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【摘 要】史宁中教授认为“数学模型主要是指：用数学所创造出来的概念、原理和方法，来理解、描述和解决现实世界中的一类问题”。也就是说，数学模型构建需要一个过程，通过对五套教材进行横向比较，分别从“情境内容的编排”“概念描述的编排”“算法揭示的编排”“应用练习的编排”四个方面来阐述数学模型构建的过程。
【关键词】长方形周长 教材比较
史宁中教授认为：“数学模型的构建与应用，是现代数学得以健康发展的重要源泉。”“数学模型主要是指：用数学所创造出来的概念、原理和方法，来理解、描述和解决现实世界中的一类问题。”也就是说，数学模型构建需要一个过程，而这个过程主要分几个层面实现呢？笔者的理解是主要有这四个层面：第一层是“把握现实世界一类问题的本质”；第二层是“数学语言描述一类问题的本质”；第三层是“数学符号表达一类问题的规律”；第四层是“应用解决现实世界中的一类问题”。而这四个层面在长方形和正方形周长的教材编排中是如何呈现的？这里选取五套教材进行横向比较，展现给大家，以期获得一些思考。
横向比较的五套教材分别来自：人民教育出版社（以下简称“人教版”）、北京师范大学出版社（以下简称“北师版”）、浙江教育出版社（以下简称“浙教版”）、江苏教育出版社（以下简称“苏教版”）、青岛出版社（以下简称“青岛版”）。
从周长内容编排上看，这五种版本都是将周长的概念和长方形、正方形的周长计算分成两课时编排，只有浙教版教材把“概念与计算”分别编写在三下与三上，其他教材都在三上学习这两块内容，并且是连续学习的。
一、情景内容是怎样编排的
“数学模型的研究手法不是单向的，需要从数学的角度思考，更需要从现实问题的角度思考。”周长的模型构建首先需要思考的是学习活动情景内容的编排，设置有效的情景内容，才能引导学生更好地“把握周长的本质”。
在周长概念教学中，学习材料是怎样编排的？活动情景是怎样编排的？我们来看一下这五种教材的编排内容。
1.揭示周长概念编排的学习材料（如下图）。
为了使学生进一步理解周长的本质“封闭图形一周的长度”，这五种版本教材都安排了计算图形周长的活动情境。人教版编排的情境是：通过直接测量的办法知道书本封面和三角形的周长，通过软尺用围一圈的方法测量树叶（不规则图形）的周长。北师版编排的情境是：一是同学合作用绳子把树叶围一围的方法测量树叶的周长，用尺子量出书本封面的周长；二是让学生在格子图中数出三个图形的周长。浙教版编排的情境是：让学生摸一摸、量一量课桌桌面的周长，用卷尺量树干的周长。苏教版编排的情境是：让学生自行想办法得出两个图形的周长。青岛版编排的情境是：用步数走一圈的方法知道长方形的周长，用卷尺等工具测量其他花坛的周长，想办法测量出红领巾和少先队队旗的周长。
美国学者莱许认为：“在问题情境中，為提取概念所提供的线索越多，就越容易使概念得到检索和应用，有利于抽象的概念建立起具体的模型，从而促使概念的掌握。”周长概念的建立，需要学生积极主动地参与到多种形式的活动之中，让学生通过看、描、摸、围、量、说等，使学生的眼、手、耳、口等多种感官全都参与其中，只有这样才能有利于学生抽象出周长概念的模型。显然，这五种教材都充分考虑到了。
二、概念描述是怎样编排的
“数学语言是数学思维的载体，实现有效交流的前提是学习和掌握数学语言，数学语言可分为抽象性数学语言和直观性数学语言。”在学生获得直观的感知，得到多层次的体验，能把握周长的本质后，教师再引导学生“用数学的语言描述什么是周长”。各种版本的教材是怎么描述的？请看下表。
长方形：图形一周的长度就是图形的周长][封闭图形一周的长度就是这个图形的周长][书签一周边线的长就是它的周长][一周的长度就是它们的周长] 从表中可以看出，周长概念的描述主要分两种形式：一种是以“定义式”的方法描述，有人教版和浙教版；另一种是以“描述式”的方法描述，有北师版、苏教版和青岛版。
三、算法揭示是怎样编排的
“合理的思维过程具有理性加工的功能，而现实世界的事物一旦经过理性加工，或者说，一旦经过数学的描述，不仅具有了一般性，而且具有了真实性，而数学模型就是这种理性加工的范例。”教材创设有效的学习材料，让学生在经历“合理的思维过程”后，通过数学的描述，建立起长、正方形周长的模型，用数学的符号表达出这种规律，这样的过程具有“真实性、合理性”，这样的模型构建过程是有效的。那么这五种教材是如何编排的？请看下表。
五种教材揭示“长、正方形周长计算公式”的过程具体编排
