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摘 要：数列极限概念是高中教学的一大难点。数学教师一方面难以结合学生的经验进行教学，另一方面难以有效揭示数列极限概念的本质，导致学生难以化解经验中的“极限”概念与数列极限中的“极限”概念的认知冲突，进而增加了学生学习这一概念时的难度。
关键词：数列极限；概念；教学
一、问题的提出
极限对于高中学生的数学学习有很大的帮助。极限内容中蕴含着大量的辩证思想，这使得极限的学习成为高中数学新课程的一个重点和难点。但这个难点恰好是训练学生辩证思维的良好素材，提高学生综合素质的良好环节。此外，极限是学生学习高等数学的基础。高等数学中许多深层次的理论及应用都是极限的延拓和深化。极限思想贯穿了微积分的全部内容：微分和积分都是由不同方式，不同形式的极限得到的。所以微积分最核心的便是极限思想。可以说离开了极限思想，高等数学就失去了基础。不仅如此，极限思想还可以简化解题过程。例如，要求证[19+125+···+1（2n+1）2<14]，[n]为自然数。高中生很容易想到用数学归纳法来求解，但是很快会发现，数学归纳法是行不通的，这是因为[14]是常数，当[k]到[k+1]时，不等式右边常量不变，而左边在变大。若能联想到[limn→∞n4（n+1）=14]，将不等式强化为[19+125+···+1（2n+1）2 尽管如此，多年来极限教学都没有受到高中教师们的重视。这一点，笔者在查阅期刊资料时深有体会：能找到的资料大多仅仅是对极限概念、来源的理解及描述，而将极限教学作为案例研究的甚少，更不用说是系统地研究极限的教学了。这一方面与极限在高考中不受青睐关系密切。另一方面是极限概念的抽象性增多了高中生学习极限的问题。所以找到学生学习中存在的问题就成了首要任务。对于某知识的教学，首先是对其概念进行教学。只有在让学生深刻理解数学概念的基础上，才有可能激发学生继续探索该数学知识的欲望。
本文将以2003年审查通过的高中《数学》人教B版第三册（选修二）第二版（以下出现的“教科书”均指这本教科书）为背景，浅析高中数列极限概念的教学。
二、数列极限的概述
要认识数列极限概念，我们首先来认识数列极限概念的基本描述。
（一）数列极限概念的描述
教科书中给出的数列极限的概念是：
一般地，如果当项数[n]无限增大时，无穷数列[an]的项[an]无限地趋近于某个常数[a]（即[an-a]无限地接近于0），那么就说数列[an]以[a]为极限，或者说[a]是数列[an]的极限。
而大学教科书给出的则是另外一种定义方式：[ε-N]定义法。定义如下：
设[an]为数列，[a]为定数。若对任给的正数[ε]，总存在正整数[N]，使得当[n>N]时有
[an-a<ε]，
则称定数[a]为数列[an]的极限。
前一个定义是极限的描述性定义，便于高中生理解。后一个定义则放弃了描述性语言，转而采用数学语言来描述“趋近”，使得定义更加准确。但是第二个定义由于引进了[ε]语言，使得原本就难以理解的概念更加抽象了，所以第二种定义不适合在高中阶段让学生接触。
有了对数列极限概念描述的认识，下面我们再来看看这个概念的本质应该怎样去理解。
（二）数列极限概念的理解
数学当中的“极限”本质就是一个满足一定条件的数。就数列极限的定义而言，其实就是对这样一个问题的回答：在什么条件下常数[a]可以称为无穷数列[an]的极限？答案就是，必须要满足：项数[n]无限大，数列的项[an]就无限接近常数[a]。这里需要注意的是，[an]无限接近[a]是项数[n]无限大的结果，[a]是[n]无限增大这个变化过程的终极目标。定义中只强调了“[an]无限趋近[a]”，但是并不对趋近的方式有要求。即，[an]趋近[a]的方式可以有很多种：[an]可以一直大于[a]，也可以一直小于[a]，或者是一会儿大于[a]，一会儿小于[a]，只要是满足在不断地“趋近[a]”这个条件就可以了。数列极限的概念包含了由有限推至无限的，再用有限来刻画无限的思想。
三、对数列极限内容的简析
（一）数列极限的内容要求
