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摘 要：数学是源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，理解和表达世界中事物的本质和规律。2017版的《高中数学课程标准》所提到的数学核心素养其包含的第一点就是：数学抽象，抽象就是把握住不同现象的共同点，将这个共同点所体现的问题解决掉，从而解决一类问题乃至几类问题，它体现了数学的本质，贯穿于数学发展、应用的始终。
关键词：数学抽象;数学概念;概念课;函数单调性;教学设计
数学研究的是抽象的概念并加以运用，事实上学生在高一、高二时学习的数学其主体内容就是数学概念，而数学概念是所有数学题目的来源、前提和逻辑基础，所以必须重视数学概念课的教学。数学概念的得出绝不是教师灌输的结果，概念应该是学生作为主体对某个知识点由直观到抽象的结果，与此同时，将具体事物抽象的越深入，那么抽象出来的定义和方法就更具有解决问题的普遍性。抽象主要包含两点：一是找对象间的关系（找共性），二是建立数学模型（发现一般规律，解决问题），但是学生在学习的过程当中往往缺乏抽象的能力，不能把直观的现象抽象成结构和规律，更不用说举一反三加以应用。以下是笔者以人教A版高中数学必修一第一章第三节《函数的单调性》的教学设计片断为例，浅谈关于在数学概念课中怎样帮助学生提升数学抽象素养的一点想法。
一、基本情况分析
教材在单调性的前一节的内容是函数的定义，学生已经知道函数的概念以及函数的表示方法，知道函数是表示物体变化规律的数学模型，掌握了函数的变化规律也就掌握了物体的变化规律，因此在求了函数的定义域之后入手研究函数的变化规律以及如何求函数的值域就势在必行。研究函数的单调性承载着研究函数变化规律、求函数值域的重要使命，也直接为之后学习指数函数、对数函数、幂函数等函数建立研究模型，单调性是函数中最为重要的性质之一，这就需要学生对单调性本身有透彻的理解。但是学生在初中学习的函数相关的描述基本以静态为主，他虽然已经具备了通过几何直观把图形语言归纳为“ 随 的变化而变化”的自然语言的能力，但是还未能掌握把“ 随 增大而增大”或者“ 随 增大而减小”抽象为数学的符号语言的能力，也尚未掌握把“无限”转化为“有限”的能力，对“任意”的理解也还不够到位，这就需要教师精心设计教学环节，引导学生通过几何直观，运用数形结合的数学方法，去探索单调性的本质，抽象出单调性的定义，并能够运用单调性的定义判断、证明函数的单调性。
二、教学目标
1、能够理解并抽象出函数单调性的概念，能够利用定义判断、证明函数单调性。
2、培养学生数学抽象的核心素养。
三、教学过程设计片段
（一）创設情境，引入课题
师：著名的艾宾浩斯遗忘曲线，反映了人类大脑对新事物遗忘的规律，大家说说看，它反映了我们大脑记忆的什么变化规律？
生1：说明我们记忆力会下降，能记住的内容会越来越少。
师：能不能说的详细一点？如何描述记忆力下降这一变化规律？
生1：随着天数的增加，人所能记住的内容越来越少。
师：是的，记忆力下降就是随着天数的增加，记住的内容反而减少了，所以古人云：温故而知新其实是符合我们的认知规律的。
设计意图：概念的获得本就是从直观到抽象的过程，把知识点承载到情境里既贴近生活又有实际意义，学生在观察艾宾浩斯遗忘曲线之后，联系生活实际，很自然地就可以把下降的变化趋势描述为记忆力随着日子的增加而降低，为函数单调性中“y随x的增大而增大”、“y随x的增大而减小”的表述做好铺垫。
师：请大家观察以下函数，作图并指出其图像变化趋势或者变化规律。
例1.f（x）=x;2.f（x）=-2x+1;3.f（x）=x2
（画图过程略）
生2：f（x）=x的图像呈上升的趋势。
师：请具体描述一下何谓上升的趋势？
生2：随着x的增大，y的值也增大。
师：确实，随着x的增大，f（x）的值也增大，那么函数f（x）=-2x+1呢？
生2：它的图像呈下降趋势，随着x的增大，f（x）的值反而减小了。
师：那函数f（x）=x2呢？
生2：f（x）=x2它的图像先下降后上升，也就是说在（-∞，0）上f（x）随x的增大而减小，在（0，+ ∞）上f（x）随x的增大而增大。
