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摘 要：数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习过程中逐步形成和发展的。为了实现这个目标，高中数学课堂教学必须从“能力立意”转入“素养导向”，充分发挥学生的主观能动性，帮助学生从“学会”提升到“会学”。笔者以“椭圆及其标准方程”为例，探讨课堂教学过程中数学核心素养如何落地的问题。
关键词：数学核心素养;椭圆;标准方程
2017年，教育部发布《普通高中课程方案和全部学科课程标准（2017年版）》[1]。高中数学课程标准提出“数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析”六个数学核心素养，旨在通过提升学生的数学核心素养，培养学生能用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维分析现实世界、用数学的语言表达现实世界，逐步形成适应个人终身发展和社会发展需要的具有数学基本特征的思维品质和关键能力。
从我国最近三次教育的改革可看到，课程教学目标经历了从“双基”到“三维”再到“核心素养”的变化历程。“双基”注重知识和技能，“三维”是在知识和技能的基础上，增加了过程与方法，以及情感、态度与价值观。“核心素养”是“三维”目标的发展和深化，更加突出教育的真实目的——育人。为了实现这个目标，高中数学课堂教学必须从“能力立意”转入“素养导向”，始终坚持“以人为本”的教育理念，采用“教师为主导，学生为主体”的课堂教学模式，充分发挥学生的主观能动性，帮助学生从“学会”提升到“会学”，全面提升学生的数学核心素养水平。笔者以“椭圆及其标准方程”为例，探讨课堂教学中核心素养如何落地的问题。
一、注重主题教学，落实整体把握关键
多数专家认为：主题教学是提升学生核心素养的一种高效的教学模式[2]。主题教学有很多种表达，如大概念教学、单元教学、基于任务教学、深度学习等。他们的本质是相同的，就是从一个一个知识点的教学，或者从一个课时的教学中跳出来，从更大范围、站在更高位置、用更一般思想进行整体教学设计和教学实施。
“椭圆及其标准方程”为北师大版《数学2-1》（选修）第三章“圆锥曲线与方程”第一节“椭圆及其标准方程”第一节，是继学习圆以后运用“曲线和方程”理论解决二次曲线问题的又一实例，也是进一步研究的双曲线和抛物线的方法基础。因此，本节内容的教学设计应提升到“曲线与方程”的高度，突出函数与方程、数形结合的数学思想方法，切实发挥承前启后的重要作用，需要做到如下几点。
（一）坚持整体和部分的统一
本节作为圆锥曲线的第一节，为了突出整体性，教学设计可以先从生活实际和圆锥曲线的发展历程出发，让学生形成圆锥曲线“形”的整体性认识。圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线。椭圆是圆的发展和深化，也和双曲线、抛物线有着密不可分的联系。因此，教学设计要坚持整体和部分的统一。
（二）利用已知，探索未知
维果斯基的“最近发展区理论”，认为学生的发展分为现有水平和可能的发展水平。现有水平是学生在独立活动过程中能到达解决问题的水平，而可能的发展水平是学生通过教学活动所获得的潜力。这两者之间的差异被称为最近发展区。在“椭圆及其标准方程”的学习过程中，“圆的定义及其标准方程”是学生的现有水平，“椭圆及其标准方程”就是可能的发展水平，教学中应通过类比圆的定义及其标准方程，引导学生自主发现、归纳和总结出椭圆及其标准方程，从而超越其最近发展区，达到下一发展阶段的水平。
（三）放缓节奏，夯实基础
传统的“椭圆及其标准方程”的教学设计仅安排1个课时，未能突出本节的重要性。本人认为这一节需要2个课时，让学生充分感知椭圆定义的形成过程，亲身实践椭圆标准方程的发现过程，真正领悟曲线与方程、数形结合的数学思想方法，为抛物线和双曲线的学习奠定坚实的基础。
二、巧设教学情境，激发学习兴趣
新课程标准从以人为本、回归生活、注重发展的教育理念出发，大大丰富了情境的内涵，并对情境创设提出了新的要求。情境分为现实情境、数学情境、科学情境，而每种情境又可以分解为熟悉的情境、关联的情境和综合的情境。情境是否合适，并不仅仅取决于情境本身，而关键在于所提出的问题是否能够深刻地揭示数学的本质。
