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一、一次测试引发的思考
三年级下学期末，笔者为了解学生解决问题的能力，对自己教学的两个班进行了一次解决问题能力非正式前测，以作为复习的依据。
问题1：爸爸买了两盒一样的巧克力豆，明明和媛嫒每人一盒。媛媛每天吃9颗，可以吃4天；明明每天吃18颗，可以吃几天?
问题2：明明在东京旅游，妈妈给了他525日元零用，他买了4张纪念卡，这时他发现自己只剩下25日元了。纪念卡的单价是多少日元?
问题3大型拖车送火箭从制造厂到发射场，每小时行9千米，用了4小时：从发射场返回到制造厂，每小时行18千米，需要几小时?
问题4：叔叔进行汽车拉力赛训练，从起点到终点的路程是525千米，行了4小时，发现到终点还有25千米。汽车平均每小时行多少千米?
两个班在解答题3和题4上差异明显。(正确率见下表所示)
在没有学习路程、速度和时间数量关系之前(四年级上学期才学)，A班解答问题‘3和问题4的正确率已经比较好了(至少是正常的)。而B班则特别出色。两班的差异让我眼前一亮：两个班是随机分班，B班二年级开始是笔者执教，A班从二年级下学期起是笔者执教。经过一年的教学，两个班在包括解决问题能力的各个数学能力上看不出差异，但为什么两个班在解决离散量类型的问题时没有差异(事实上，题l和题3、题2和题4是同构的，唯一的区别是，题1和题2问题涉及的量是离散量，而题3和题4问题涉及的量是连续量)，而在解决连续量问题的时候B班却更为优异呢?为了确定不是外部因素影响了测试的信度，随后笔者又对两个班同时进行了20分钟小测验，还在复习过程中多次针对数学成绩后30％的学生进行了专项对比观察，证实了前面的测试有较高的信度：解题失败的几个同学在解决同类问题时依然表现不佳，于是我作出了这样的判断：长度单位教学策略对连续量类型的实际问题解决(特别是路程、速度、时间关系问题解决)有直接影响；或者说长度单位概念建构的失败是导致学生解决连续量问题困难的原因。
二、得出此判断的依据
笔者很早就开始关注学生解决连续量问题不如离散量问题的现象，这里举一个极端的例子，
[牛吃草]一块草地，每天均匀地生长新草。如果放养6头牛，8天可以吃完草地里的草。如果放养9头牛，4天就吃完了草地里的草。如果放养7头牛，草地的草够吃多少天?
[吃鸡蛋]冰箱里有一些鸡蛋，养的鸡每天下同样多的鸡蛋。如果每天给熊猫吃6只蛋，8天后鸡蛋不够吃，如果每天吃9只蛋，4天后鸡蛋不够吃。如果每天吃7只蛋，几天后鸡蛋不够吃?
对于成人来说，“牛吃草”问题也是个棘手的题目，而“吃鸡蛋”问题则是个简单问题。对于没有经过特殊辅导的四年级儿童来说，能解决前一个问题的百里挑一，而能解决后一个问题的学生则不在少数。“牛吃草”和“吃鸡蛋”是同构的，为什么前者如此困难而后者则相对简单得多呢?笼统的解释是：后一个问题容易理解，而前一个问题难以理解。事实上，调查发现，许多有经验的教师都能注意到连续量问题相对较难，他们的解释通常是“学生不理解题意”。然而，用“不理解题意”来解释这种现象还过于笼统，什么是“不理解题意”?阅读障碍吗?两者并没有什么差别!离生活太远?没有理由认为牧区小学的孩子会比城市的孩子更会解答“牛吃草”问题!那么，不理解题意的原因是什么?