师：很好，这就是函数的单调性，如果一个函数f（x）在某个区间D上满足f（x）随x的增大而增大，我们就说函数f（x）在区间D上单调递增，是增函数，区间D是函数的增区间，同理，如果它在另一个区间E上满足f（x）随x的增大而减小，我们就说函数f（x）在区间E上单调递减，是减函数，区间 是函数的减区间。大家想象一下，如果函数f（x）在某个区间上先单调递增后单调递减，那函数在这个区间上有什么值？
学生集体回答：最大值
师：是的，所以如果我们掌握了函数的单调性，不仅可以知道函数的具体变化趋势，还可以直接求出函数的值域，所以单调性是函数很重要的一个性质。
设计意图：一方面强化单调性的本质是研究“f（x）随 变化而变化的规律”，另一方面，通过具体例子让学生潜移默化地知道函数的单调性是局域性的，不一定是整个定义域里都单调，帮助学生全面理解单调性定义。
（二）抽象概括，突破难点
师：那若已知函数y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，那f（1）和f（2）相比哪个值大？
f（2）和f（3）相比呢？
生3：因为f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，1<2，所以f（1）<f（x），同理f（2）<f（3）。 师：那如果反过来，如果函数y=f（x）在（0，+∞）上单调递减呢，那f（1）和f（2）相比哪个值大？f（2）和f（3）相比呢？
生4：因为f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以x取值大的函数值反而小了，因为1<2，所以f（1）>f（2），同理f（2）>f（3）。
师：大家能不能就增函数为例把这个现象用数学语言概括一下？
生5：如果函数在某个区间上为增函数，只要a<b，则f（a）<f（b）。
师：那如果在区间上为减函数呢？
生5：如果函数在某个区间上为减函数，只要a<b，则f（a）>f（b）。
设计意图：潜移默化地让学生知道利用函数的单调性是两个数字比大小的常用方法，另一方面利用具体两数比大小帮助学生抽象出以“若a<b，则f（a）<f（b）”这个整体性质来描述增函数以及以“若a<b，则f（a）>f（b）”来描述减函数。
师：反之，如果函数f（x）在区间[1，4]上满足f（2）<f（3），我们能不能说函数f（x）在区间[1，4]上单调递增？
生6：不能，比如（略）。
师：我们把条件改为f（1）<f（2）<f（3）<f（4），能不能说函数f（x）在区间[1，4]上单调递增？
生6：不能，比如（略）。
师：我们把条件改为在区间[1，4]有n个数，满足x1<x2<x3<……<xn，且
f（x1）<f（x2）<f（x3）<……<f（xn），这样能不能说函数f（x）在区间[1，4]上单调递增？
生6：不能，比如（略）。
师：那如果改成无数个呢？
这个时候有很多学生认为可以，此时教师让持反对意见的学生回答反对的理由，并强调无数不等于所有。
师：对的，“无数”不等于“所有”，从这“无数”个里面我们取相邻的两个，再用放大器把这两个数字之间的区间放大，显然还有无数个函数值无法比大小，那么到底如何用数学符号来描述函数在f（x）在区间D上单调递增？请大家以小组为单位，统一小组意见后，我们一起展示大家的意见。
设计意图：拆分、剖析“在某个区间上，f（x）随着x的增大而增大”，把定义细化，以便学生全面理解函数单调性的定义，强化学生对“所有”的理解，同时引发了学生的认知冲突，调动了学生钻研定义的积极性。
师展示学生某小组研究的成果：在区间D上，只要x1<x2，应有f（x1）<f（x2），我们就说函数f（x）在区间D上为增函数。
师：这里的两个数x1，x2是确定的吗？
生7：这两个数是不确定的，我们可以任意选择。
师：那能不能再斟酌一下，如何精准地用符号语言描述增函数的定义？
生7：在区间D上，任取两个数x1，x2，若x1<x2，应有f（x1）<f（x2），则函数f（x）在区间D上为增函数。
