从“点在弧上动”看专题复习

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  摘 要:如何有效的搞好中考前的专题复习?这是许多一线老师关心的问题。本文以专题《动点求最值——点在弧上动》为例,从试题的选择、知识的准备、试题的分类、试题的评讲、问题串解、归纳总结以及变式拓展等方面谈谈自己的一些认识。
  关键词:基础知识;分类;问题串;变式;提升
  引言:《动点求最值》是中考中常见的一种题型,也是较难的一种题型,而点的运动路径又是多种多样的,其中一种类型就是“点在弧上动”。本人在专题复习中发现,如果能够将众多知识点分门别类,问题串解,归纳提升,精心设计教学过程,就能较好的突破难点,实现专题复习的有效和高效。
  一、精选试题
  1、(2016年安徽中考题)
  如图1,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC.求线段CP长的最小值。
  2、(2016湖北鄂州)
  如图2,菱形ABCD的边AB=6,∠B=60°,P是AB边上一点,BP=3,Q是CD边上一点,梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点为F. 求CF的最小值.
  3、(2017·威海)
  如图3,△ABC为等边三角形,AB=2.若P为△ABC内一动点,且满足∠PAB=∠ACP,则线段PB长度的最小值为_____.
  4、(2011年安徽中考题)
  如图4,在Rt△ABC中,∠ABC=30°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为  (0°<    <180°),得到△A1B1C.
  设AC的中点为E,A1B1的中点为P,AC=a,连接EP,当   为多少度时,EP的长度最大,最大值为多少?
  二、知识准备
  以上四个例题都与下面的基础知识有关:
  1、圆外一点与圆上各点的连线中,最短的是哪一条?最长的是哪一条?
  2、圆内一点与圆上各点的连线中,最短的是哪一条?最长的是哪一条?
  因此,这两个问题可作为复习环节,复习内容包括画图表示及简要证明。
  三、分类评讲
  仔细分析不难发现:第1题易求出∠APB=90°,第3题易求出∠APC=120°,这两题都属于“点动角不变”的类型,若放在一起评讲和练习,然后加以总结,对于学生以后解决此类问题会有很大帮助。同样,第2题根据对称性易得PF=3,第4题根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和旋转性质易得PC= a,这两题都属于“点动(到定点)距离不变”的类型,可放在一起评讲和练习。
  四、问题串解
  为更好的解决问题,针对题1,我设计了以下问题串:
  1、∠APB等于多少度?
  2、点P运动的路径是怎样的?
  3、CP的长度最小时,点P在何位置?
  4、线段CP长的最小值是多少?
  针对题2,我设计了以下问题串:
  1、PF等于多少?
  2、点F运动的路径是什么?
  3、CF的长度最小时,F在何位置?
  4、CF的最小值是多少?
  设计问题串,为学生搭建了梯子,极大的降低了解决问题的难度,提高了同学们解题的信心,同时,也为同学们解决这一类问题提供了方法。
  对于题3和题4,教师可鼓励学生自己设计问题串,进而逐步解决问题,从中获得解题经验,提高解题能力。
  五、总结提升
  本专题总结要点如下:
  1、点动角不变→点在弧上动。即以动点为顶点的角度不变,此时点在以动点所在三角形的外接圆上的弧上运动。
  2、点动距离不变→点在弧上动。即动点到一个定点的距离不变,此时动点在以定点为圆心,以动点与定点之间的距离为半径的弧上运动。
  3、化动为静,确定最值时图形的特殊位置,再根据静态的图形求出最值。
  以上总结,一方面帮助学生梳理了知识,获得基本活动经验,能够在复杂图形中快速找到解决问题的途径,更重要的是教会了学生数学思想方法,增强了学生发現问题、提出问题、分析和解决问题的能力,同时也提高了学生学习的兴趣。
  六、变式拓展
  对于一道好的试题,我们不能仅停留在能解的层次上,而要站到更高的层次欣赏这道试题。针对本专题,可以进一步设计以下问题:
  题1可设计:求CP长的取值范围。
  题2可设计:改变BP的长度,结果如何?
  题3可设计:求BP能够扫到的面积。
  题4可设计:将中题中   的取值范围改为0°<   <360°,答案有变化吗?此时,EP的最小值是多少?
  总之,要做好专题复习,教师要做有心人,要认真研究课程标准,研究考题,研究学生,我们坚信,总有一种方法适合自己的教学,总有一种方法适合我们的学生学习。
  参考文献:
  [1]黄玉梅.如何利用思维导图优化初中数学复习课[J].学周刊,2017(31):95-96.
  [2]武丽虹.凸显专题特点  提高复习效率[J].中学数学教学参考,2017(20):45-48.
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