《高中数学课程标准》（以下简称《标准》）对极限章节的教学要求是：①理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；②了解数列极限和函数极限的概念；③掌握极限的四则运算法则，会求某些数列与函数的极限；④了解函数连续性的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质。
从《标准》中我们可以看出，高中教学极限的重点应该放在“极限的运算法则”，因为《标准》对这一内容要求的是“掌握”，而其他内容只需要“了解”或“理解”。所以高中数学只要让学生对数列极限有所了解即可。
但问题是，让学生对这个概念了解到怎样一个程度才能够即达到教学要求，又对学生的继续学习有帮助呢？这个问题我们将在了解了教科书中极限一章的内容安排和极限内容在教科书中的地位后再来讨论。
（二）教科书的内容安排
教科书的第二章是极限的内容。整章的内容分为两大块：①、数学归纳法（包含一个小节“数学归纳法及其应用举例”）；②、极限（包含“数列的极限”、“函数的极限”、“极限的四则运算”、“函数的连续性”三个小节）。
在真正进入“极限”学习之前，教科书先安排了“数学归纳法”的学习。而数学归纳法当中蕴含着极限思想，它是由有限推导无限的一种证明方法。学习了数学归纳法，学生就会对极限的“由有限推广到无限”的思想有一定的认识。而在学习“极限”时，教科书首先安排的是“数列的极限”，然后再到“函数的极限”。我们知道，数列是特殊的函数，这样的安排可以说是符合了数学学习中“由特殊到一般”的规律。之后就直接进入到了“极限的四则运算”的学习。由于数列是特殊的函数，也就是说数列极限是函数极限的特例，所以函数极限的运算法则在数列极限中也都成立。所以在学习“极限的四则运算”时，教科书只解释的是“函数的四则运算”中的法则。第二板块的最后一个小节是“函数的连续性”，这是高中生第一次接触到用极限来定义的一个概念，让学生初步体会到极限在数学领域的广泛应用。而“函数的连续性”之所以会在本板块出现，主要是为了“最大值最小值定理”得以现身。
四、结语
经过分析，数学教师在教数列极限概念时通常会出现以下问题：一是难以结合学生的经验，二是难以揭示解数列极限概念的本质，对“无限趋近”、“无穷”的讲解只注重文字层面，而未上升到操作层面，致使学生在学习数列极限概念时化解不了经验中的“极限”与数列极限中“极限”的认知冲突，进而造成了学生对这一概念学习感到困难。为了减少学生理解这个概念的困难，数学教师在教授这一概念时可以通过由数列、极限思想或者是生活经验中的“极限”逐步引入数列极限概念这三种途径建立经验与新概念的联系，再按照建立直观感知、得出描述性定义、引导发现认知差异三个步骤来得到概念。
关键词：数列极限；概念；教学
一、问题的提出
极限对于高中学生的数学学习有很大的帮助。极限内容中蕴含着大量的辩证思想，这使得极限的学习成为高中数学新课程的一个重点和难点。但这个难点恰好是训练学生辩证思维的良好素材，提高学生综合素质的良好环节。此外，极限是学生学习高等数学的基础。高等数学中许多深层次的理论及应用都是极限的延拓和深化。极限思想贯穿了微积分的全部内容：微分和积分都是由不同方式，不同形式的极限得到的。所以微积分最核心的便是极限思想。可以说离开了极限思想，高等数学就失去了基础。不仅如此，极限思想还可以简化解题过程。例如，要求证[19+125+···+1（2n+1）2<14]，[n]为自然数。高中生很容易想到用数学归纳法来求解，但是很快会发现，数学归纳法是行不通的，这是因为[14]是常数，当[k]到[k+1]时，不等式右边常量不变，而左边在变大。若能联想到[limn→∞n4（n+1）=14]，将不等式强化为[19+125+···+1（2n+1）2
本文将以2003年审查通过的高中《数学》人教B版第三册（选修二）第二版（以下出现的“教科书”均指这本教科书）为背景，浅析高中数列极限概念的教学。
二、数列极限的概述
要认识数列极限概念，我们首先来认识数列极限概念的基本描述。
（一）数列极限概念的描述
教科书中给出的数列极限的概念是：
一般地，如果当项数[n]无限增大时，无穷数列[an]的项[an]无限地趋近于某个常数[a]（即[an-a]无限地接近于0），那么就说数列[an]以[a]为极限，或者说[a]是数列[an]的极限。
而大学教科书给出的则是另外一种定义方式：[ε-N]定义法。定义如下：
