6]李健，李海东，宋莉莉.数学教科书问题情境质量评价的“金字塔”模型——基于初中数学教师的教科书使用调查[J].数学通报，2020，59（12）：20-25.
[7]李健，李海东.数学教科书中设置问题情境的作用与原则[J].基础教育课程，2020（17）：59-66.
[8]杨丽娟.在层次性探索中发展数学思维——以研究“轴对称视角下线段和的最小值问题”为例[J].数学通报，2019，58（09）：47-49.
[9]董连春，吴立宝，王立东.PISA2021数学素养测评框架评介[J].数学教育学报，2019，28（04）：6-11.
【关键词】 探究活动;教科书;日本
数学探究是当下颇受关注的学习活动之一，在各国的数学课程中都占有重要地位.教科书作为承载课程理念最为核心的载体[1]，是学生进行探究活动的重要资源，对教科书中的探究活动进行分析，有助于教师更好地进行探究教学，也可以为教科书编写提供参考.研究表明，我国初中数学教科书中有关数学探究内容的编写仍然面临不少挑战，比如探究情境类型不够丰富、探究问题脱离实际生活等[2].日本的数学教育在全球处于领先地位，其教科书也受到国内外许多学者的研究与借鉴.日本教育出版株式会社于2015年出版了《中学数学》系列教科书，其中的“自由研究”栏目呈现出许多高质量的探究活动案例.本研究将以这些探究活动为研究对象，通过一定的梳理与分析，以期对我国数学教育中探究活动的设置提供启示.
1 “自由研究”栏目中的探究活动概况
日本现行中小学学制为：小学六年、初中和高中分别为三年[3].教育出版株式会社出版的初中数学教科书共有三册：《中学数学1》《中学数学2》《中学数学3》，供初中学段7—9年级学生使用.每册教科书均单独设置了名为“自由研究”的栏目，属于专门的数学探究活动.全三册教科书“自由研究”栏目共设置了12个探究活动.
在各册教科书中的“自由研究”栏目中，其探究活动积极融入本学年要求的数与式、图形、函数、统计与概率等知识，需要学生综合运用已有的知识、技能和方法.例如“时钟长针和短针的重合时间”活动需要学生运用方程式和一次函数的知识;“黄金比例”活动需要学生运用二次方程式和相似的知识.每个探究活动不仅明确给出了学生需要解决的问题，而且设置了多个由易到难的问题，注意启发学生思考，由浅入深地给出思考问题的路径，帮助学生更好地进行数学探究.
将所有探究活动按功能划分，主要包括三类：巩固知识型、拓展知识型和应用知识型三类.巩固知识型探究活动是基于学生已学知识综合设计成探究活动，能够帮助学生进一步巩固所学知识，使知识融会贯通，例如“找到倍数的方法”帮助学生巩固整式的知识;拓展知识型探究活动的目的在于拓宽学生的知识面，帮助学生了解与掌握一些新的数学知识，例如“盲文的结构”使学生了解盲文的读写规则并且学会读盲文，拓展知识面;应用知识型探究活动是指针对社会生活中的实际问题，让学生根据已学习的知识进行探究，分析和解决问题，体会到数学在生活中的广泛应用，例如“建立电话联络网”让学生运用所学知识解决实际问题.三类探究活动在三册教科书中的分布见表1.
2 “自由研究”栏目活动分析
为了更好地探讨“自由研究”栏目中探究活动的内容、特点及其在教科书中的作用，依据以上三种分类，下面以案例的形式对该栏目的探究活动加以分析.
2.1 巩固知识型探究活动
巩固知识型探究活动包括“长方形的分解”“点数和面积的关系”“找到倍数的方法”，这类活动不仅巩固本学期所学新知识，也包括利用新知识对已有知识的拓展探究，使知识融会贯通，例如《中学数学3》中“找到倍数的方法”.
案例 找到倍数的方法.
奥林匹克运动会将于2020年在东京举行（笔者注：因新冠疫情，2020东京奥运会将延期举行）.夏季奥林匹克运动会每4年举行一次，年份是4的倍数.
探究1 1932年夏季奥林匹克运动会在哪个城市举办过？1982年呢？
让我们来思考一下找出4的倍数的方法吧.
探究2 四位数的自然数满足什么条件时是4的倍数？用几个自然数来探究一下吧.
另外，我们来预测一下在什么情况下会变成4的倍数.
设四位数的自然数千位数为a，百位数为b，十位数为c，个位数为d，则“四位自然数”可以表示如下，（a是1-9的自然数，b，c，d分别是0-9的自然数）
1000a 100b 10c d（*）
探究3 使用上面的（*）式子，试着说明一下2的预想.
接下来，我们再来思考找到3的倍数、5的倍数、9的倍数的方法.
探究4 上面的（*）式，可以进行如下变形.
1000a 100b 10c d=3（333a 33b 3c） a b c d.
說明一下根据这个公式，找出四位数自然数是否是3的倍数的方法吧.
