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摘 要： 艺术和几何学是有着密切的联系的两门学科。本文主要从黎曼几何的中心概念——曲面进行研究，从浅谈黎曼几何、黎曼几何对设计思想的影响、黎曼几何影响下的海报设计三方面进行论述，探索了黎曼几何曲面的粘接与分拆技术在海报设计中的作用，以及其对思维产生的影响，以创造出更好的作品。
关键词： 黎曼几何 模型 思想 视错觉 海报设计
在人们的意识中，数学与艺术的确是完全无关的两个门类，科学依赖于分析，艺术凭借直觉。一个是理性的极致，一个是感性的中心。但事实并不尽然，这两个看似毫无瓜葛的学科其实有着不解之缘。几何的每一次大的进步，都必定会带给设计持久的冲击；而设计家的思维，又会时时影响着几何学家的眼光和注意力。设计者不仅要在自身的进步上下工夫，而且要借鉴周围的相关的学科的发展，有一种开放的态度。我们可以看出，那些在设计史上熠熠生辉的大师，无不抱着这样一种开放求生存求进步的思维模式，才给社会留下那么多的宝贵的精神财富。
一、浅谈黎曼几何
1854年，黎曼为了取得格丁根大学的无薪教职，发表了具有划时代意义的题为《论作为几何学基础的假设》（德文）的演说。人们通常认为这是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，并研究其局部和欧式空间图形之间的联系，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。
黎曼几何在数学和几何史上具有划时代意义：从黎曼开始，人们脱离了在欧式空间中原始的研究曲面的方法，使用了曲面的分类的技巧。分类研究在几何学的研究史上具有划时代的意义：这使得很多难以表达的图形被划归到一类。反过来，人们也可以通过对简单特性进行各种操作（例如最常用的粘接技术），形成众多在欧氏空间中难以实现的几何图形。曲面的粘接技术成为以后几何学研究的一个主要的方法，也有人称之为几何的手术技术。
二、黎曼几何对设计思想的影响
邓宁（Dunning）指出：“19世纪的关于四维空间的概念——作为隐藏在非欧几何之后的未知世界——是这个世纪人类智慧上的一个主要贡献。二十世纪的对弯曲空间和4维空间的持续兴趣永久地改变了艺术的面貌。”人类每天都在用眼睛去看世界万物，但看待同一件事物，由于职业、身份、经历、性别等不同，视觉角度和方法也不一样。所谓视觉方式，就是人们看世界的角度方法，以及所得到的联想。创新是设计的生命，要成就好的作品，首先要学会从长期形成的陈旧视觉习惯中摆脱出来，与时俱进，不断经历视觉方式的革命。科学在进步，社会在发展，黎曼几何思想和技术打开了一个见不到的世界，给平面设计带来了很大的冲击和影响。
黎曼几何的中心概念——曲面的引进，拓宽了人们对于几何形状和空间的认识，使艺术在内容和形式上都得到了拓展。如果说狭义非欧几何是对欧式几何的传统的挑战的话，则带来黎曼几何更多的是一种思想上的改变，它提供了一种构造新图形的思路——曲面的粘接与分拆技术。设计者不再受物体本身形态的局限，拓展了设计的理念，使设计的想象空间更为宽广，创造思路变得更加自由，极大地丰富了艺术的表述空间，设计出了许多具有新意和冲击力的作品。
三、黎曼几何影响下的海报设计
设计的构思是多种多样的，甚至那些看起来疯狂的构思往往更加能够产生意想不到的美感。设计需要创造美的视觉感受，思想上的极大宽容才能真正催化优秀设计的诞生。让我们看看那些包含黎曼曲面的作品，从中可以领悟到它是如何被利用来产生令人惊叹的视错觉和强烈的视觉冲击。
要研究海报设计中的黎曼曲面，我们可以从一幅有趣的图开始。大象究竟有几条腿呢？相信很多人对这幅图（图1）并不陌生。无论观察的人是数大象的腿还是数大象的脚，都不能准确地计算出其数目。是什么让我们产生了一种眼花缭乱的视错觉？这可以在黎曼几何中找到答案。
