对于三条线段a、b、c在同一条直线上的等积式b2=ac的证明，常常因为找不到平行线或相似三角形而使思路中断，这时候若能适当运用代换法，可使思路延续，问题迎刃而解.
　　
　　一、等线段代换法
　　一般证题思路：要证b2=ac，改证a:b=b:c，为此先证a:m=m:c，即m2=ac；再证m=b，即可.
　　例1已知：如图1，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E是BC的延长线上的一点，EF垂直平分AD，垂足为点F.求证：ED2=EC·BE.
　　


　　证明：连结AE，
　　∵EF垂直平分AD，
　　∴ED=EA，∠ADE=∠DAE，
　　∵AD是∠BAC的平分线，
　　∴∠BAD=∠DAC.
　　又∵∠ACE=∠ADE+∠DAC，
　　 ∠BAE=∠BAD+∠DAE，
　　 ∴∠ACE=∠BAE.
　　又∵∠AEC=∠AEB，
　　 ∴△AEC∽△AEB，
　　 ∴EC:EA=AE:BE，
　　即EA2=EC·BE.
　　∵ED=EA，∴ED2=EC·BE.
　　
　　二、等比代换法
　　一般证题思路：要证b2=ac，改证a:b=b:c，为此先证a:b=m:n，b:c=m:n；再用等比（m:n）代换就证明了a:b=b:c，即b2=ac.
　　例2已知：如图2，在?荀ABCD中，G是AD延长线上的一点，BG分别交AC、DC于点F、E.求证：BF2=FE·FG.
　　


　　 证明：∵AG∥BC，
　　∴△AFG∽△CFB，
　　∴GF:BF=AF:CF.
　　∵CE∥BA，
　　∴△AFB∽△CFE，
　　∴ BF:FE=AF:FC.
　　即BF2=FE·FG.
　　例3已知：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，过O作BC的平行线分别交AB、CD于点E、F，交AD的延长线于点G.
　　求证：OG2=EG·FG.
　　 证明：分别延长AG、BC相交于点H，
　　∵OF∥BC，∴DO:DB=DF:DC，
　　∵FG∥CH，∴△DFG∽△DCH.
　　∴FG:CH=DF:DC，
　　∵OG∥BH，∴△DOG∽△DBH，DO:DB=OG:BH.
　　 ∴FG:CH=OG:BH.
　　 即FG:OG=CH:BH.
　　 同理可得，OG:EG=CH:BH，
　　 ∴FG:OG=OG:EG，即OG2=EG·FG.
　　
　　三、等积代换法
　　一般证题思路：要证b2=ac，改证b2=mn，mn=ac，再用等积（mn）代换就证明了b2=ac.
　　例4已知：如图4，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F，交CE于点G，延长BA交FD的延长线于点H.求证：DF2=GF·FH.
　　证明：
　　∵∠H=90°-∠HGE=90°-∠CGF
　　=∠FCG，
　　 ∴Rt△BFH∽Rt△GFC.
　　 ∴BF:CF=FH:FC.
　　即BF·FC=GF·FH.
　　∵DF是Rt△DBC的斜边BC上的高，
　　∴DF2=BF·FC， ∴DF2=GF·FH.
　　
　　★编辑/王一鸣