传统的“椭圆及其标准方程”教学情境，一般先从实际中的圆锥曲线出发，让学生感受椭圆的“形”，再通过画椭圆实验归纳、总结出椭圆的定义。深入思考发现，这种教学情境缺少对椭圆规律的探索过程。事实上，动手画椭圆并非是椭圆规律的探索，而是从“形”的角度验证椭圆的规律。因此，好的教学情境必须要揭示椭圆的规律。中国知网上以“椭圆及其标准方程”为主题的文献共有211条，有很多椭圆定义的教学情境，例如高洪伟[3]的圆锥截面形状;贺明荣[4]的旦德林双球模型;戈峰[5]的折纸实验;李振雷[6]的将圆压扁;郑新春[7]的动点轨迹变式法等等。本人认为：“旦德林双球模型”、“折纸实验”、“将圆压扁”都属于好的教学情境，它们引导学生观察、发现，并抽象出椭圆的规律。再利用动手画椭圆，进一步从“形”上验证椭圆的规律。通过这些教学情境，不仅可以引导学生发现椭圆的规律，形成椭圆的概念，而且还可以从探究过程获得成就感，从而激发学生学习数学的兴趣。
三、依托开放式探究活动，突出“四能”培养
核心素养强调的不是知识和技能，而是获取知识的能力。让学生经历开放式的探究活动，自主选择解决问题的方案，开展合作探究，从而培养学生获取知识的能力。这些通过探究过程获得的能力、思维和价值观等，能高度迁移到学生未来的生活和工作中，形成学生终身发展和社会发展需要的核心素养。
坐标法是研究几何问题的重要方法，在数学史上占有重要的地位。通过建立坐标系，引入点的坐标，几何问题被转化为代数问题，再应用方程的思想解决，这就是非常著名的“几何问题代数化”。为了建立椭圆的标準方程，一般需要经历建系、设点、列式、化简四个步骤。建系的方案可有多种选择，不同选择得到标准方程的形式会有区别，但是发挥的作用是一致的。以图1的建系方案为例，已知F1（-c，0），F2（c，0），设椭圆上任意点M（x，y），由|MF1|+|MF2|=2a（a>c），可得 化简（1）式的本质是利用平方去根号，一般可以通过直接平方法、移项平方法和等差中项法实现。直接平方法是最基本的选择，但是运算量大，几乎不被采用;移项平方法是最常用的选择，通过先移项，再平方，有效降低了运算量;等差中项法的思路非常巧妙，不仅可以起到化简的作用，而且还可以为椭圆的第二定义提出埋下伏笔，具体如下：由（1）可观察到能组成等差数列，令
从上述分析，可发现建系和化简不仅是椭圆标准方程建立的关键，还具备较大的自由度，为学生提供了巨大的发挥空间。因此，课堂教学应利用好这类知识点，依托开放式的探究活动，充分调动学生的积极性，发挥其主观能动性，自主选择建系方案和化简技巧，有效提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
四、以知识为思维载体，落实数学核心素养培养
传统教学过于偏重知识量的积累，从而导致教学过程中偏重于学生的记忆能力和模仿能力的培养，而忽略了更为重要的思维能力和创新能力。知识和思维分别表述了人类思想的两个方面。知识就是对某种已经存在或决定过的事情的了解，而思维是对尚未发生的事物做出决定，是一种新的创造。引导学生的思维是教育最关键的目标。数学核心素养就是关注学生思维发展的体现。教师应充分挖掘教学内容与数学核心素养之间的对应关系，在教学过程中进行有意识地渗透，从而提升學生的数学核心素养。
椭圆定义的学习可以培养学生的数学抽象、直观想象和逻辑推理等核心素养。椭圆就是对一类图形的空间形式的抽象，通过形式推理和模型构建，理解和表达了该类图形的本质、关系和规律;直观想象也是形成椭圆概念的思维基础，只有充分利用数形结合的数学思想方法，才能顺利地用简洁的、准确的数学语言表达出椭圆的定义;逻辑推理在椭圆概念形成过程中发挥重要的作用，如椭圆上点规律的发现。因此，在教学过程中，教师可先让学生对椭圆的“形”建立感性认识，再通过旦德林双球模型（或折纸实验或将圆压扁）发现椭圆的规律，然后通过动手画椭圆验证规律，最后归纳、总结出椭圆的概念。
椭圆标准方程的学习可以培养学生的数学建模和数学运算等核心素养。数学模型使得数学回归外部世界，构建了数学与现实世界的桥梁。椭圆的标准方程就是一个数学模型，它是用一个数学方程来刻画椭圆的性质、关系和规律。标准方程的建立需要进行多次数学运算，尤其是方程的化简过程。在教学过程中，教师可通过开放式的探究活动，充分调动学生的积极性，亲身经历椭圆标准方程的建立过程，感悟几何问题代数化的数学思想方法，从而提升数学建模和数学运算核心素养的水平。
综上所述，基于数学核心素养的教学给数学教师提出了新的挑战。作为一线教师，要开拓视野，了解背景，深入研究课程标准，认真钻研教材内容，深刻领悟数学知识的本质，充分考虑学生的认知水平，合理创设丰富多彩的教学情境，全面激发学生的学习兴趣和主动性，打造“教师为主导，学生为主体”的课堂教学模式，关注数学内容、数学教学理论、数学教学实践与数学核心素养的有机结合，不断探索，不断积累，为学生的数学核心素养的提升创造有利的条件。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.