[教材版本 揭示“长、正方形周长计算公式”的过程 人教版 材料：一个长方形（长6厘米、宽4厘米）；一个正方形（边长是5厘米）
算法：各两种。算长方形的周长：①6 4 6 4=20（厘米），②（6 4）×2=20（厘米）；算正方形的周长：①5 5 5 5=20（厘米），②5×4=20（厘米）
公式：以填空的形式出现，长方形的周长=（ ）；正方形的周长=（ ） 北师版 材料：一个长方形（要学生量出长和宽）；一个正方形（要学生量出边长）；怎样靠墙围一个长方形栅栏
算法：算长方形的周长有三种算法：①5 3 5 3=16（厘米），②5×2 3×2=16（厘米），③（5 3）×2=16（厘米）；算正方形的周长有两种算法：①3 3 3 3=12（厘米），②3×4=12（厘米）
公式：以文字的形式出现“四条边的长度加起来，2个长和2个宽加起来，1个长和1个宽加起来再乘2，正方形的周长可以用边长乘4” 浙教版 材料：1.生活中哪些地方需要计算长方形的周长？（画框、树的围栏）；2.用点子图画长方形并算周长（知道周长画图形）；3.量一量、算一算长方形和正方形的周长（两个长方形和一个正方形）
算法：各两种。算长方形的周长：①3×2 2×2=10（厘米），②（5 1）×2=12（厘米）（两个不同的图形）；算正方形的周长：①（2 2）×2=8（厘米），②2×4=8（厘米）
公式：以文字的形式出现“长方形的周长=（长 宽）×2，正方形的周长=边长×4” 苏教版 材料：求一个篮球场的周长（长28米、宽15米），求一块正方形手帕的周长（边长是25厘米，以试一试的形式出现）
算法：长方形的周长有三种算法：①长 宽 长 宽=长方形的周长，②2条长与2条宽相加，③先算长加宽的和，再用和乘2；算正方形的周长有一种算法：边长×4=正方形的周长
公式：以文字的形式出现“长 宽 长 宽=长方形的周长；2条长与2条宽相加；先算长加宽的和，再用和乘2；边长×4=正方形的周长” 青岛版 材料：一个长方形花坛（长9米、宽4米）；一个正方形花坛（边长是7米）
算法：算长方形的周长有三种算法：①9 4 9 4=26（米），②9×2 4×2=26（米），③（9 4）×2=26（米）；算正方形的周长有两种算法：①7 7 7 7=28（米），②7×4=28（米）
公式：以文字的形式出现“长方形的周长=（长 宽）×2；正方形的周长=边长×4” ]
从上表可以看出，这五种教材在编排内容的过程中，基本思路大同小异：都是先创设了学习材料，包括长方形和正方形；通过不同算法的呈现进行算法探究，在算法呈现中都基本上呈现了两种或两种以上算法（北师版、苏教版、青岛版在长方形周长算法中呈现了三种算法，苏教版在正方形算法中只呈现了一种算法），而苏教版算法呈现中有别于其他四种版本的教材，是用文字算式的形式表述的，这其实也就是把长（正）方形周长的计算公式呈现出来了，而其他四种版本的教材都是以数字算式的形式表述的；在各种算法呈现后，进行算法的优化，其中人教版用“你喜欢哪种算法”、苏教版用“计算长方形的周长，怎样算比较简便”这样的问题点出来，其他三种版本的教材并没有直接点明，在算法优化的过程中，自然形成了长（正）方形周长的公式，人教版是以填空的形式出现，其他四个版本的教材都给了一个相对比较明确的文字公式。
四、应用练习是怎样编排的
学生通过多种学习活动，能深刻地把握周长的本质，能用数学的语言描述周长的本质，并能用符号化的公式去表达长（正）方形周长的计算规律，这样一个完整的长（正）方形周长的模型才能初步构建起来，但是能否真正成型，需要在应用与解决实际问题中得到检验、提高、完善。那么这五种教材对于应用练习是怎样编排的？请看下表。
總体上来说，北师版、苏教版基础性练习题比较多一点，编排的练习结合了直接利用公式的情境模型题、量一量再计算的图形题、画一画再计算、用算式去找图形题等。人教版、浙教版、青岛版综合性练习题比较多一点，人教版、青岛版都比较注重剪、拼的练习设计，青岛版突出一点是注重学生课外实践，浙教版显得思维性更强一些，有几个题目学生在解答之后都可以进一步去思考，得出新的规律，发展学生的思维能力。
总之，“在数学教学活动中，让学生了解数学模型，特别是了解数学模型的构建过程是非常重要的，因为在这个过程中，可以让学生体会：如何用数学的‘眼睛’观察现实世界，如何用数学的‘思维’思考现实世界，如何用数学的‘语言’描述现实世界。” 参考文献：
[1]史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016.