师：非常好，有限个哪怕无限个自变量x满足x1<x2，f（x1）<f（x2）都不能表示增函数“在区间D上f（x）随着x的增大而增大”的本质属性，但是“任意”就可以表示，“任意”表示“取遍”，所以我们在区间D上必须强调两个数x1，x2的任意性，然后若x1<x2，则f（x1）<f（x2），此时我们就可以说函数在区间D上为增函数。
然后继续叫学生用数学符号语言描述减函数的定义。
设计意图：这一段是本节课的难点，学生在用数学符号语言描述单调性定义的时候经历了“从2个——有限个——无限个——所有——任意两个”的构建经历，对高一新生而言是一个不小的挑战，需要教师层层设计精心提问，引导学生由直观抽象出单调性的本质。
师：请同学们结合刚刚研究过的几个函数思考一下这个单调区间D和函数定义域是什么关系？
生8：单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的某个子集。
师：既然单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的某个子集，请结合刚刚我们对单调性定义的研究总结一下增函数以及减函数的完整定义
生8回答，师板书定义。
设计意图：再次强调函数的单调性具有局域性，单调区间不等同于定义域，巩固单调性定义。
例2：接下来请同学观察函数 的图像，根据图像回答以下问题：
⒈該函数在定义域里单调吗？
⒉请说出它的单调区间
学生回答过程略。
设计意图：学生通过观察图像很容易把反比例函数两条分支各自单调递减误解为在整个定义域上为减函数，实质上还是因为对函数单调性的定义其本质理解不够到位，此时就需要教师多提问学生多启发学生，使学生明确判断函数在某个区间上是否单调必须严格按照定义出发，定义是检验单调与否的根本标准，强调解题必须立足于定义，而证明不单调只需举个特例就行。同时使学生明确单调区间不能用并集表示。
（三）探索应用，加深理解
师：刚才我们研究了单调性的定义，那拿到一个陌生函数，大家说说看我们可以通过哪些方法来判断该函数在某个区间上的的单调性？
生9：如果有图像，那就可以通过图像直接判断，如果没有图像可以通过定义判断证明。
师：通过图像我们判断出函数 在区间（0，+∞）上为减函数，下面请大家以小组为单位讨论如何用单调性定义来证明这个结论。
该题学生证明过程略，学生在经过了小组讨论后来证明结论相对简单，然后请一位同学总结从定义出发证明函数单调性的基本步骤：
1.设值：在给定区间上任取两数x1，x2，且x1<x2; 2.作差：f（x1）-f（x2）
3.变形：基本方法有通分、因式分解、配方等
4.定正负：判断f（x1）-f（x2）的正负
5.下结论
设计意图：使学生明确判断单调性的办法是直观函数图法像或定义法，之后叫学生通过小组讨论解题后总结用定义证明单调性的基本步骤，实质上就是学生对单调性定义的再一次抽象并加以应用的过程，所以要养成学生适时总结的习惯。
四、教学小结、反思
本节课的教学目的非常明确，就如何引导、启发学生通过观察图像到认识函数值随自变量变化而变化的规律再到具体函数值比大小到最后抽象出函数单调性的概念，以及如何利用单调性定义证明函数单调性而展开，提升学生数学抽象这一核心素养的教学目标贯穿整堂课的始终。学生在经历了情景导入，直观抽象，探索运用的几个环节之后，对函数单调性的定义应该说有了整体、系统的认识及掌握。
在应试教育中，无论是老师还是学生都在分数与时间的压力下负重前行，高中三年，有很多老师、学生都想通过题海战术来提升数学成绩，但是我随着接触的孩子越多就发现很多孩子其实很努力但是根本不会学习，他拼命刷题但是任然对知识一知半解，题目稍微变一变就又不会做了，所以我认为在教师层面提升学生数学成绩最根本有效的方法就是提升学生的抽象思维的能力，因为抽象思维能力决定学力的高低，真正拉开学霸与普通学生间的差距的也正是抽象思维能力的高低。而如何通过课堂教学提高学生的抽象思维能力、让学生从根本上认识数学并利用知识解决问题，这就需要教师牢记使命的同时提升自身的教学水平，精心备课服务于学生。数学概念是所有数学题目的来源、前提和逻辑基础，也是对数学现象的溯源以及抽象，所以必须重视数学概念课的教学。以下几点是我以数学概念课为例，如何提升学生的抽象思维能力的一点想法，欢迎老师批评指正。