[2]王尚志、胡凤娟.基于数学核心素养的教学要点[J].上课课程教学研究，2017，3-8.
[3]高洪伟.“自然生成”，方能“优质高效”——以《椭圆及其标准方程》一课为例[J].教育研究与评论·中学数学教育，2014，2.
[4]贺明荣.基于范希尔几何水平理论的“椭圆及标准方程”教学设计[J].中小学数学（高中），2014，4.
[5]戈峰.让数学实验走进高中数学课堂[J].中学数学月刊，2017，12.
[6]李振雷.椭圆定义教学实践与思考[J].数学通报，2011，10.
[7]郑新春.再谈椭圆及其标准方程的教学[J].数学通报，2015，2.
项目基金：阜阳师范大学基础教育研究成果培育项目“基于学生核心素养发展的高中数学教学实践研究”（2018JCJY05）
作者简介：姚艳（1979.06-），女，汉族，本科，中学一级教师，研究方向：高中数学教学。
王志刚（1979.11-），男，汉族，博士，教授 研究方向：偏微分方程 。
关键词：数学核心素养;椭圆;标准方程
2017年，教育部发布《普通高中课程方案和全部学科课程标准（2017年版）》[1]。高中数学课程标准提出“数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析”六个数学核心素养，旨在通过提升学生的数学核心素养，培养学生能用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维分析现实世界、用数学的语言表达现实世界，逐步形成适应个人终身发展和社会发展需要的具有数学基本特征的思维品质和关键能力。
从我国最近三次教育的改革可看到，课程教学目标经历了从“双基”到“三维”再到“核心素养”的变化历程。“双基”注重知识和技能，“三维”是在知识和技能的基础上，增加了过程与方法，以及情感、态度与价值观。“核心素养”是“三维”目标的发展和深化，更加突出教育的真实目的——育人。为了实现这个目标，高中数学课堂教学必须从“能力立意”转入“素养导向”，始终坚持“以人为本”的教育理念，采用“教师为主导，学生为主体”的课堂教学模式，充分发挥学生的主观能动性，帮助学生从“学会”提升到“会学”，全面提升学生的数学核心素养水平。笔者以“椭圆及其标准方程”为例，探讨课堂教学中核心素养如何落地的问题。
一、注重主题教学，落实整体把握关键
多数专家认为：主题教学是提升学生核心素养的一种高效的教学模式[2]。主题教学有很多种表达，如大概念教学、单元教学、基于任务教学、深度学习等。他们的本质是相同的，就是从一个一个知识点的教学，或者从一个课时的教学中跳出来，从更大范围、站在更高位置、用更一般思想进行整体教学设计和教学实施。
“椭圆及其标准方程”为北师大版《数学2-1》（选修）第三章“圆锥曲线与方程”第一节“椭圆及其标准方程”第一节，是继学习圆以后运用“曲线和方程”理论解决二次曲线问题的又一实例，也是进一步研究的双曲线和抛物线的方法基础。因此，本节内容的教学设计应提升到“曲线与方程”的高度，突出函数与方程、数形结合的数学思想方法，切实发挥承前启后的重要作用，需要做到如下几点。
（一）坚持整体和部分的统一
本节作为圆锥曲线的第一节，为了突出整体性，教学设计可以先从生活实际和圆锥曲线的发展历程出发，让学生形成圆锥曲线“形”的整体性认识。圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线。椭圆是圆的发展和深化，也和双曲线、抛物线有着密不可分的联系。因此，教学设计要坚持整体和部分的统一。
（二）利用已知，探索未知