笔者的理解是：“牛吃草”问题困难的原因是没有一个现成的和熟知的单位来表示牧草的量，而后者表示鸡蛋数量的“个”则是儿童在幼儿期就熟知的单位。对许多儿童来说，感到困难的行程、面积、重量、时间、角度等连续量问题，如果换成离散数量问题则容易得多。由此可以推断，儿童是否正确建立长度(面积、体积、质量、角度、时间)等单位概念决定着儿童在解决相应量的问题时是否“理解题意”。
因此，笔者对前述A班儿童在解决问题3和问题4上的失败归因于长度单位概念在他们的大脑里没有被正确建立起来。二年级儿童理解“厘米”“公亩”“平方米”“立方厘米”“(角)度”与我们成人理解“千克·米”“米/秒”这样的单位概念有相似的难度。事实上，在孩子的大脑中，8个，8厘米，8千克，8小时，8度(角)，这些概念完全不一样，除了“8个”是真实而清晰的，其他的概念一个比一个模糊，从他们解答这类量的问题常常出错——不理解题意、胡乱写名数、周长与面积不分——可以看出来。
正是基于这个判断，笔者主张重视儿童对连续量和测量单位的理解，改变长度(面积、体积、周长、时间、角度等)量和测量单位的教学策略。
三、长度和长度单位的教学策略
支配目前长度认识和长度单位认识的主流观点是这样的：①长度测量教学重点是技能形成；②长度单位教学的重点是单位之间的转换和实际运用；③长度单位和直尺的认识难点是用断尺测量长度和单位的实际运用；④“比长短”和“直尺的认识”不用教，学生都会；⑤一些教材上安排的用铅笔、橡皮等一般单位测量被测对象的活动尽管符合知识的逻辑起点，但并不符合儿童的现实起点(因为学生100％会使用直尺)。因此，课改前后，长度和长度单位的教学基本没有什么改变，依然是技能训练。
7年前，笔者教学长度和长度单位所采取的策略正好与人教版小学数学二年级上册第一单元《长度单位》教材安排的图2相似，学生使用的测量长度的“尺子”就是把10个红黄相间的厘米立方体用透明胶带粘成的长条。用离散量的表达方式表达测量结果一例如，右边的数学书的宽是“15‘个’厘米”“铅笔盒的长度是25‘个’厘米”，用“个”把测量与数数统一起来，将学生数离散量的经验和能力迁移到长度测量上来，再迁移到质量、面积、体积、角度测量上去。很明显的效果是学生对长度和长度单位表示的对象(概念)认识非常清晰，在学习周长和面积的时候，混淆周长面积的比例显著减少。
两年前，笔者教学厘米认识的时候，基于促进学生对连续量对象的认识和测量单位概念的建立，进一步调整和丰富了教学目标和内容。
核心活动如下，给学生提供如下图的5个长度单位，用复制的方法测量。比如文具盒长“大约6个积木”(第4个，上到下，下同)，如果用圆柱体橡皮(第1个)作单位测量，文具盒的长度大约是多少个单位?估计一下再测出来，交流一下你是怎么估计的。如果用长方体橡皮(第5个)测量呢?在这种结构化的材料操作中，学生不仅获得正确的长度单位概念，更重要的是，学生在这里获得了更有用的数学结构，不同单位表示同一对象——反比例关系的模型，这正是前述测试题中问题3的结构。事实上，前述测试题的问题3，本质上是一个测量问题：将拖车1小时移动的距离当做一个单位，用两种不同的单位测量同一个距离——制造厂到发射场的距离，其测量数据与单位大小成反比例。
这种学习长度测量的经验是A班同学没有的，有理由相信，B班学生在解决问题3和问题4上的优异表现，与他们在学习长度单位时的不同方式是相关的。
四、结论和思考
长度和长度单位概念是后续学习其他计量单位的基础，还是日后学习实数、几何的基础；长度测量经验是倍数、单位1、分数、小数等重要数学概念的自然入口，在小学数学教学中有着特殊重要的地位。用离散的数数入手测量长度是帮助学生建立长度概念的有效策略。面积、体积、角度测量也应该使用相似的策略。杨利亚等老师在角度教学时从离散的单位角度(1度的角)入手，用单位复制(数数)的方法测量角度，也印证了这种策略的必要性和有效性。
想不到一个长度单位概念建构之初的策略改变竞然影响了学生对“速度、路程、时间”关系的理解。由此想到时下评课的“万能”流行语数学教学应该是“清清楚楚一条线”，而不是“模模糊糊一大片”，意思是教学目标要明确、过程要清晰。然而，以笔者的这种策略教学长度单位显然是模模糊糊一大片——看不出通常理解的重点和难点!无可非议，某个小片段的数学知识和相应的教学或许应该是一条线，但应该在怎样的尺度下、怎样的视野中考察这条线々因为学生的数学学习过程和知识结构决不会是一个线性系统，我们应该站得更高，在更大的尺度下、在更广阔的视野中把握这条线——定位教学目标和选择教学策略——以有效促进学生建构生态和谐的数学知识结构。
三年级下学期末，笔者为了解学生解决问题的能力，对自己教学的两个班进行了一次解决问题能力非正式前测，以作为复习的依据。
问题1：爸爸买了两盒一样的巧克力豆，明明和媛嫒每人一盒。媛媛每天吃9颗，可以吃4天；明明每天吃18颗，可以吃几天?
