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《3的倍数的特征》是苏教版数学第八册的内容，回顾与学生们共同学习的过程，引发了以下几点思考与大家分享。
思考之一：对接儿童经验，让探究走向实质
“3的倍数的特征”属于数论的范畴，离学生的生活较远。设计本课时，在尊重教材、充分了解学情的基础上，六易其稿，最终确定了这样的教学思路：通过回顾复习2、5的倍数的特征，引导学生运用迁移、猜想，经历“摆100以内3的倍数”“用3颗棋子摆比100大的3的倍数”“任意写一个比100大的数来判断其是否是3的倍数”等探究过程，让学生逐步领悟探究数学问题的一般方法，即“问题—猜想—验证—归纳”。这段珍贵的经历将告诉学生们——怎样学会学习。
反思学生探究的过程，引发了我对这节课更深的思考：如果把探究空间再适当开放，学生们是否已具备了这样的能力？如果将探究特征的过程进一步深入挖掘，教学环节如何设计更合理，是重探究过程还是重思维训练，或两者兼而有之？如此展开教学，教学时间如何科学分配？
“良好的教育就是系统地给学生自己发现事物的机会。”重温教育家波利亚所倡导的数学缄言，让我不禁再次审视本节课探究学习过程的设计，从而有了新的认识。
让学生自主探索并不是放任自流，而是要让学生有一定的探索方向，我们设计的问题要落在学生的“最近发展区”，这样的问题最具探究价值。如果问题太难，学生虽费尽心思，仍毫无头绪，其探究的积极性必将受挫。相反，问题过于简单又会使学生养成懒得动脑的陋习，会泯灭他们求知的欲望，更别说创新了。所以教师要善于动脑，根据“最近发展区理论”采用多种方法创设真实或虚拟的生活情境或设计具有开放性的问题情境，提出一些敞开思路的点拨式问题，注意调动全体学生参与探究的积极性，这样才能使学生的主动性得以充分发挥。
自主探究的主体是学生，教学理当为了学生的发展而存在。忽视了学生认知水平的探究，对学生缺乏共鸣与成功体验，不仅会增加学生负担，还浪费了宝贵的课堂教学时间，更不利于学生的主动发展。实践证明，自主探究是一种重要的学习方式，但培养学生们的探究能力，不是一节或几节研讨课就能完成的，更不能把它看作一种教学的时尚来追求。我将为之继续付出不懈的努力，期盼数学真正与探究同行。
思考之二：捕捉“瞬间”，让课堂动态生成
叶澜教授说：课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的风景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程。
本节课中，我设计了这样一个教学环节，即让学生用3颗棋子摆出一个比100大的3的倍数，最初的预想是希望学生们有的摆，有的没摆，从而可以自然引出下一环节，即不摆棋子，能否找一个比100大的数，想办法知道它是不是3的倍数。在实际教学中，学生都是通过摆一摆得到了一个较大的3的倍数，因为没有及时“抓彩”，我与一次美丽的课堂生成“失之交臂”，一直“耿耿于怀”。课后回想，此时如果能充分利用课堂的生成性资源，必能将师生互动和探索引向纵深。以下是对这一教学片段的重新预设：
师：如果给你3颗棋子，你能创造一个比100大的3的倍数吗？
学生可能的回答：我摆出了3000、102、120、201、210、111、30000。
师：同学们摆出了这么多不同的3的倍数，但它们有什么共同的特点？
学生可能的回答：都用了3颗棋子;102和201只是数位上的数交换了位置……
师：我们发现，102和201、120和210都只是交换了数位上数的位置，也就是什么不变？
由此，自然引导学生得出“每一数位上数的和不变”，进而提出进一步的学习要求：你能不用棋子任意写一个比100大的数，想办法知道它是不是3的倍数吗？
……
事实再一次证明，课堂是充满生命活力的，课堂的价值在于每节课都是不可预设、不可复制的生命历程。开放的课堂给予了学生广阔的思维空间，对于同一个问题，学生可能会结合自己的认知经验，从不同的角度进行思考。教学中要不怕学生出错，不怕学生“添乱”而影响教学预案的实施，教师要在学生的已有认知经验和探索的新知之间建立起更为广泛的联系，既激发学生的思维，又做到让意外殊途同归，真正表现出教师宽容豁达的胸怀。
教学中把学生的回答作为课程的重要资源，通过有效理答，将学生对某些概念模糊、片面或肤浅的理解有意识地进行深度引领，由表及里、举一反三，从而对概念的认识更加准确、全面而深刻，“意外”会成为创造力开发和培养的起点。
思考之三：真诚对话，让情感荡漾课堂
语言是思维的外衣，语言的发展将促进思维的成熟。没有真诚的对话，课堂就如“一潭死水”。对话教学是时代精神在教育领域的回声，是一种真正意义上的精神平等与沟通，是师生交往、积极互动、共同发展的过程，是人性化和创造性的教学。