维果斯基的“最近发展区理论”，认为学生的发展分为现有水平和可能的发展水平。现有水平是学生在独立活动过程中能到达解决问题的水平，而可能的发展水平是学生通过教学活动所获得的潜力。这两者之间的差异被称为最近发展区。在“椭圆及其标准方程”的学习过程中，“圆的定义及其标准方程”是学生的现有水平，“椭圆及其标准方程”就是可能的发展水平，教学中应通过类比圆的定义及其标准方程，引导学生自主发现、归纳和总结出椭圆及其标准方程，从而超越其最近发展区，达到下一发展阶段的水平。
（三）放缓节奏，夯实基础
传统的“椭圆及其标准方程”的教学设计仅安排1个课时，未能突出本节的重要性。本人认为这一节需要2个课时，让学生充分感知椭圆定义的形成过程，亲身实践椭圆标准方程的发现过程，真正领悟曲线与方程、数形结合的数学思想方法，为抛物线和双曲线的学习奠定坚实的基础。
二、巧设教学情境，激发学习兴趣
新课程标准从以人为本、回归生活、注重发展的教育理念出发，大大丰富了情境的内涵，并对情境创设提出了新的要求。情境分为现实情境、数学情境、科学情境，而每种情境又可以分解为熟悉的情境、关联的情境和综合的情境。情境是否合适，并不仅仅取决于情境本身，而关键在于所提出的问题是否能够深刻地揭示数学的本质。
传统的“椭圆及其标准方程”教学情境，一般先从实际中的圆锥曲线出发，让学生感受椭圆的“形”，再通过画椭圆实验归纳、总结出椭圆的定义。深入思考发现，这种教学情境缺少对椭圆规律的探索过程。事实上，动手画椭圆并非是椭圆规律的探索，而是从“形”的角度验证椭圆的规律。因此，好的教学情境必须要揭示椭圆的规律。中国知网上以“椭圆及其标准方程”为主题的文献共有211条，有很多椭圆定义的教学情境，例如高洪伟[3]的圆锥截面形状;贺明荣[4]的旦德林双球模型;戈峰[5]的折纸实验;李振雷[6]的将圆压扁;郑新春[7]的动点轨迹变式法等等。本人认为：“旦德林双球模型”、“折纸实验”、“将圆压扁”都属于好的教学情境，它们引导学生观察、发现，并抽象出椭圆的规律。再利用动手画椭圆，进一步从“形”上验证椭圆的规律。通过这些教学情境，不仅可以引导学生发现椭圆的规律，形成椭圆的概念，而且还可以从探究过程获得成就感，从而激发学生学习数学的兴趣。
三、依托开放式探究活动，突出“四能”培养
核心素养强调的不是知识和技能，而是获取知识的能力。让学生经历开放式的探究活动，自主选择解决问题的方案，开展合作探究，从而培养学生获取知识的能力。这些通过探究过程获得的能力、思维和价值观等，能高度迁移到学生未来的生活和工作中，形成学生终身发展和社会发展需要的核心素养。
坐标法是研究几何问题的重要方法，在数学史上占有重要的地位。通过建立坐标系，引入点的坐标，几何问题被转化为代数问题，再应用方程的思想解决，这就是非常著名的“几何问题代数化”。为了建立椭圆的标準方程，一般需要经历建系、设点、列式、化简四个步骤。建系的方案可有多种选择，不同选择得到标准方程的形式会有区别，但是发挥的作用是一致的。以图1的建系方案为例，已知F1（-c，0），F2（c，0），设椭圆上任意点M（x，y），由|MF1|+|MF2|=2a（a>c），可得 化简（1）式的本质是利用平方去根号，一般可以通过直接平方法、移项平方法和等差中项法实现。直接平方法是最基本的选择，但是运算量大，几乎不被采用;移项平方法是最常用的选择，通过先移项，再平方，有效降低了运算量;等差中项法的思路非常巧妙，不仅可以起到化简的作用，而且还可以为椭圆的第二定义提出埋下伏笔，具体如下：由（1）可观察到能组成等差数列，令
