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数学是一门重要的基础学科,特别是初等数学知识直接来自于自然实践活动,与人们的日常生活及生产实践密切相关。因此,在初中数学的教学过程中,培养学生的多种思维能力,不但是必需的,而且是可能的。“数学变化反映自然物质运动”,中小学数学的部分公式、定理、关系式所表达的意义均可以在直接的自然实践中得到验证。当然,数学知识随着年级的升高,其抽象和综合的程度将越来越高,到了高等数学就有了高度的逻辑思维性,甚至上升到了哲学思维的层次。笔者长期从事初中数学教育,在工作实践中比较注重学生的多种思维和能力的培养。其具体的做法和体会如下:
一、注重数与形的结合
初中学生大脑的发达程度适合承担直观的思维活动,而这种直观思维本身依赖于一些感性的存在物,才能使一般抽象的公式、定理、关系式被接受和理解。考虑到一方面过于初等的自然数学问题,会使求知欲旺盛的初中学生感到乏味而失去对数学进一步探讨的兴趣。另一方面,过于高级的数学形式(如lg2、sinx等),明显带有规定符号意义,不借助数形结合又难以激起他们学习数学的热情,所以应十分注意选设问题和数形结合。比如:在讲勾股定理时,先让学生量不同直角三角形的三边之长,并思考它们之间的关系,自然而然地让学生得出a2+b2=c2的结论(其中a、b为直角边,c为斜边),再让学生量一些任意非直角三角形的边,验证一下是否有这种关系,这样不仅使学生牢固理解并掌握了勾股定理,而且对学生养成理论联系实际的学风大有好处。
二、化抽象为具体是一种重要的思维能力
初等数学中某些数、关系式、符号具有抽象意义,但其规定性也是有其自然实践基础的。这种规定是一种形式上的合理。为此在讲三角函数时,sinx、cosx、tgx等都是规定符号,这种规定的自然实践基础必须向学生讲清楚,在教学中,不能只强调其在题中或者考试中的重要性,而应千方百计地体现出它的实践意义,这样才能从源头上激起学生的兴趣。我首先用一组锐角为30度的大小不等的直角三角形,让学生量出三边之长,再让学生看相应两边之比值有什么规律。学生通过直观的观察很快就得出结论:在直角三角形中,如果有一个锐角为30度,相应两边之比值均为确定的值,其中30度角对边与斜边之比为,30度角的对边与另一直角边之比值为,另一直角边与斜边之比为……这与直角三角形的大小无关。接着讲规定30度角的对边与斜边之比值,记为sin30°=,30度角的对边与另一直角边之比值为,记为tg30°=,最后得出一般性结论:对于任意锐角α,sinα、cosα、tgα、cotα均表示两个正数的比值,将抽象符号数学化,并借助直角坐标系,讲清对于任意锐角α,无论是否是直角三角形的锐角,只要α是一个确定的值,sinα,cosα,tgα,cotα将是一个具体确定的值。这样,即使抽掉了直角三角形这个桥,学生也能理解这些规定符号的意义了。
三、动与静的结合,培养分析与综合能力
即使是初等数学,也不是自然实践中数据变化的一一对应,因此不能机械的、静止的理解数学问题,必须通过动与静的结合,使学生学会分析与综合,才能提高他们解决问题的能力,一次电视教学竞赛中出了这样一道题:
如图l1∥l2,分别有A、B、C三点,其中A、B同在一条直线上,C在另一条直线上运动,那么点C从C1运动到C2所组成的三角形A C1O与三角形BC2O的面积哪个大?