图 1
1.曲面的粘接
福田繁雄是日本的当代视觉设计大师，他的作品凸显魅力的法宝，便是错视原理的精到掌握和应用。其错视原理的创作方法和理念就是深受黎曼几何中曲面的影响。正如福田繁雄所说：“我的作品，无论是平面的、还是立体作品的创作核心，都是围绕着以视觉感官的问题为前提来进行思考。”他不断对视错觉进行探求，将不可能的空间与事物进行巧妙的组合，营造出一个看似不合理甚至荒谬的视觉世界。
我们可以看到，福田繁雄在图2的海报中用到了的与“大象有几条腿”相同的创作方法——典型的曲面粘接技术：把靠外侧的腿和靠内侧的腿一次曲面的粘接。从几何上讲，就是把两条曲线变成一条曲线。这时，就产生了一个错觉：物体两侧的脚是交叉而立。这个有趣的设计显然是受了黎曼几何思想的影响，把物体想象成一个曲面，然后做了粘接。从几何学上讲，粘接前后得到的是两类不同的曲面，然而，当把粘接缝投影到平面上时，产生了完全不同的视觉效果，带给我们新奇的视觉感受。
图 2
除了同一张曲面的粘接方式，瑞士设计师尼古拉兹·特罗塞雷（Niklaus Troxler）用到了另一种典型的曲面粘接技术——用两个圆柱体进行粘接（图3）。这相当于用两张曲面进行两次粘接：两个相邻的圆柱体相当于两张曲面。并且在粘接方式上也与用前面提到的用位置进行粘接不同，这副海报用了相同颜色进行粘接。相邻圆柱体两端的颜色是一致的。设计者把处于两个不同视角的圆柱体组合到了画面中，再利用颜色的相同，使得立着的柱体和躺着的柱体的两端被粘接到一起。这样一来，就产生了立着的柱体和和卧着柱体之间具有完全相同空间坐标的视错觉。
图 3
2.曲面的分拆
曲面可以粘接，也就可以分拆。如果说曲面粘接给我们带来了神奇的错视觉感受的话，那么曲面拆分则带给观者更多的是新颖的画面组合的惊奇和震撼。在很多的海报中，我们都可以看到设计元素分拆后的重新组合的例子。福田繁雄为“1992年第二届纸艺术作品展”而做的海报，就是受到黎曼几何的曲面分拆影响的典型作品：一个女性的身体，分拆为四个女性的上半身。并将人像与纸上投影完美结合，纸成为人的一部分，人也成为纸的一部分。在给予观者视觉震撼和惊奇感的同时，也很好地表现了人与纸之间密不可分的关系。
把错觉巧妙地运用在视像设计中，可带出视觉空间的趣味性。利用错觉创造新奇感受的手法，被有意或无意地在设计作品中大量使用。这种方式可以更大程度地利用人类的视错觉，产生不同以往的新奇感。
四、结语
设计在几何学的发展中，获得了极大的营养。很多构思新颖的作品，就是在几何学成果的刺激下产生的。黎曼几何给海报设计带来的是思想上的启发，通过曲面的粘接与分拆构造新的曲面，提供了人类视错觉利用的更新的手段，给我们打开了一个见不到的世界，实现了以往在欧式空间（空间是几何学家为了研究方便设计的逻辑模型，在现实世界里面并不存在）中无法实现的效果，对艺术——特别是平面设计——产生了深刻的影响。创作者借助黎曼几何的思想，看到了比以往更广阔的景象，而这些景象在以往是难以被想象或被实现的。这种高屋建瓴般的视野，使得艺术不再受制于人类的眼睛，挣脱了思想上的束缚，使得人类天马行空的想象有了变成现实的可能。
可以说，运用黎曼几何思想中用粘接和分拆构造新的曲面的方法，刺激了新的艺术和创作的手法的出现。拓展了人们对于人类本身所具有的视错觉的认识，设计者开始有意利用它进行新的艺术和设计的创作。因为黎曼几何的影响，设计者创造了给人带来新奇感和美感的图形，创作出了许多具有新意和冲击力的作品。
参考文献：
［1］张磊.平面设计的创意与表现.哈尔滨：黑龙江美术出版社，2001.
［2］伍鸿熙，吕以辇，陈华莲.紧黎曼曲面引论.北京：北京大学出版社，1992.
［3］金伯利·伊拉姆.设计几何学——关于比例与构成的研究.北京：中国水利水电出版，知识产权出版社，2003.