从上述分析，可发现建系和化简不仅是椭圆标准方程建立的关键，还具备较大的自由度，为学生提供了巨大的发挥空间。因此，课堂教学应利用好这类知识点，依托开放式的探究活动，充分调动学生的积极性，发挥其主观能动性，自主选择建系方案和化简技巧，有效提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
四、以知识为思维载体，落实数学核心素养培养
传统教学过于偏重知识量的积累，从而导致教学过程中偏重于学生的记忆能力和模仿能力的培养，而忽略了更为重要的思维能力和创新能力。知识和思维分别表述了人类思想的两个方面。知识就是对某种已经存在或决定过的事情的了解，而思维是对尚未发生的事物做出决定，是一种新的创造。引导学生的思维是教育最关键的目标。数学核心素养就是关注学生思维发展的体现。教师应充分挖掘教学内容与数学核心素养之间的对应关系，在教学过程中进行有意识地渗透，从而提升學生的数学核心素养。
椭圆定义的学习可以培养学生的数学抽象、直观想象和逻辑推理等核心素养。椭圆就是对一类图形的空间形式的抽象，通过形式推理和模型构建，理解和表达了该类图形的本质、关系和规律;直观想象也是形成椭圆概念的思维基础，只有充分利用数形结合的数学思想方法，才能顺利地用简洁的、准确的数学语言表达出椭圆的定义;逻辑推理在椭圆概念形成过程中发挥重要的作用，如椭圆上点规律的发现。因此，在教学过程中，教师可先让学生对椭圆的“形”建立感性认识，再通过旦德林双球模型（或折纸实验或将圆压扁）发现椭圆的规律，然后通过动手画椭圆验证规律，最后归纳、总结出椭圆的概念。
椭圆标准方程的学习可以培养学生的数学建模和数学运算等核心素养。数学模型使得数学回归外部世界，构建了数学与现实世界的桥梁。椭圆的标准方程就是一个数学模型，它是用一个数学方程来刻画椭圆的性质、关系和规律。标准方程的建立需要进行多次数学运算，尤其是方程的化简过程。在教学过程中，教师可通过开放式的探究活动，充分调动学生的积极性，亲身经历椭圆标准方程的建立过程，感悟几何问题代数化的数学思想方法，从而提升数学建模和数学运算核心素养的水平。
综上所述，基于数学核心素养的教学给数学教师提出了新的挑战。作为一线教师，要开拓视野，了解背景，深入研究课程标准，认真钻研教材内容，深刻领悟数学知识的本质，充分考虑学生的认知水平，合理创设丰富多彩的教学情境，全面激发学生的学习兴趣和主动性，打造“教师为主导，学生为主体”的课堂教学模式，关注数学内容、数学教学理论、数学教学实践与数学核心素养的有机结合，不断探索，不断积累，为学生的数学核心素养的提升创造有利的条件。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.
[2]王尚志、胡凤娟.基于数学核心素养的教学要点[J].上课课程教学研究，2017，3-8.
[3]高洪伟.“自然生成”，方能“优质高效”——以《椭圆及其标准方程》一课为例[J].教育研究与评论·中学数学教育，2014，2.
[4]贺明荣.基于范希尔几何水平理论的“椭圆及标准方程”教学设计[J].中小学数学（高中），2014，4.
[5]戈峰.让数学实验走进高中数学课堂[J].中学数学月刊，2017，12.
[6]李振雷.椭圆定义教学实践与思考[J].数学通报，2011，10.
[7]郑新春.再谈椭圆及其标准方程的教学[J].数学通报，2015，2.
项目基金：阜阳师范大学基础教育研究成果培育项目“基于学生核心素养发展的高中数学教学实践研究”（2018JCJY05）
作者简介：姚艳（1979.06-），女，汉族，本科，中学一级教师，研究方向：高中数学教学。
王志刚（1979.11-），男，汉族，博士，教授 研究方向：偏微分方程 。