问题2：明明在东京旅游，妈妈给了他525日元零用，他买了4张纪念卡，这时他发现自己只剩下25日元了。纪念卡的单价是多少日元?
问题3大型拖车送火箭从制造厂到发射场，每小时行9千米，用了4小时：从发射场返回到制造厂，每小时行18千米，需要几小时?
问题4：叔叔进行汽车拉力赛训练，从起点到终点的路程是525千米，行了4小时，发现到终点还有25千米。汽车平均每小时行多少千米?
两个班在解答题3和题4上差异明显。(正确率见下表所示)
在没有学习路程、速度和时间数量关系之前(四年级上学期才学)，A班解答问题‘3和问题4的正确率已经比较好了(至少是正常的)。而B班则特别出色。两班的差异让我眼前一亮：两个班是随机分班，B班二年级开始是笔者执教，A班从二年级下学期起是笔者执教。经过一年的教学，两个班在包括解决问题能力的各个数学能力上看不出差异，但为什么两个班在解决离散量类型的问题时没有差异(事实上，题l和题3、题2和题4是同构的，唯一的区别是，题1和题2问题涉及的量是离散量，而题3和题4问题涉及的量是连续量)，而在解决连续量问题的时候B班却更为优异呢?为了确定不是外部因素影响了测试的信度，随后笔者又对两个班同时进行了20分钟小测验，还在复习过程中多次针对数学成绩后30％的学生进行了专项对比观察，证实了前面的测试有较高的信度：解题失败的几个同学在解决同类问题时依然表现不佳，于是我作出了这样的判断：长度单位教学策略对连续量类型的实际问题解决(特别是路程、速度、时间关系问题解决)有直接影响；或者说长度单位概念建构的失败是导致学生解决连续量问题困难的原因。
二、得出此判断的依据
笔者很早就开始关注学生解决连续量问题不如离散量问题的现象，这里举一个极端的例子，
[牛吃草]一块草地，每天均匀地生长新草。如果放养6头牛，8天可以吃完草地里的草。如果放养9头牛，4天就吃完了草地里的草。如果放养7头牛，草地的草够吃多少天?
[吃鸡蛋]冰箱里有一些鸡蛋，养的鸡每天下同样多的鸡蛋。如果每天给熊猫吃6只蛋，8天后鸡蛋不够吃，如果每天吃9只蛋，4天后鸡蛋不够吃。如果每天吃7只蛋，几天后鸡蛋不够吃?
对于成人来说，“牛吃草”问题也是个棘手的题目，而“吃鸡蛋”问题则是个简单问题。对于没有经过特殊辅导的四年级儿童来说，能解决前一个问题的百里挑一，而能解决后一个问题的学生则不在少数。“牛吃草”和“吃鸡蛋”是同构的，为什么前者如此困难而后者则相对简单得多呢?笼统的解释是：后一个问题容易理解，而前一个问题难以理解。事实上，调查发现，许多有经验的教师都能注意到连续量问题相对较难，他们的解释通常是“学生不理解题意”。然而，用“不理解题意”来解释这种现象还过于笼统，什么是“不理解题意”?阅读障碍吗?两者并没有什么差别!离生活太远?没有理由认为牧区小学的孩子会比城市的孩子更会解答“牛吃草”问题!那么，不理解题意的原因是什么?