1、由具体情景引入新课。抽象不是凭空出现的，它绝大部分来自于直观，这就要求教师在引进新概念时要寻找、设计贴近生活的、有典型意义的例子或情景，让学生带着兴趣去观察、比较，然后从这些常见的例子发现其含有的共性，以便从这些共性中抽象出概念的本质。
2、必要时可以选择导向型教学。针对比较复杂的概念，当学生还不具备抽象能力时，教师可以通过具体问题引导学生从某个角度入手，建立一定的研究模型，通过某种模式分析因果和统计数据来得出最终的结果，从某种角度来讲利用模型研究更为快速、有效，因为它具有明确的导向性。如本堂课，高一新生很难直接抽象出通过在给定区间上任取两数比较其对应函数值大小来体现单调性的本质这一技巧，所以笔者就在学生尝试用数学符号语言来描述单调性的定义以前，就引入了反复运用单调性来比两个数的大小这个教学片断，有意让学生建立可以通过两个数比大小这个模型来定义单调性的意识。
3、加强定义要素的结构训练。数学的概念、定义是用最精炼的语言描述一件事物，它没有一个字是多余的，所以教师备课时一定要精读、细解定义，精心设计教学环节引导学生把定义拆解、细化，拆分地越细致学生思维就越严谨，内化知识就越彻底。
4、知行合一。学习概念定义最简单的验证的方法就是让学生用自己的话把这个概念或者定义复述清楚，如果能够复述清楚的，那么就说明基本懂了，如果复述不清楚那么应该没有掌握 。在运用一个概念定义解题前连定义本身描述的是怎样一件事情都说不清楚又何谈掌握呢？解题就是知行合一，能够说清楚是最簡单的行，知而不行就是未知。
5、必须培养学生养成及时总结、归纳的习惯。通过总结归纳，可以把已有的知识点联系起来，梳理整齐形成体系。总结归纳的本质是对知识的深度思考，深度思考不仅使学生对该知识点记得更牢而且运用得更灵活自如，很多时候成绩好的学生确实比成绩较差的学生更擅于总结归纳。
数学的教育不只是灌输数学方法，比如归纳、类比、数形结合、整体换元等，这些都只是解题时的手段和工具，我们所要培养的是让学生认识到这些解题方法的背后是什么？为什么要解决该问题？这个问题它代表的是哪类问题？它的本质是什么？大象无形，大音希声，大道至简，这就需要学生具备应有的抽象能力，能抽象出复杂问题的本质，所以一个优秀的数学老师应该立足于培育学生的抽象思维能力，把提高学生的核心素养作为根本任务落实到位，这样，数学必不会成为学生学习途中的拦路虎。教学相辅，在提升学生素养的同时，相信老师自身都会有长足的进步。
关键词：数学抽象;数学概念;概念课;函数单调性;教学设计
数学研究的是抽象的概念并加以运用，事实上学生在高一、高二时学习的数学其主体内容就是数学概念，而数学概念是所有数学题目的来源、前提和逻辑基础，所以必须重视数学概念课的教学。数学概念的得出绝不是教师灌输的结果，概念应该是学生作为主体对某个知识点由直观到抽象的结果，与此同时，将具体事物抽象的越深入，那么抽象出来的定义和方法就更具有解决问题的普遍性。抽象主要包含两点：一是找对象间的关系（找共性），二是建立数学模型（发现一般规律，解决问题），但是学生在学习的过程当中往往缺乏抽象的能力，不能把直观的现象抽象成结构和规律，更不用说举一反三加以应用。以下是笔者以人教A版高中数学必修一第一章第三节《函数的单调性》的教学设计片断为例，浅谈关于在数学概念课中怎样帮助学生提升数学抽象素养的一点想法。
一、基本情况分析
教材在单调性的前一节的内容是函数的定义，学生已经知道函数的概念以及函数的表示方法，知道函数是表示物体变化规律的数学模型，掌握了函数的变化规律也就掌握了物体的变化规律，因此在求了函数的定义域之后入手研究函数的变化规律以及如何求函数的值域就势在必行。研究函数的单调性承载着研究函数变化规律、求函数值域的重要使命，也直接为之后学习指数函数、对数函数、幂函数等函数建立研究模型，单调性是函数中最为重要的性质之一，这就需要学生对单调性本身有透彻的理解。但是学生在初中学习的函数相关的描述基本以静态为主，他虽然已经具备了通过几何直观把图形语言归纳为“ 随 的变化而变化”的自然语言的能力，但是还未能掌握把“ 随 增大而增大”或者“ 随 增大而减小”抽象为数学的符号语言的能力，也尚未掌握把“无限”转化为“有限”的能力，对“任意”的理解也还不够到位，这就需要教师精心设计教学环节，引导学生通过几何直观，运用数形结合的数学方法，去探索单调性的本质，抽象出单调性的定义，并能够运用单调性的定义判断、证明函数的单调性。
