推理与证明是高中数学中很重要的一部分，特别是证明题，对于大多数同学来说都是一个难点，而不等式的证明又是难点中的难点。不等式的证明有很多方法，其基本方法是适度的放缩。
　　1.无附加条件的不等式证明
　　例1已知a，b，c>0，求证：a2b+b2c+c2a≥a+b+c。
　　分析：由条件a，b，c>0及要证不等式的结构特征知：可以选择基本不等式先证a2b+b≥2a，b2c+c≥2b，c2a+a≥2c，再用同向不等式相加即可。
　　证明：因a，b，c>0，则a2b+b≥2a。
　　同理可得：b2c+c≥2b，c2a+a≥2c。
　　相加得a2b+b2c+c2a+a+b+c≥2a+2b+2c，即a2b+b2c+c2a≥a+b+c。
　　点评：此题是不等式恒成立的证明，无附加条件，证明时要根据结构特点，合理地构造并正确选用基本不等式或其变形式，这也是证明轮换对称结构的不等式（用b换a，a换c，c换b后，代数式不变的式子叫轮换对称式，其特征是a，b，c的地位一样）的常用思路。
　　2.有附加条件的不等式证明
　　例2如果a>b，ab=1，求证：a2+b2≥22（a-b）。
　　分析：注意到不等号左右两边式子的次数特征，因此要向ax+bx≥2ab的方向思考，即实现a2+b2a-b零次化。
　　证明：因a>b，所以a-b>0。又因ab=1，所以a2+b2a-b=（a-b）2+2aba-b=（a-b）+2a-b≥22。
　　所以a2+b2≥22（a-b）（当且仅当a-b=2a-b，即a-b=2时等号成立）。
　　点评：本题在证明过程中通过加减项2ab的方法，配凑成基本不等式的形式。
　　例3已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，求证：1a+1b+1c≥9。
　　分析：这是一道条件不等式的证明题，要充分利用条件a+b+c=1。
　　证明：因a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，所以1a+1b+1c=1a+1b+1c（a+b+c）=3+ba+ab+ca+ac+cb+bc≥3+2+2+2=9。
　　故1a+1b+1c≥9成立，当且仅当a=b=c=13时，等号成立。
　　点评：本题是典型的基本不等式中“1”的妙用题，1a+1b+1c乘以a+b+c，使其变成可以使用基本不等式的形式。
　　总之，运用基本不等式证明不等式分为两种题型：（1）無附加条件的恒成立不等式的证明。其证明思路是观察要证不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式，则要进行拆项、添项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的条件。（2）有附加条件的条件不等式的证明。其证明要点要观察已知条件与要证不等式之间的关系，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形。
　　作者单位：山东省肥城市泰西中学数学篇名师讲座