要求10秒钟给出答案,而且在10秒钟内C点在屏幕上不断运动着,这就要求选手对这个动中有静、静中有动的变化作出判断,没有快速的分析与综合能力是不行的。易见AB为定长,△AC1B与△AC2B等积,而△AOB为公共部分,所以S△AC10=S△AC20。这种“动”与“静”的辩证分析与综合,实际体现的是类的规律性,是具有多个个性的自然实践对象的共同数学规律。在教学实践中,要有意识地选用这类题目来激发学生的兴趣,培养他们的观察、分析及综合能力。
四、利用一题多变与一题多解来开拓学生的视野
1、一题多变
例题:AB两地相距180千米,甲骑自行车为15千米/小时的速度,乙骑摩托车以45千米/小时的速度,分别从A、B两地同时出发,相对而行,几小时后二人相遇?
题目中的等量关系是:
甲所走的路程+乙所走的路程=AB两地的路程
解:设经过x小时后二人相遇,则甲走15x千米,乙走45x千米,根据题意得
15x+45x=180
x=3(小时)
解完本题后,教师分别给出了以下5个变式:
变式一:甲先行一小时后乙才出发,问甲走了几小时与乙相遇?
变式二:甲先走30千米后,乙才出发,甲出发后几小时与乙相遇?
变式三:乙先走一小时后,甲才出发,问乙走了几小时与甲相遇?
变式四:将上述问题改为:经过几小时二人相距3千米(分没有相遇相距3千米和相遇后相距3千米两种情形)?
尽管以上这些变式与原题目的主干线均未改变,但它能使学生通过类似练习,举一反三,收到既可强化训练,又能摆脱题海战术,减轻负担的效果。
在几何题目中,如果能交换题设和结论,一般同样可以收到类似的效果。
例:如图,已知:△ABC中,AB=ACO是△ABC内一点,且有OB=OC,AO的延长线交BC于D,求证:AD⊥BC,BD=CD
此题也可以有以下三种变式:
变式一:已知,在△ABC中AB=AC,AD是BC上的高,O是AD上任一点。求证:OB=OC
变式二:已知,AD是△ABC中BC边上的中线,O在AD上,且OB=OC。求证:AB=AC
变式三:已知,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=DC,O是AD上任意一点。求证:OB=OC,AB=AC
进行此类训练,在很大程度上能拓宽学生的思路,收到事半功倍的效果。
2、一题多解
教师在指导学生练习的过程中,不必拘泥于标准答案;相反,要引导鼓励学生尽可能做到一题多解,这对于开发学生智力同样大有好处。
例:两个工厂原计划一个月共生产车床360台,现甲厂完成了计划的112%,乙厂超额10%,两厂共生产车床400台,求两厂各超额生产了多少台?
解法至少有五种:
解法一:设甲厂原计划生产x台,则乙厂原计划生产(360-x)台,依题意可得
12%x+10%(360-x)=400-360
x=200
甲厂超额:12%x=24;乙厂超额:10%(360-x)=16
解法二:设甲厂超额x台,则乙厂超额(400-360-x)台,列方程得
+=360
(解的过程略,以下同)
解法三:设甲厂实际生产x台,则乙厂实际生产(400-x)台,列方程得
+=360
解法四:设甲厂原计划生产x台,乙厂原计划生产y台,依题可得
依上所设,还可以列出以下两个方程组:
,
解法五:设甲厂超额x台,乙厂超额y台,依题意可得
总之,在初中数学教学过程中培养学生的一题多解能力,归根到底就是要帮助学生在今后的学习和生产生活中灵活运用数学思想。数学思想内容很多,如方程思想、数形结合思想、分类讨论思想,有一个逐渐培养和形成的过程,这就需要教师在教学过程中有意识地灌输和训练,而初中教材的习题中就有大量的可供练习的题目,问题的关键在于教师对教材的把握和利用。
例:面积为2的四边形ABCD内接于圆,对角线AC经过圆心,若∠BAD=45°,CD=,求AB的长。