二、教学目标
1、能够理解并抽象出函数单调性的概念，能够利用定义判断、证明函数单调性。
2、培养学生数学抽象的核心素养。
三、教学过程设计片段
（一）创設情境，引入课题
师：著名的艾宾浩斯遗忘曲线，反映了人类大脑对新事物遗忘的规律，大家说说看，它反映了我们大脑记忆的什么变化规律？
生1：说明我们记忆力会下降，能记住的内容会越来越少。
师：能不能说的详细一点？如何描述记忆力下降这一变化规律？
生1：随着天数的增加，人所能记住的内容越来越少。
师：是的，记忆力下降就是随着天数的增加，记住的内容反而减少了，所以古人云：温故而知新其实是符合我们的认知规律的。
设计意图：概念的获得本就是从直观到抽象的过程，把知识点承载到情境里既贴近生活又有实际意义，学生在观察艾宾浩斯遗忘曲线之后，联系生活实际，很自然地就可以把下降的变化趋势描述为记忆力随着日子的增加而降低，为函数单调性中“y随x的增大而增大”、“y随x的增大而减小”的表述做好铺垫。
师：请大家观察以下函数，作图并指出其图像变化趋势或者变化规律。
例1.f（x）=x;2.f（x）=-2x+1;3.f（x）=x2
（画图过程略）
生2：f（x）=x的图像呈上升的趋势。
师：请具体描述一下何谓上升的趋势？
生2：随着x的增大，y的值也增大。
师：确实，随着x的增大，f（x）的值也增大，那么函数f（x）=-2x+1呢？
生2：它的图像呈下降趋势，随着x的增大，f（x）的值反而减小了。
师：那函数f（x）=x2呢？
生2：f（x）=x2它的图像先下降后上升，也就是说在（-∞，0）上f（x）随x的增大而减小，在（0，+ ∞）上f（x）随x的增大而增大。
师：很好，这就是函数的单调性，如果一个函数f（x）在某个区间D上满足f（x）随x的增大而增大，我们就说函数f（x）在区间D上单调递增，是增函数，区间D是函数的增区间，同理，如果它在另一个区间E上满足f（x）随x的增大而减小，我们就说函数f（x）在区间E上单调递减，是减函数，区间 是函数的减区间。大家想象一下，如果函数f（x）在某个区间上先单调递增后单调递减，那函数在这个区间上有什么值？
学生集体回答：最大值
师：是的，所以如果我们掌握了函数的单调性，不仅可以知道函数的具体变化趋势，还可以直接求出函数的值域，所以单调性是函数很重要的一个性质。
设计意图：一方面强化单调性的本质是研究“f（x）随 变化而变化的规律”，另一方面，通过具体例子让学生潜移默化地知道函数的单调性是局域性的，不一定是整个定义域里都单调，帮助学生全面理解单调性定义。
（二）抽象概括，突破难点
师：那若已知函数y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，那f（1）和f（2）相比哪个值大？
f（2）和f（3）相比呢？
生3：因为f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，1<2，所以f（1）<f（x），同理f（2）<f（3）。 师：那如果反过来，如果函数y=f（x）在（0，+∞）上单调递减呢，那f（1）和f（2）相比哪个值大？f（2）和f（3）相比呢？
生4：因为f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以x取值大的函数值反而小了，因为1<2，所以f（1）>f（2），同理f（2）>f（3）。
师：大家能不能就增函数为例把这个现象用数学语言概括一下？
生5：如果函数在某个区间上为增函数，只要a<b，则f（a）<f（b）。
师：那如果在区间上为减函数呢？
生5：如果函数在某个区间上为减函数，只要a<b，则f（a）>f（b）。
设计意图：潜移默化地让学生知道利用函数的单调性是两个数字比大小的常用方法，另一方面利用具体两数比大小帮助学生抽象出以“若a<b，则f（a）<f（b）”这个整体性质来描述增函数以及以“若a<b，则f（a）>f（b）”来描述减函数。
师：反之，如果函数f（x）在区间[1，4]上满足f（2）<f（3），我们能不能说函数f（x）在区间[1，4]上单调递增？