［4］李砚祖.艺术与科学（卷二）.北京：清华大学出版社，2006.
［5］E.H.贡布里希.艺术与错觉——图画再现的心理学研究.湖南：湖南科学技术出版社，2000.
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
关键词： 黎曼几何 模型 思想 视错觉 海报设计
在人们的意识中，数学与艺术的确是完全无关的两个门类，科学依赖于分析，艺术凭借直觉。一个是理性的极致，一个是感性的中心。但事实并不尽然，这两个看似毫无瓜葛的学科其实有着不解之缘。几何的每一次大的进步，都必定会带给设计持久的冲击；而设计家的思维，又会时时影响着几何学家的眼光和注意力。设计者不仅要在自身的进步上下工夫，而且要借鉴周围的相关的学科的发展，有一种开放的态度。我们可以看出，那些在设计史上熠熠生辉的大师，无不抱着这样一种开放求生存求进步的思维模式，才给社会留下那么多的宝贵的精神财富。
一、浅谈黎曼几何
1854年，黎曼为了取得格丁根大学的无薪教职，发表了具有划时代意义的题为《论作为几何学基础的假设》（德文）的演说。人们通常认为这是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，并研究其局部和欧式空间图形之间的联系，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。
黎曼几何在数学和几何史上具有划时代意义：从黎曼开始，人们脱离了在欧式空间中原始的研究曲面的方法，使用了曲面的分类的技巧。分类研究在几何学的研究史上具有划时代的意义：这使得很多难以表达的图形被划归到一类。反过来，人们也可以通过对简单特性进行各种操作（例如最常用的粘接技术），形成众多在欧氏空间中难以实现的几何图形。曲面的粘接技术成为以后几何学研究的一个主要的方法，也有人称之为几何的手术技术。
二、黎曼几何对设计思想的影响
邓宁（Dunning）指出：“19世纪的关于四维空间的概念——作为隐藏在非欧几何之后的未知世界——是这个世纪人类智慧上的一个主要贡献。二十世纪的对弯曲空间和4维空间的持续兴趣永久地改变了艺术的面貌。”人类每天都在用眼睛去看世界万物，但看待同一件事物，由于职业、身份、经历、性别等不同，视觉角度和方法也不一样。所谓视觉方式，就是人们看世界的角度方法，以及所得到的联想。创新是设计的生命，要成就好的作品，首先要学会从长期形成的陈旧视觉习惯中摆脱出来，与时俱进，不断经历视觉方式的革命。科学在进步，社会在发展，黎曼几何思想和技术打开了一个见不到的世界，给平面设计带来了很大的冲击和影响。
黎曼几何的中心概念——曲面的引进，拓宽了人们对于几何形状和空间的认识，使艺术在内容和形式上都得到了拓展。如果说狭义非欧几何是对欧式几何的传统的挑战的话，则带来黎曼几何更多的是一种思想上的改变，它提供了一种构造新图形的思路——曲面的粘接与分拆技术。设计者不再受物体本身形态的局限，拓展了设计的理念，使设计的想象空间更为宽广，创造思路变得更加自由，极大地丰富了艺术的表述空间，设计出了许多具有新意和冲击力的作品。
三、黎曼几何影响下的海报设计
设计的构思是多种多样的，甚至那些看起来疯狂的构思往往更加能够产生意想不到的美感。设计需要创造美的视觉感受，思想上的极大宽容才能真正催化优秀设计的诞生。让我们看看那些包含黎曼曲面的作品，从中可以领悟到它是如何被利用来产生令人惊叹的视错觉和强烈的视觉冲击。
要研究海报设计中的黎曼曲面，我们可以从一幅有趣的图开始。大象究竟有几条腿呢？相信很多人对这幅图（图1）并不陌生。无论观察的人是数大象的腿还是数大象的脚，都不能准确地计算出其数目。是什么让我们产生了一种眼花缭乱的视错觉？这可以在黎曼几何中找到答案。
图 1
1.曲面的粘接