分析:其它三条线与CD并没有直接联系。利用∠BAD=45°,可提出添加辅助线的方法:延长AB、DC相交于E,易知△ADE和△BCE均为等腰Rt△,这就给解题提供了可能。
略解:设BC=x,CE=x,AD=DE=(1+x),AB=AE-x,而AE=2(1+x)
∴AB=2+x
由S△ADC+S△ABC=2可列方程
(1+x)+(2+x)x=2
x=-2
∴AB=2+x=
这个题目在解的过程中就渗透了数形结合思想、方程思想、转化思想,多做些类似的训练,对学生大有裨益。
一、注重数与形的结合
初中学生大脑的发达程度适合承担直观的思维活动,而这种直观思维本身依赖于一些感性的存在物,才能使一般抽象的公式、定理、关系式被接受和理解。考虑到一方面过于初等的自然数学问题,会使求知欲旺盛的初中学生感到乏味而失去对数学进一步探讨的兴趣。另一方面,过于高级的数学形式(如lg2、sinx等),明显带有规定符号意义,不借助数形结合又难以激起他们学习数学的热情,所以应十分注意选设问题和数形结合。比如:在讲勾股定理时,先让学生量不同直角三角形的三边之长,并思考它们之间的关系,自然而然地让学生得出a2+b2=c2的结论(其中a、b为直角边,c为斜边),再让学生量一些任意非直角三角形的边,验证一下是否有这种关系,这样不仅使学生牢固理解并掌握了勾股定理,而且对学生养成理论联系实际的学风大有好处。
二、化抽象为具体是一种重要的思维能力
初等数学中某些数、关系式、符号具有抽象意义,但其规定性也是有其自然实践基础的。这种规定是一种形式上的合理。为此在讲三角函数时,sinx、cosx、tgx等都是规定符号,这种规定的自然实践基础必须向学生讲清楚,在教学中,不能只强调其在题中或者考试中的重要性,而应千方百计地体现出它的实践意义,这样才能从源头上激起学生的兴趣。我首先用一组锐角为30度的大小不等的直角三角形,让学生量出三边之长,再让学生看相应两边之比值有什么规律。学生通过直观的观察很快就得出结论:在直角三角形中,如果有一个锐角为30度,相应两边之比值均为确定的值,其中30度角对边与斜边之比为,30度角的对边与另一直角边之比值为,另一直角边与斜边之比为……这与直角三角形的大小无关。接着讲规定30度角的对边与斜边之比值,记为sin30°=,30度角的对边与另一直角边之比值为,记为tg30°=,最后得出一般性结论:对于任意锐角α,sinα、cosα、tgα、cotα均表示两个正数的比值,将抽象符号数学化,并借助直角坐标系,讲清对于任意锐角α,无论是否是直角三角形的锐角,只要α是一个确定的值,sinα,cosα,tgα,cotα将是一个具体确定的值。这样,即使抽掉了直角三角形这个桥,学生也能理解这些规定符号的意义了。
三、动与静的结合,培养分析与综合能力
即使是初等数学,也不是自然实践中数据变化的一一对应,因此不能机械的、静止的理解数学问题,必须通过动与静的结合,使学生学会分析与综合,才能提高他们解决问题的能力,一次电视教学竞赛中出了这样一道题:
如图l1∥l2,分别有A、B、C三点,其中A、B同在一条直线上,C在另一条直线上运动,那么点C从C1运动到C2所组成的三角形A C1O与三角形BC2O的面积哪个大?
要求10秒钟给出答案,而且在10秒钟内C点在屏幕上不断运动着,这就要求选手对这个动中有静、静中有动的变化作出判断,没有快速的分析与综合能力是不行的。易见AB为定长,△AC1B与△AC2B等积,而△AOB为公共部分,所以S△AC10=S△AC20。这种“动”与“静”的辩证分析与综合,实际体现的是类的规律性,是具有多个个性的自然实践对象的共同数学规律。在教学实践中,要有意识地选用这类题目来激发学生的兴趣,培养他们的观察、分析及综合能力。
四、利用一题多变与一题多解来开拓学生的视野
1、一题多变
例题:AB两地相距180千米,甲骑自行车为15千米/小时的速度,乙骑摩托车以45千米/小时的速度,分别从A、B两地同时出发,相对而行,几小时后二人相遇?
