布鲁纳说过,掌握数学思想可使得数学更加容易理解和记忆,领会数学思想是通向迁移之路的“星光大道”。在函数和方程中含有丰富的数学思想内容,特别是数形结合的思想显得十分重要,在学习过程中,含意对这些数学思想吉行挖掘、提炼和渗透,不仅可以有效地掌握函数和方程的知识,驾驭函数和方程问题的求解,而且对于开发智力,培养能力,优化品质,都具有十分重要的意义。
　　一、在复数解题中的应用
　　[案例1]如果复数z满足z+i+z-i=2 那么z+i+1 的最小值是 ()
　　 A.1B.■ C.2D.■
　　[分析与解答]通过挖掘问题的几何意义,构造出问题的几何模型。以形助数,便于探求问题的简捷解法。就本题而言,按常规思路,应设x+yi(x,y∈R) ,则由z+i+z-i=2,得 ■+■=2,在此条件下,要求二元函数z+i+1 =■ 的最小值,較为困难。如果我们们改变思维方向和思考问题的角度,构造图形。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　从图中可以看出:z+i+z-i=2,表示复平面的动点z到两定点A(0,-1),B(0,1)的距离之和为,即动点z在线段AB上,要求z到定点M(-1,-1)的距离的最小值。很明显z+i+1min =1,故选答案为A 。
　　这种解法如何?很清楚干净利索,简洁明了!
　　二、在解方程中的应用
　　在解方程中往往令方程的两边分别为不同的两个函数,在同一直角坐标系中作出两个函数的图象,那么方程式解的个数就可以转化为两个函数的交点的个数来处理,数形结合,直观形象。将抽象的代数问题转化赋予几何意义,应用图形既直观又形象,对启发解题思路,优化解题过程,节约时间,有不可低估的作用。
　　1、三角方程式中的应用
　　[案例2]方程sin(x-■)=■x 实数解的个是
　　A.2B.3C.4D.以上均不对
　　[分析与解答]在同坐标系内作出函数y■=sin(x-■)与y■=■x 的图象如下
　　
　　
　　
　　
　　
　　由函数图象可知两函数图象有三个交点所以就选择B。
　　2、二次方程中的应用
　　[案例3]已知f(x)=(x-a)(x-b)-2 ,其中a　　A.α　　C.a<α　　[分析与解答]设 g(x)=(x-a)(x-b)
　　则它与x轴交点为(a,0),(b,0)
　　而f(x)的图象明显地是由g(x)向下平移2个单位。如右图
　　从图中可以看出正确答案为 A。
　　3.在对数方程中的应用
　　[案例4]若方程lg(-x2+3x-a)=lg(3-x)在区间(0,3)上有唯一解,求实数a的取值范围。
　　[分析与解答]由已知方程可知 -x■+3x-a>03-x>0-x■+3x-a=3-x
　　得 x<3a=-(x-2)■+1
　　构建图形如图
　　在同一坐标系中作出函数y=-(x-2)■+1与y=a 的图象问题即可转化为这两个函数的图象在区间(0,3) 上有且只有一个交点,求实数a的范围。
　　由图象易知,当且仅当-3　　4.在指数方程中的应用
　　[案例5]解方程 5■-1=2■(1+2■)。
　　[分析与解答]将原方程变形为(2x+1)2=5x ,
　　对于指数方程我们常用的解法是两边取对数法,这题取对数后仍然不能解决问题,因此,这题用常规法不可能达到目的。
　　如果我们换一个思维方向用数形结合思想,借助于图形来求方程的解。
　　再根据交点位置的特殊性就能得出正确的解。
　　 Q2x+1>0,∴2■+1=(■)■, 令f(x)=2■+1,与g(x)=(■)■则原方程的解变成为求两个函数的交点,在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象即可。由图象知原方程的解为2。