为了创设丰富的数学课堂，我们要努力营造一个博大的、光明的精神氛围，让学生的心灵荡漾其中。教师要将自己作为平等中的首席融入课堂情境，成为“内在于情境的引导者”。用儿童的话语系统解释数学，说儿童能懂的话，让儿童说自己的话。鼓励学生用自己创造
的方法解释数学，用原汁原味的构思、丰富多彩的图画、独特的视角，展示儿童富有创造性的思维过程。如本节课的导入：
师：请同学们大胆猜测一下，3的倍数有什么特征？
生：看个位。
师：根据2、5的倍数的特征猜想，有根有据。
生：个位是3、6、9的数。
师：你们认为呢？
生1：不对，13、16、19就不是3的倍数。
生2：30、21、18……个位不是3、6、9，它也是3的倍数。
师：也就是说个位上是3、6、9的数，它可能是3的倍数，也可能不是3的倍数。 师：很好，有猜想才会有发现。那还有没有其他猜想？
生：各数位上的数加起来，和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
师：同学们很了不起，成功地踏出了探索数学奥秘的第一步——敢于猜想。猜想是否正确，我们还要选择一定的方法加以验证。
课堂上，师生间民主了、和谐了，才能以对话、包容、平等的关系相处，学生的思维才能活跃、流畅，学生才敢想、敢问、敢说。
在数学课堂教学中，无论是教师还是学生，都是课堂教学文化的创造者，都是课堂教学的课程资源。因此，课堂教学交往实际上是师生共享的过程。同时我们也应清楚，在对话教学中，师生之间、生生之间在认知水平、认知方式等方面是有差异的，正是为了解决在认识上的矛盾与差异，才需要在平等原则的基础上进行对话、协商、讨论与妥协，真正用心去读懂学生，从学生已有的基础出发，使复杂问题简单化，以达到认识上的共享与共识。以下是师生共同探究3的倍数的特征时的对话：
师：老师为同学们准备了一些棋子，请同桌两人在百数表中任意选几个3的倍数，摆一摆、算一算，然后把表格填完整。
师：你摆的是哪些数？分别用了几颗棋子？
生1：我摆的是12和21，用了3颗棋子。
生2：我摆的是15和51，42和24，用了6颗棋子。
生3：我摆的是99，用了18颗棋子。
生4：我摆的是36和63，45和54，用了9颗棋子。
生5：我摆的是48和84，39和93，用了12颗棋子。
师：观察表格，你们发现了什么？
生：棋子的颗数是3的倍数。
师：这会不会是一种巧合呢？其他同学看看你们的表格，是这样吗？很好，这个发现很重要。
生：棋子的颗数是十位和个位加起来的和。
师：举个例子，研究更进一步了。
生：个位和十位交换位置，棋子颗数不变。
师：举个例子。
师：棋子颗数为什么没有变？棋子颗数不变也就说明什么没变？
生：个位和十位加起来的和没变。
师：同学们真了不起，又有了如此重大的发现。
师：如果用5颗、7颗、8颗或10颗，能摆出3的倍数吗？
师：看来，在什么情况下，才能摆出3的倍数？
……
由此可见，只有在真诚的对话中，师生心灵的舒展、思想的灵动，才会使课堂变得深刻而丰富，才能让数学学习散发出充满生命活力的幽微馨香，孕育那一份在学生们心底热爱数学的情怀。
思考之一：对接儿童经验，让探究走向实质
“3的倍数的特征”属于数论的范畴，离学生的生活较远。设计本课时，在尊重教材、充分了解学情的基础上，六易其稿，最终确定了这样的教学思路：通过回顾复习2、5的倍数的特征，引导学生运用迁移、猜想，经历“摆100以内3的倍数”“用3颗棋子摆比100大的3的倍数”“任意写一个比100大的数来判断其是否是3的倍数”等探究过程，让学生逐步领悟探究数学问题的一般方法，即“问题—猜想—验证—归纳”。这段珍贵的经历将告诉学生们——怎样学会学习。
反思学生探究的过程，引发了我对这节课更深的思考：如果把探究空间再适当开放，学生们是否已具备了这样的能力？如果将探究特征的过程进一步深入挖掘，教学环节如何设计更合理，是重探究过程还是重思维训练，或两者兼而有之？如此展开教学，教学时间如何科学分配？
“良好的教育就是系统地给学生自己发现事物的机会。”重温教育家波利亚所倡导的数学缄言，让我不禁再次审视本节课探究学习过程的设计，从而有了新的认识。
让学生自主探索并不是放任自流，而是要让学生有一定的探索方向，我们设计的问题要落在学生的“最近发展区”，这样的问题最具探究价值。如果问题太难，学生虽费尽心思，仍毫无头绪，其探究的积极性必将受挫。相反，问题过于简单又会使学生养成懒得动脑的陋习，会泯灭他们求知的欲望，更别说创新了。所以教师要善于动脑，根据“最近发展区理论”采用多种方法创设真实或虚拟的生活情境或设计具有开放性的问题情境，提出一些敞开思路的点拨式问题，注意调动全体学生参与探究的积极性，这样才能使学生的主动性得以充分发挥。