[2]杨晓翊，谢莹.长方形的认识与周长教学研究[M].北京：教育科学出版社，2014.
（浙江省临海市河头镇中心小学 317034）
【关键词】长方形周长 教材比较
史宁中教授认为：“数学模型的构建与应用，是现代数学得以健康发展的重要源泉。”“数学模型主要是指：用数学所创造出来的概念、原理和方法，来理解、描述和解决现实世界中的一类问题。”也就是说，数学模型构建需要一个过程，而这个过程主要分几个层面实现呢？笔者的理解是主要有这四个层面：第一层是“把握现实世界一类问题的本质”；第二层是“数学语言描述一类问题的本质”；第三层是“数学符号表达一类问题的规律”；第四层是“应用解决现实世界中的一类问题”。而这四个层面在长方形和正方形周长的教材编排中是如何呈现的？这里选取五套教材进行横向比较，展现给大家，以期获得一些思考。
横向比较的五套教材分别来自：人民教育出版社（以下简称“人教版”）、北京师范大学出版社（以下简称“北师版”）、浙江教育出版社（以下简称“浙教版”）、江苏教育出版社（以下简称“苏教版”）、青岛出版社（以下简称“青岛版”）。
从周长内容编排上看，这五种版本都是将周长的概念和长方形、正方形的周长计算分成两课时编排，只有浙教版教材把“概念与计算”分别编写在三下与三上，其他教材都在三上学习这两块内容，并且是连续学习的。
一、情景内容是怎样编排的
“数学模型的研究手法不是单向的，需要从数学的角度思考，更需要从现实问题的角度思考。”周长的模型构建首先需要思考的是学习活动情景内容的编排，设置有效的情景内容，才能引导学生更好地“把握周长的本质”。
在周长概念教学中，学习材料是怎样编排的？活动情景是怎样编排的？我们来看一下这五种教材的编排内容。
1.揭示周长概念编排的学习材料（如下图）。
为了使学生进一步理解周长的本质“封闭图形一周的长度”，这五种版本教材都安排了计算图形周长的活动情境。人教版编排的情境是：通过直接测量的办法知道书本封面和三角形的周长，通过软尺用围一圈的方法测量树叶（不规则图形）的周长。北师版编排的情境是：一是同学合作用绳子把树叶围一围的方法测量树叶的周长，用尺子量出书本封面的周长；二是让学生在格子图中数出三个图形的周长。浙教版编排的情境是：让学生摸一摸、量一量课桌桌面的周长，用卷尺量树干的周长。苏教版编排的情境是：让学生自行想办法得出两个图形的周长。青岛版编排的情境是：用步数走一圈的方法知道长方形的周长，用卷尺等工具测量其他花坛的周长，想办法测量出红领巾和少先队队旗的周长。
美国学者莱许认为：“在问题情境中，為提取概念所提供的线索越多，就越容易使概念得到检索和应用，有利于抽象的概念建立起具体的模型，从而促使概念的掌握。”周长概念的建立，需要学生积极主动地参与到多种形式的活动之中，让学生通过看、描、摸、围、量、说等，使学生的眼、手、耳、口等多种感官全都参与其中，只有这样才能有利于学生抽象出周长概念的模型。显然，这五种教材都充分考虑到了。
二、概念描述是怎样编排的
“数学语言是数学思维的载体，实现有效交流的前提是学习和掌握数学语言，数学语言可分为抽象性数学语言和直观性数学语言。”在学生获得直观的感知，得到多层次的体验，能把握周长的本质后，教师再引导学生“用数学的语言描述什么是周长”。各种版本的教材是怎么描述的？请看下表。
长方形：图形一周的长度就是图形的周长][封闭图形一周的长度就是这个图形的周长][书签一周边线的长就是它的周长][一周的长度就是它们的周长] 从表中可以看出，周长概念的描述主要分两种形式：一种是以“定义式”的方法描述，有人教版和浙教版；另一种是以“描述式”的方法描述，有北师版、苏教版和青岛版。
三、算法揭示是怎样编排的
“合理的思维过程具有理性加工的功能，而现实世界的事物一旦经过理性加工，或者说，一旦经过数学的描述，不仅具有了一般性，而且具有了真实性，而数学模型就是这种理性加工的范例。”教材创设有效的学习材料，让学生在经历“合理的思维过程”后，通过数学的描述，建立起长、正方形周长的模型，用数学的符号表达出这种规律，这样的过程具有“真实性、合理性”，这样的模型构建过程是有效的。那么这五种教材是如何编排的？请看下表。
五种教材揭示“长、正方形周长计算公式”的过程具体编排
[教材版本 揭示“长、正方形周长计算公式”的过程 人教版 材料：一个长方形（长6厘米、宽4厘米）；一个正方形（边长是5厘米）