福田繁雄是日本的当代视觉设计大师，他的作品凸显魅力的法宝，便是错视原理的精到掌握和应用。其错视原理的创作方法和理念就是深受黎曼几何中曲面的影响。正如福田繁雄所说：“我的作品，无论是平面的、还是立体作品的创作核心，都是围绕着以视觉感官的问题为前提来进行思考。”他不断对视错觉进行探求，将不可能的空间与事物进行巧妙的组合，营造出一个看似不合理甚至荒谬的视觉世界。
我们可以看到，福田繁雄在图2的海报中用到了的与“大象有几条腿”相同的创作方法——典型的曲面粘接技术：把靠外侧的腿和靠内侧的腿一次曲面的粘接。从几何上讲，就是把两条曲线变成一条曲线。这时，就产生了一个错觉：物体两侧的脚是交叉而立。这个有趣的设计显然是受了黎曼几何思想的影响，把物体想象成一个曲面，然后做了粘接。从几何学上讲，粘接前后得到的是两类不同的曲面，然而，当把粘接缝投影到平面上时，产生了完全不同的视觉效果，带给我们新奇的视觉感受。
图 2
除了同一张曲面的粘接方式，瑞士设计师尼古拉兹·特罗塞雷（Niklaus Troxler）用到了另一种典型的曲面粘接技术——用两个圆柱体进行粘接（图3）。这相当于用两张曲面进行两次粘接：两个相邻的圆柱体相当于两张曲面。并且在粘接方式上也与用前面提到的用位置进行粘接不同，这副海报用了相同颜色进行粘接。相邻圆柱体两端的颜色是一致的。设计者把处于两个不同视角的圆柱体组合到了画面中，再利用颜色的相同，使得立着的柱体和躺着的柱体的两端被粘接到一起。这样一来，就产生了立着的柱体和和卧着柱体之间具有完全相同空间坐标的视错觉。
图 3
2.曲面的分拆
曲面可以粘接，也就可以分拆。如果说曲面粘接给我们带来了神奇的错视觉感受的话，那么曲面拆分则带给观者更多的是新颖的画面组合的惊奇和震撼。在很多的海报中，我们都可以看到设计元素分拆后的重新组合的例子。福田繁雄为“1992年第二届纸艺术作品展”而做的海报，就是受到黎曼几何的曲面分拆影响的典型作品：一个女性的身体，分拆为四个女性的上半身。并将人像与纸上投影完美结合，纸成为人的一部分，人也成为纸的一部分。在给予观者视觉震撼和惊奇感的同时，也很好地表现了人与纸之间密不可分的关系。
把错觉巧妙地运用在视像设计中，可带出视觉空间的趣味性。利用错觉创造新奇感受的手法，被有意或无意地在设计作品中大量使用。这种方式可以更大程度地利用人类的视错觉，产生不同以往的新奇感。
四、结语
设计在几何学的发展中，获得了极大的营养。很多构思新颖的作品，就是在几何学成果的刺激下产生的。黎曼几何给海报设计带来的是思想上的启发，通过曲面的粘接与分拆构造新的曲面，提供了人类视错觉利用的更新的手段，给我们打开了一个见不到的世界，实现了以往在欧式空间（空间是几何学家为了研究方便设计的逻辑模型，在现实世界里面并不存在）中无法实现的效果，对艺术——特别是平面设计——产生了深刻的影响。创作者借助黎曼几何的思想，看到了比以往更广阔的景象，而这些景象在以往是难以被想象或被实现的。这种高屋建瓴般的视野，使得艺术不再受制于人类的眼睛，挣脱了思想上的束缚，使得人类天马行空的想象有了变成现实的可能。
可以说，运用黎曼几何思想中用粘接和分拆构造新的曲面的方法，刺激了新的艺术和创作的手法的出现。拓展了人们对于人类本身所具有的视错觉的认识，设计者开始有意利用它进行新的艺术和设计的创作。因为黎曼几何的影响，设计者创造了给人带来新奇感和美感的图形，创作出了许多具有新意和冲击力的作品。
参考文献：
［1］张磊.平面设计的创意与表现.哈尔滨：黑龙江美术出版社，2001.
［2］伍鸿熙，吕以辇，陈华莲.紧黎曼曲面引论.北京：北京大学出版社，1992.
［3］金伯利·伊拉姆.设计几何学——关于比例与构成的研究.北京：中国水利水电出版，知识产权出版社，2003.
［4］李砚祖.艺术与科学（卷二）.北京：清华大学出版社，2006.
［5］E.H.贡布里希.艺术与错觉——图画再现的心理学研究.湖南：湖南科学技术出版社，2000.
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”