设[an]为数列，[a]为定数。若对任给的正数[ε]，总存在正整数[N]，使得当[n>N]时有
[an-a<ε]，
则称定数[a]为数列[an]的极限。
前一个定义是极限的描述性定义，便于高中生理解。后一个定义则放弃了描述性语言，转而采用数学语言来描述“趋近”，使得定义更加准确。但是第二个定义由于引进了[ε]语言，使得原本就难以理解的概念更加抽象了，所以第二种定义不适合在高中阶段让学生接触。
有了对数列极限概念描述的认识，下面我们再来看看这个概念的本质应该怎样去理解。
（二）数列极限概念的理解
数学当中的“极限”本质就是一个满足一定条件的数。就数列极限的定义而言，其实就是对这样一个问题的回答：在什么条件下常数[a]可以称为无穷数列[an]的极限？答案就是，必须要满足：项数[n]无限大，数列的项[an]就无限接近常数[a]。这里需要注意的是，[an]无限接近[a]是项数[n]无限大的结果，[a]是[n]无限增大这个变化过程的终极目标。定义中只强调了“[an]无限趋近[a]”，但是并不对趋近的方式有要求。即，[an]趋近[a]的方式可以有很多种：[an]可以一直大于[a]，也可以一直小于[a]，或者是一会儿大于[a]，一会儿小于[a]，只要是满足在不断地“趋近[a]”这个条件就可以了。数列极限的概念包含了由有限推至无限的，再用有限来刻画无限的思想。
三、对数列极限内容的简析
（一）数列极限的内容要求
《高中数学课程标准》（以下简称《标准》）对极限章节的教学要求是：①理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；②了解数列极限和函数极限的概念；③掌握极限的四则运算法则，会求某些数列与函数的极限；④了解函数连续性的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质。
从《标准》中我们可以看出，高中教学极限的重点应该放在“极限的运算法则”，因为《标准》对这一内容要求的是“掌握”，而其他内容只需要“了解”或“理解”。所以高中数学只要让学生对数列极限有所了解即可。
但问题是，让学生对这个概念了解到怎样一个程度才能够即达到教学要求，又对学生的继续学习有帮助呢？这个问题我们将在了解了教科书中极限一章的内容安排和极限内容在教科书中的地位后再来讨论。
（二）教科书的内容安排
教科书的第二章是极限的内容。整章的内容分为两大块：①、数学归纳法（包含一个小节“数学归纳法及其应用举例”）；②、极限（包含“数列的极限”、“函数的极限”、“极限的四则运算”、“函数的连续性”三个小节）。
在真正进入“极限”学习之前，教科书先安排了“数学归纳法”的学习。而数学归纳法当中蕴含着极限思想，它是由有限推导无限的一种证明方法。学习了数学归纳法，学生就会对极限的“由有限推广到无限”的思想有一定的认识。而在学习“极限”时，教科书首先安排的是“数列的极限”，然后再到“函数的极限”。我们知道，数列是特殊的函数，这样的安排可以说是符合了数学学习中“由特殊到一般”的规律。之后就直接进入到了“极限的四则运算”的学习。由于数列是特殊的函数，也就是说数列极限是函数极限的特例，所以函数极限的运算法则在数列极限中也都成立。所以在学习“极限的四则运算”时，教科书只解释的是“函数的四则运算”中的法则。第二板块的最后一个小节是“函数的连续性”，这是高中生第一次接触到用极限来定义的一个概念，让学生初步体会到极限在数学领域的广泛应用。而“函数的连续性”之所以会在本板块出现，主要是为了“最大值最小值定理”得以现身。
四、结语
经过分析，数学教师在教数列极限概念时通常会出现以下问题：一是难以结合学生的经验，二是难以揭示解数列极限概念的本质，对“无限趋近”、“无穷”的讲解只注重文字层面，而未上升到操作层面，致使学生在学习数列极限概念时化解不了经验中的“极限”与数列极限中“极限”的认知冲突，进而造成了学生对这一概念学习感到困难。为了减少学生理解这个概念的困难，数学教师在教授这一概念时可以通过由数列、极限思想或者是生活经验中的“极限”逐步引入数列极限概念这三种途径建立经验与新概念的联系，再按照建立直观感知、得出描述性定义、引导发现认知差异三个步骤来得到概念。