生6：不能，比如（略）。
师：我们把条件改为f（1）<f（2）<f（3）<f（4），能不能说函数f（x）在区间[1，4]上单调递增？
生6：不能，比如（略）。
师：我们把条件改为在区间[1，4]有n个数，满足x1<x2<x3<……<xn，且
f（x1）<f（x2）<f（x3）<……<f（xn），这样能不能说函数f（x）在区间[1，4]上单调递增？
生6：不能，比如（略）。
师：那如果改成无数个呢？
这个时候有很多学生认为可以，此时教师让持反对意见的学生回答反对的理由，并强调无数不等于所有。
师：对的，“无数”不等于“所有”，从这“无数”个里面我们取相邻的两个，再用放大器把这两个数字之间的区间放大，显然还有无数个函数值无法比大小，那么到底如何用数学符号来描述函数在f（x）在区间D上单调递增？请大家以小组为单位，统一小组意见后，我们一起展示大家的意见。
设计意图：拆分、剖析“在某个区间上，f（x）随着x的增大而增大”，把定义细化，以便学生全面理解函数单调性的定义，强化学生对“所有”的理解，同时引发了学生的认知冲突，调动了学生钻研定义的积极性。
师展示学生某小组研究的成果：在区间D上，只要x1<x2，应有f（x1）<f（x2），我们就说函数f（x）在区间D上为增函数。
师：这里的两个数x1，x2是确定的吗？
生7：这两个数是不确定的，我们可以任意选择。
师：那能不能再斟酌一下，如何精准地用符号语言描述增函数的定义？
生7：在区间D上，任取两个数x1，x2，若x1<x2，应有f（x1）<f（x2），则函数f（x）在区间D上为增函数。
师：非常好，有限个哪怕无限个自变量x满足x1<x2，f（x1）<f（x2）都不能表示增函数“在区间D上f（x）随着x的增大而增大”的本质属性，但是“任意”就可以表示，“任意”表示“取遍”，所以我们在区间D上必须强调两个数x1，x2的任意性，然后若x1<x2，则f（x1）<f（x2），此时我们就可以说函数在区间D上为增函数。
然后继续叫学生用数学符号语言描述减函数的定义。
设计意图：这一段是本节课的难点，学生在用数学符号语言描述单调性定义的时候经历了“从2个——有限个——无限个——所有——任意两个”的构建经历，对高一新生而言是一个不小的挑战，需要教师层层设计精心提问，引导学生由直观抽象出单调性的本质。
师：请同学们结合刚刚研究过的几个函数思考一下这个单调区间D和函数定义域是什么关系？
生8：单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的某个子集。
师：既然单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的某个子集，请结合刚刚我们对单调性定义的研究总结一下增函数以及减函数的完整定义
生8回答，师板书定义。
设计意图：再次强调函数的单调性具有局域性，单调区间不等同于定义域，巩固单调性定义。
例2：接下来请同学观察函数 的图像，根据图像回答以下问题：
⒈該函数在定义域里单调吗？
⒉请说出它的单调区间
学生回答过程略。
设计意图：学生通过观察图像很容易把反比例函数两条分支各自单调递减误解为在整个定义域上为减函数，实质上还是因为对函数单调性的定义其本质理解不够到位，此时就需要教师多提问学生多启发学生，使学生明确判断函数在某个区间上是否单调必须严格按照定义出发，定义是检验单调与否的根本标准，强调解题必须立足于定义，而证明不单调只需举个特例就行。同时使学生明确单调区间不能用并集表示。
（三）探索应用，加深理解
师：刚才我们研究了单调性的定义，那拿到一个陌生函数，大家说说看我们可以通过哪些方法来判断该函数在某个区间上的的单调性？
生9：如果有图像，那就可以通过图像直接判断，如果没有图像可以通过定义判断证明。
师：通过图像我们判断出函数 在区间（0，+∞）上为减函数，下面请大家以小组为单位讨论如何用单调性定义来证明这个结论。
该题学生证明过程略，学生在经过了小组讨论后来证明结论相对简单，然后请一位同学总结从定义出发证明函数单调性的基本步骤：
1.设值：在给定区间上任取两数x1，x2，且x1<x2; 2.作差：f（x1）-f（x2）