探究5 上面的（*）式可以按下面的方式变形，（ ）里应该填入什么数呢？
1000a 100b 10c d=（ ）（200a 20b 2c） d.
从这个等式中，关于找到倍数的方法，又能发现什么呢？
探究6 上面的（*）式变形成下面这种形式时，（ ）里应该填什么数字呢？
1000a 100b 10c d=（ ）（111a 11b c） a b c d.
从这个等式中，关于找到倍数的方法，又能发现什么呢？
到目前为止，我们对四位数的自然数进行了研究，对于任何位数的自然数，都可以得到以下结论：
3的倍数 各个数位上数字之和是3的倍数
4的倍数 最后两位数是4的倍数
5的倍数 个位数是0或5
9的倍数 各个数位上数字之和是9的倍数
该活动以奥林匹克运动会举办的间隔年份为活动背景，提出探究问题：满足什么条件的四位数自然数是4的倍数？首先用几个四位数探究，然后从特殊到一般，利用本学年学习的多项式知识，将所有的四位数用字母表示成多项式形式，进而可以得到4的倍数的特征，接着让学生自行探究其他数字（诸如3，5，9）的倍数.该活动的重点和难点是四位数的表示方法，在探究刚开始时教师可以让学生自己思考，过程中给予适当提示，锻炼学生独立思考的能力. 该活动既能帮助学生巩固已学的多项式知识，又引导学生探究寻找倍数的新方法.学生在小学阶段已经掌握了2，3，5的倍数特征，这个探究活动使学生进一步认识倍数及其证明方法，不仅是对本学年多项式知识的巩固，也是对学生知识体系中已有数学结论的拓展探究，用新知识解决旧问题，使知识融会贯通，有利于学生构建系统的知识网络，对发展学生思维的灵活性具有重要的促进作用.
2.2 拓展知识型探究活动
拓展知识型探究活动包括“玩计算器”“一笔画”“盲文的结构”“黄金比例”“取石游戏必胜法”，这类活动通常会选择历史或生活中有意义的数学问题为背景进行探究，适当拓展和丰富学生的知识面，例如《中学数学1》中“一笔画”活动.
案例 一笔画.
18世纪的欧洲有一个叫哥尼斯堡的城镇，流经城镇中央的河上有七座桥.每到傍晚，许多人都来此散步，人们漫步于这七座桥之间，久而久之，有人就提出了这样一个问题：能不能既不重复又不遗漏地一次相继走遍这七座桥？哥尼斯堡的居民们认为这是一个有趣的问题，并尝试了许多方法，但没有人取得成功.这个问题后来被称为“哥尼斯堡七桥问题”.
从图的一点出发，笔不离纸，遍及图中每条线段，同一条线不描两遍，这叫“一笔画”.
如图2所示，用线画出散步的路线，上面的问题就可以转化为：能否用“一笔画”的方法画出图3所示的图形.
探究1 下面几个图形，试着探究一下能不能一笔画出来.
图4着眼于线聚集的点，思考在什么情况下能一笔画出.对于中间的那个图形，可以像图5那样一笔画出来.
把聚集在各点上的线数一数，A-4条，B-3条，C-3条，D-4条，E-4条，由此可知，奇数条线集中的点是2个.
探究2 除了中间的图形，试着数一下其他图形中聚集在各点上的线的数量.在一笔能画出的图形中，奇数条线聚集的点有多少个？
探究3 在上面的“哥尼斯堡七桥问题”中，可以说出所有的过桥方法吗？
该活动以“哥尼斯堡七桥问题”为背景展开探究，首先让学生了解“一笔画”的概念，再引导学生自行探究能否一笔画出各种图形，总结符合“一笔画”图形的特点，最后掌握新知识“一笔画”.历史上，“哥尼斯堡七桥问题”是由数学家欧拉解决，教师可以在活动中向学生介绍欧拉解决该问题的思路和方法，使学生体会到欧拉解决问题过程中体现出的重要数学思想和策略，比如一般化思想，数学化思想和简化策略[4].
该活动选用数学名题“哥尼斯堡七桥问题”，拓展学习新知识“一笔画”，内容新颖，能够引起学生的兴趣.整个探究活动包括三个探究环节，三个环节环环相扣，并且体现出由易到难的设置特点.此外，该探究活动始终重视引导学生思考解决问题的方法，辅助学生学会从具体问题中抽象出数学模型，运用数学思想解决问题，有利于提高学生的问题解决能力.还需提及的是，在历史中，由“哥尼斯堡七桥问题”引出的一笔画问题，使得图论这一重要数学分支得以创立，教师也可由此进行适当的延伸介绍，拓展学生的数学眼界.
2.3 应用知识型探究活动
应用知识型探究活动包括“田径跑道”“时钟长针和短针的重合时间”“大气中的CO2浓度”“建立电话联络网”，这类活动通常会选择与学生生活息息相关的现象或物体为背景，目的在于使学生体会到数学的应用性.《中学数学2》中“田径跑道”，就是应用知识型探究活动的一个典型例子.
案例 田径跑道.
探究在学校操场上建造田径跑道的方法.