算法：各两种。算长方形的周长：①6 4 6 4=20（厘米），②（6 4）×2=20（厘米）；算正方形的周长：①5 5 5 5=20（厘米），②5×4=20（厘米）
公式：以填空的形式出现，长方形的周长=（ ）；正方形的周长=（ ） 北师版 材料：一个长方形（要学生量出长和宽）；一个正方形（要学生量出边长）；怎样靠墙围一个长方形栅栏
算法：算长方形的周长有三种算法：①5 3 5 3=16（厘米），②5×2 3×2=16（厘米），③（5 3）×2=16（厘米）；算正方形的周长有两种算法：①3 3 3 3=12（厘米），②3×4=12（厘米）
公式：以文字的形式出现“四条边的长度加起来，2个长和2个宽加起来，1个长和1个宽加起来再乘2，正方形的周长可以用边长乘4” 浙教版 材料：1.生活中哪些地方需要计算长方形的周长？（画框、树的围栏）；2.用点子图画长方形并算周长（知道周长画图形）；3.量一量、算一算长方形和正方形的周长（两个长方形和一个正方形）
算法：各两种。算长方形的周长：①3×2 2×2=10（厘米），②（5 1）×2=12（厘米）（两个不同的图形）；算正方形的周长：①（2 2）×2=8（厘米），②2×4=8（厘米）
公式：以文字的形式出现“长方形的周长=（长 宽）×2，正方形的周长=边长×4” 苏教版 材料：求一个篮球场的周长（长28米、宽15米），求一块正方形手帕的周长（边长是25厘米，以试一试的形式出现）
算法：长方形的周长有三种算法：①长 宽 长 宽=长方形的周长，②2条长与2条宽相加，③先算长加宽的和，再用和乘2；算正方形的周长有一种算法：边长×4=正方形的周长
公式：以文字的形式出现“长 宽 长 宽=长方形的周长；2条长与2条宽相加；先算长加宽的和，再用和乘2；边长×4=正方形的周长” 青岛版 材料：一个长方形花坛（长9米、宽4米）；一个正方形花坛（边长是7米）
算法：算长方形的周长有三种算法：①9 4 9 4=26（米），②9×2 4×2=26（米），③（9 4）×2=26（米）；算正方形的周长有两种算法：①7 7 7 7=28（米），②7×4=28（米）
公式：以文字的形式出现“长方形的周长=（长 宽）×2；正方形的周长=边长×4” ]
从上表可以看出，这五种教材在编排内容的过程中，基本思路大同小异：都是先创设了学习材料，包括长方形和正方形；通过不同算法的呈现进行算法探究，在算法呈现中都基本上呈现了两种或两种以上算法（北师版、苏教版、青岛版在长方形周长算法中呈现了三种算法，苏教版在正方形算法中只呈现了一种算法），而苏教版算法呈现中有别于其他四种版本的教材，是用文字算式的形式表述的，这其实也就是把长（正）方形周长的计算公式呈现出来了，而其他四种版本的教材都是以数字算式的形式表述的；在各种算法呈现后，进行算法的优化，其中人教版用“你喜欢哪种算法”、苏教版用“计算长方形的周长，怎样算比较简便”这样的问题点出来，其他三种版本的教材并没有直接点明，在算法优化的过程中，自然形成了长（正）方形周长的公式，人教版是以填空的形式出现，其他四个版本的教材都给了一个相对比较明确的文字公式。
四、应用练习是怎样编排的
学生通过多种学习活动，能深刻地把握周长的本质，能用数学的语言描述周长的本质，并能用符号化的公式去表达长（正）方形周长的计算规律，这样一个完整的长（正）方形周长的模型才能初步构建起来，但是能否真正成型，需要在应用与解决实际问题中得到检验、提高、完善。那么这五种教材对于应用练习是怎样编排的？请看下表。
總体上来说，北师版、苏教版基础性练习题比较多一点，编排的练习结合了直接利用公式的情境模型题、量一量再计算的图形题、画一画再计算、用算式去找图形题等。人教版、浙教版、青岛版综合性练习题比较多一点，人教版、青岛版都比较注重剪、拼的练习设计，青岛版突出一点是注重学生课外实践，浙教版显得思维性更强一些，有几个题目学生在解答之后都可以进一步去思考，得出新的规律，发展学生的思维能力。
总之，“在数学教学活动中，让学生了解数学模型，特别是了解数学模型的构建过程是非常重要的，因为在这个过程中，可以让学生体会：如何用数学的‘眼睛’观察现实世界，如何用数学的‘思维’思考现实世界，如何用数学的‘语言’描述现实世界。” 参考文献：
[1]史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016.
[2]杨晓翊，谢莹.长方形的认识与周长教学研究[M].北京：教育科学出版社，2014.
（浙江省临海市河头镇中心小学 317034）