笔者的理解是：“牛吃草”问题困难的原因是没有一个现成的和熟知的单位来表示牧草的量，而后者表示鸡蛋数量的“个”则是儿童在幼儿期就熟知的单位。对许多儿童来说，感到困难的行程、面积、重量、时间、角度等连续量问题，如果换成离散数量问题则容易得多。由此可以推断，儿童是否正确建立长度(面积、体积、质量、角度、时间)等单位概念决定着儿童在解决相应量的问题时是否“理解题意”。
因此，笔者对前述A班儿童在解决问题3和问题4上的失败归因于长度单位概念在他们的大脑里没有被正确建立起来。二年级儿童理解“厘米”“公亩”“平方米”“立方厘米”“(角)度”与我们成人理解“千克·米”“米/秒”这样的单位概念有相似的难度。事实上，在孩子的大脑中，8个，8厘米，8千克，8小时，8度(角)，这些概念完全不一样，除了“8个”是真实而清晰的，其他的概念一个比一个模糊，从他们解答这类量的问题常常出错——不理解题意、胡乱写名数、周长与面积不分——可以看出来。
正是基于这个判断，笔者主张重视儿童对连续量和测量单位的理解，改变长度(面积、体积、周长、时间、角度等)量和测量单位的教学策略。
三、长度和长度单位的教学策略
支配目前长度认识和长度单位认识的主流观点是这样的：①长度测量教学重点是技能形成；②长度单位教学的重点是单位之间的转换和实际运用；③长度单位和直尺的认识难点是用断尺测量长度和单位的实际运用；④“比长短”和“直尺的认识”不用教，学生都会；⑤一些教材上安排的用铅笔、橡皮等一般单位测量被测对象的活动尽管符合知识的逻辑起点，但并不符合儿童的现实起点(因为学生100％会使用直尺)。因此，课改前后，长度和长度单位的教学基本没有什么改变，依然是技能训练。
7年前，笔者教学长度和长度单位所采取的策略正好与人教版小学数学二年级上册第一单元《长度单位》教材安排的图2相似，学生使用的测量长度的“尺子”就是把10个红黄相间的厘米立方体用透明胶带粘成的长条。用离散量的表达方式表达测量结果一例如，右边的数学书的宽是“15‘个’厘米”“铅笔盒的长度是25‘个’厘米”，用“个”把测量与数数统一起来，将学生数离散量的经验和能力迁移到长度测量上来，再迁移到质量、面积、体积、角度测量上去。很明显的效果是学生对长度和长度单位表示的对象(概念)认识非常清晰，在学习周长和面积的时候，混淆周长面积的比例显著减少。
两年前，笔者教学厘米认识的时候，基于促进学生对连续量对象的认识和测量单位概念的建立，进一步调整和丰富了教学目标和内容。
核心活动如下，给学生提供如下图的5个长度单位，用复制的方法测量。比如文具盒长“大约6个积木”(第4个，上到下，下同)，如果用圆柱体橡皮(第1个)作单位测量，文具盒的长度大约是多少个单位?估计一下再测出来，交流一下你是怎么估计的。如果用长方体橡皮(第5个)测量呢?在这种结构化的材料操作中，学生不仅获得正确的长度单位概念，更重要的是，学生在这里获得了更有用的数学结构，不同单位表示同一对象——反比例关系的模型，这正是前述测试题中问题3的结构。事实上，前述测试题的问题3，本质上是一个测量问题：将拖车1小时移动的距离当做一个单位，用两种不同的单位测量同一个距离——制造厂到发射场的距离，其测量数据与单位大小成反比例。
这种学习长度测量的经验是A班同学没有的，有理由相信，B班学生在解决问题3和问题4上的优异表现，与他们在学习长度单位时的不同方式是相关的。
四、结论和思考
长度和长度单位概念是后续学习其他计量单位的基础，还是日后学习实数、几何的基础；长度测量经验是倍数、单位1、分数、小数等重要数学概念的自然入口，在小学数学教学中有着特殊重要的地位。用离散的数数入手测量长度是帮助学生建立长度概念的有效策略。面积、体积、角度测量也应该使用相似的策略。杨利亚等老师在角度教学时从离散的单位角度(1度的角)入手，用单位复制(数数)的方法测量角度，也印证了这种策略的必要性和有效性。
想不到一个长度单位概念建构之初的策略改变竞然影响了学生对“速度、路程、时间”关系的理解。由此想到时下评课的“万能”流行语数学教学应该是“清清楚楚一条线”，而不是“模模糊糊一大片”，意思是教学目标要明确、过程要清晰。然而，以笔者的这种策略教学长度单位显然是模模糊糊一大片——看不出通常理解的重点和难点!无可非议，某个小片段的数学知识和相应的教学或许应该是一条线，但应该在怎样的尺度下、怎样的视野中考察这条线々因为学生的数学学习过程和知识结构决不会是一个线性系统，我们应该站得更高，在更大的尺度下、在更广阔的视野中把握这条线——定位教学目标和选择教学策略——以有效促进学生建构生态和谐的数学知识结构。