3.变形：基本方法有通分、因式分解、配方等
4.定正负：判断f（x1）-f（x2）的正负
5.下结论
设计意图：使学生明确判断单调性的办法是直观函数图法像或定义法，之后叫学生通过小组讨论解题后总结用定义证明单调性的基本步骤，实质上就是学生对单调性定义的再一次抽象并加以应用的过程，所以要养成学生适时总结的习惯。
四、教学小结、反思
本节课的教学目的非常明确，就如何引导、启发学生通过观察图像到认识函数值随自变量变化而变化的规律再到具体函数值比大小到最后抽象出函数单调性的概念，以及如何利用单调性定义证明函数单调性而展开，提升学生数学抽象这一核心素养的教学目标贯穿整堂课的始终。学生在经历了情景导入，直观抽象，探索运用的几个环节之后，对函数单调性的定义应该说有了整体、系统的认识及掌握。
在应试教育中，无论是老师还是学生都在分数与时间的压力下负重前行，高中三年，有很多老师、学生都想通过题海战术来提升数学成绩，但是我随着接触的孩子越多就发现很多孩子其实很努力但是根本不会学习，他拼命刷题但是任然对知识一知半解，题目稍微变一变就又不会做了，所以我认为在教师层面提升学生数学成绩最根本有效的方法就是提升学生的抽象思维的能力，因为抽象思维能力决定学力的高低，真正拉开学霸与普通学生间的差距的也正是抽象思维能力的高低。而如何通过课堂教学提高学生的抽象思维能力、让学生从根本上认识数学并利用知识解决问题，这就需要教师牢记使命的同时提升自身的教学水平，精心备课服务于学生。数学概念是所有数学题目的来源、前提和逻辑基础，也是对数学现象的溯源以及抽象，所以必须重视数学概念课的教学。以下几点是我以数学概念课为例，如何提升学生的抽象思维能力的一点想法，欢迎老师批评指正。
1、由具体情景引入新课。抽象不是凭空出现的，它绝大部分来自于直观，这就要求教师在引进新概念时要寻找、设计贴近生活的、有典型意义的例子或情景，让学生带着兴趣去观察、比较，然后从这些常见的例子发现其含有的共性，以便从这些共性中抽象出概念的本质。
2、必要时可以选择导向型教学。针对比较复杂的概念，当学生还不具备抽象能力时，教师可以通过具体问题引导学生从某个角度入手，建立一定的研究模型，通过某种模式分析因果和统计数据来得出最终的结果，从某种角度来讲利用模型研究更为快速、有效，因为它具有明确的导向性。如本堂课，高一新生很难直接抽象出通过在给定区间上任取两数比较其对应函数值大小来体现单调性的本质这一技巧，所以笔者就在学生尝试用数学符号语言来描述单调性的定义以前，就引入了反复运用单调性来比两个数的大小这个教学片断，有意让学生建立可以通过两个数比大小这个模型来定义单调性的意识。
3、加强定义要素的结构训练。数学的概念、定义是用最精炼的语言描述一件事物，它没有一个字是多余的，所以教师备课时一定要精读、细解定义，精心设计教学环节引导学生把定义拆解、细化，拆分地越细致学生思维就越严谨，内化知识就越彻底。
4、知行合一。学习概念定义最简单的验证的方法就是让学生用自己的话把这个概念或者定义复述清楚，如果能够复述清楚的，那么就说明基本懂了，如果复述不清楚那么应该没有掌握 。在运用一个概念定义解题前连定义本身描述的是怎样一件事情都说不清楚又何谈掌握呢？解题就是知行合一，能够说清楚是最簡单的行，知而不行就是未知。
5、必须培养学生养成及时总结、归纳的习惯。通过总结归纳，可以把已有的知识点联系起来，梳理整齐形成体系。总结归纳的本质是对知识的深度思考，深度思考不仅使学生对该知识点记得更牢而且运用得更灵活自如，很多时候成绩好的学生确实比成绩较差的学生更擅于总结归纳。
数学的教育不只是灌输数学方法，比如归纳、类比、数形结合、整体换元等，这些都只是解题时的手段和工具，我们所要培养的是让学生认识到这些解题方法的背后是什么？为什么要解决该问题？这个问题它代表的是哪类问题？它的本质是什么？大象无形，大音希声，大道至简，这就需要学生具备应有的抽象能力，能抽象出复杂问题的本质，所以一个优秀的数学老师应该立足于培育学生的抽象思维能力，把提高学生的核心素养作为根本任务落实到位，这样，数学必不会成为学生学习途中的拦路虎。教学相辅，在提升学生素养的同时，相信老师自身都会有长足的进步。