题目中的等量关系是:
甲所走的路程+乙所走的路程=AB两地的路程
解:设经过x小时后二人相遇,则甲走15x千米,乙走45x千米,根据题意得
15x+45x=180
x=3(小时)
解完本题后,教师分别给出了以下5个变式:
变式一:甲先行一小时后乙才出发,问甲走了几小时与乙相遇?
变式二:甲先走30千米后,乙才出发,甲出发后几小时与乙相遇?
变式三:乙先走一小时后,甲才出发,问乙走了几小时与甲相遇?
变式四:将上述问题改为:经过几小时二人相距3千米(分没有相遇相距3千米和相遇后相距3千米两种情形)?
尽管以上这些变式与原题目的主干线均未改变,但它能使学生通过类似练习,举一反三,收到既可强化训练,又能摆脱题海战术,减轻负担的效果。
在几何题目中,如果能交换题设和结论,一般同样可以收到类似的效果。
例:如图,已知:△ABC中,AB=ACO是△ABC内一点,且有OB=OC,AO的延长线交BC于D,求证:AD⊥BC,BD=CD
此题也可以有以下三种变式:
变式一:已知,在△ABC中AB=AC,AD是BC上的高,O是AD上任一点。求证:OB=OC
变式二:已知,AD是△ABC中BC边上的中线,O在AD上,且OB=OC。求证:AB=AC
变式三:已知,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=DC,O是AD上任意一点。求证:OB=OC,AB=AC
进行此类训练,在很大程度上能拓宽学生的思路,收到事半功倍的效果。
2、一题多解
教师在指导学生练习的过程中,不必拘泥于标准答案;相反,要引导鼓励学生尽可能做到一题多解,这对于开发学生智力同样大有好处。
例:两个工厂原计划一个月共生产车床360台,现甲厂完成了计划的112%,乙厂超额10%,两厂共生产车床400台,求两厂各超额生产了多少台?
解法至少有五种:
解法一:设甲厂原计划生产x台,则乙厂原计划生产(360-x)台,依题意可得
12%x+10%(360-x)=400-360
x=200
甲厂超额:12%x=24;乙厂超额:10%(360-x)=16
解法二:设甲厂超额x台,则乙厂超额(400-360-x)台,列方程得
+=360
(解的过程略,以下同)
解法三:设甲厂实际生产x台,则乙厂实际生产(400-x)台,列方程得
+=360
解法四:设甲厂原计划生产x台,乙厂原计划生产y台,依题可得
依上所设,还可以列出以下两个方程组:
,
解法五:设甲厂超额x台,乙厂超额y台,依题意可得
总之,在初中数学教学过程中培养学生的一题多解能力,归根到底就是要帮助学生在今后的学习和生产生活中灵活运用数学思想。数学思想内容很多,如方程思想、数形结合思想、分类讨论思想,有一个逐渐培养和形成的过程,这就需要教师在教学过程中有意识地灌输和训练,而初中教材的习题中就有大量的可供练习的题目,问题的关键在于教师对教材的把握和利用。
例:面积为2的四边形ABCD内接于圆,对角线AC经过圆心,若∠BAD=45°,CD=,求AB的长。
分析:其它三条线与CD并没有直接联系。利用∠BAD=45°,可提出添加辅助线的方法:延长AB、DC相交于E,易知△ADE和△BCE均为等腰Rt△,这就给解题提供了可能。
略解:设BC=x,CE=x,AD=DE=(1+x),AB=AE-x,而AE=2(1+x)
∴AB=2+x
由S△ADC+S△ABC=2可列方程
(1+x)+(2+x)x=2
x=-2
∴AB=2+x=
这个题目在解的过程中就渗透了数形结合思想、方程思想、转化思想,多做些类似的训练,对学生大有裨益。