首先，我们来考虑一下建造田径跑道内侧的部分.如图6所示，最内侧田径跑道由两个半圆和一个长方形组合而成，周长为200m.图6
探究1 假设半圆的半径OA为10m，那么直线部分AB为多少m？另外，半径OA设为15m时AB又为多少m呢？（假设圆周率是3.14，试着计算一下）
探究2 将半圆的半径OA设为rm，用r表示直线部分AB的长度.
下面在图6最内侧跑道的周围，向外依次建立6条宽为1m的跑道，如图7所示.
以每条跑道内侧的长度作为该跑道的长度，来探究下面的问题.
探究3 假设半圆的半径OA为10m，试着求出第1跑道和第2跑道的1圈长度之差.另外，第2道和第3道呢？
探究4 假设半圆的半径OA为15m，试着回答探究3的问题.（半径OA为10m的时候和15m的时候有区别吗？）
如上图7所示，在终点位置相同的情况下，以所有跑道的长度为200m为前提.
探究5 从第2道到第6道的起跑线应该设置在什么位置？
该活动以生活中常见的田径跑道为背景，让学生探究建造跑道的方法.首先探究最内侧周长为200米的跑道，求出半径r与直线部分AB的关系，再依次向外建造6条宽为1米的跑道，求出相邻跑道的长度之差，最后探究田径比赛时不同跑道的选手起跑线位置设置的方法.活动的情境背景與学生生活密切相关，学生经历实际问题“数学化”的过程，有助于提高学生的数学建模素养.
数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，是数学与外部世界联系的桥梁[5].数学问题中的情境背景应该提升与学生的关联性，这样才有助于情境中信息与学生已有认知相匹配[6].该活动注重情境背景与学生实际生活的关联性，培养学生从现实情境中发现数学问题的能力，学会建立数学模型，运用数学知识解决实际问题，使学生能够意识到数学来源于生活，并且应用于生活，感受到数学的应用价值，提高学生的数学应用能力.
3 启示
通过对日本教科书中三类探究活动的特点分析，归纳出数学探究活动教学或教科书编写应该注意的三个方面：首先，重视真实背景，体现数学的应用价值;其次，注意问题设计的层次性，激发学生的探究欲望;最后，注重活动类型均衡，全面提高学生的数学素养. 3.1 重视真实背景，体现数学的应用价值
数学问题中设置情境背景对学生有多方面的积极作用，为了将学生的数学学习与真实世界相关联，应该注意情境背景的真实性[7].探究活动的情境背景可以分为纯数学情境、真实情境和虚设情境，“自由研究”栏目中有2个是以纯数学情境为背景展开探究，其他10个都是以真实情境为背景，不涉及虚设情境.在真实情境中，又涉及到生活、自然、体育、游戏等多方面，比如在“时钟长针和短针重合时间”活动中，以生活中的时钟为背景;在探究“取石游戏必胜法”时，以游戏为背景抽象为数学问题进行探究.可见日本教材中的数学活动情境背景注重加强数学知识与实际生活，其他学科之间的联系，并且都采用真实的活动情境，丰富的现实背景使数学知识更加贴近生活，更能够使学生感受到数学的应用价值.
3.2 注意问题设计的层次性，激发学生的探究欲望
在探究过程中，学生在遇到知识疑难点茫然不知所措或四处出击一无所获时，教师可以通过点拨思维方向或思考方法，适时进行知识延伸拓展，帮助学生拓宽思维路径[8].日本教科书中探究活动的一个突出特点是问题设计的层次性，这体现在同一个探究活动中设置多个问题，各个问题由易到难，层层递进，引导学生逐级思考.例如案例“找到倍数的方法”中，教师在提出问题后，可以先让学生自行思考，如若学生未能打开思路，再给出提示“将四位数用多项式表示”，进而一步步引导学生进行探究.探究活动一般需要学生经历层层障碍，付出持久努力的思考才能获得答案，如果难度系数太大，往往令学生面对问题无从下手，很容易打击学生的学习积极性.因此，探究活动设计时需注意问题间的层次性划分，对学生进行适当的提示与引导，有助于提高学生的自信心，激发学生的探究欲望.
3.3 注重类型均衡，全面提高学生的数学素养
数学素养是个人在不同真实世界情境下进行数学推理并表示、使用和解释数学来解决问题的能力[9].由此可知，数学素养的内涵包括数学推理、问题解决和数学建模，培养学生的数学素养需要培养这三方面的能力.探究活动对于学生数学素养的培养发挥着重要的作用，在探究过程中可以培养学生的多种能力.不同类型的探究活动能够培养学生不同方面的能力：巩固知识型探究活动有利于学生建构系统的知识网络，提高问题解决能力;拓展知识型探究活动可以拓宽学生的知识面，有利于培养学生的创新能力和逻辑推理能力;应用知识型探究活动可以培养学生的实踐能力，提高数学建模和解决问题的能力.日本教科书对三类活动的设置较为均衡，能够发挥探究活动的不同功能，较为全面地提高学生不同方面的数学素养.
参考文献
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