自主探究的主体是学生，教学理当为了学生的发展而存在。忽视了学生认知水平的探究，对学生缺乏共鸣与成功体验，不仅会增加学生负担，还浪费了宝贵的课堂教学时间，更不利于学生的主动发展。实践证明，自主探究是一种重要的学习方式，但培养学生们的探究能力，不是一节或几节研讨课就能完成的，更不能把它看作一种教学的时尚来追求。我将为之继续付出不懈的努力，期盼数学真正与探究同行。
思考之二：捕捉“瞬间”，让课堂动态生成
叶澜教授说：课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的风景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程。
本节课中，我设计了这样一个教学环节，即让学生用3颗棋子摆出一个比100大的3的倍数，最初的预想是希望学生们有的摆，有的没摆，从而可以自然引出下一环节，即不摆棋子，能否找一个比100大的数，想办法知道它是不是3的倍数。在实际教学中，学生都是通过摆一摆得到了一个较大的3的倍数，因为没有及时“抓彩”，我与一次美丽的课堂生成“失之交臂”，一直“耿耿于怀”。课后回想，此时如果能充分利用课堂的生成性资源，必能将师生互动和探索引向纵深。以下是对这一教学片段的重新预设：
师：如果给你3颗棋子，你能创造一个比100大的3的倍数吗？
学生可能的回答：我摆出了3000、102、120、201、210、111、30000。
师：同学们摆出了这么多不同的3的倍数，但它们有什么共同的特点？
学生可能的回答：都用了3颗棋子;102和201只是数位上的数交换了位置……
师：我们发现，102和201、120和210都只是交换了数位上数的位置，也就是什么不变？
由此，自然引导学生得出“每一数位上数的和不变”，进而提出进一步的学习要求：你能不用棋子任意写一个比100大的数，想办法知道它是不是3的倍数吗？
……
事实再一次证明，课堂是充满生命活力的，课堂的价值在于每节课都是不可预设、不可复制的生命历程。开放的课堂给予了学生广阔的思维空间，对于同一个问题，学生可能会结合自己的认知经验，从不同的角度进行思考。教学中要不怕学生出错，不怕学生“添乱”而影响教学预案的实施，教师要在学生的已有认知经验和探索的新知之间建立起更为广泛的联系，既激发学生的思维，又做到让意外殊途同归，真正表现出教师宽容豁达的胸怀。
教学中把学生的回答作为课程的重要资源，通过有效理答，将学生对某些概念模糊、片面或肤浅的理解有意识地进行深度引领，由表及里、举一反三，从而对概念的认识更加准确、全面而深刻，“意外”会成为创造力开发和培养的起点。
思考之三：真诚对话，让情感荡漾课堂
语言是思维的外衣，语言的发展将促进思维的成熟。没有真诚的对话，课堂就如“一潭死水”。对话教学是时代精神在教育领域的回声，是一种真正意义上的精神平等与沟通，是师生交往、积极互动、共同发展的过程，是人性化和创造性的教学。
为了创设丰富的数学课堂，我们要努力营造一个博大的、光明的精神氛围，让学生的心灵荡漾其中。教师要将自己作为平等中的首席融入课堂情境，成为“内在于情境的引导者”。用儿童的话语系统解释数学，说儿童能懂的话，让儿童说自己的话。鼓励学生用自己创造
的方法解释数学，用原汁原味的构思、丰富多彩的图画、独特的视角，展示儿童富有创造性的思维过程。如本节课的导入：
师：请同学们大胆猜测一下，3的倍数有什么特征？
生：看个位。
师：根据2、5的倍数的特征猜想，有根有据。
生：个位是3、6、9的数。
师：你们认为呢？
生1：不对，13、16、19就不是3的倍数。
生2：30、21、18……个位不是3、6、9，它也是3的倍数。
师：也就是说个位上是3、6、9的数，它可能是3的倍数，也可能不是3的倍数。 师：很好，有猜想才会有发现。那还有没有其他猜想？
生：各数位上的数加起来，和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
师：同学们很了不起，成功地踏出了探索数学奥秘的第一步——敢于猜想。猜想是否正确，我们还要选择一定的方法加以验证。
课堂上，师生间民主了、和谐了，才能以对话、包容、平等的关系相处，学生的思维才能活跃、流畅，学生才敢想、敢问、敢说。
在数学课堂教学中，无论是教师还是学生，都是课堂教学文化的创造者，都是课堂教学的课程资源。因此，课堂教学交往实际上是师生共享的过程。同时我们也应清楚，在对话教学中，师生之间、生生之间在认知水平、认知方式等方面是有差异的，正是为了解决在认识上的矛盾与差异，才需要在平等原则的基础上进行对话、协商、讨论与妥协，真正用心去读懂学生，从学生已有的基础出发，使复杂问题简单化，以达到认识上的共享与共识。以下是师生共同探究3的倍数的特征时的对话：
师：老师为同学们准备了一些棋子，请同桌两人在百数表中任意选几个3的倍数，摆一摆、算一算，然后把表格填完整。
师：你摆的是哪些数？分别用了几颗棋子？
生1：我摆的是12和21，用了3颗棋子。
生2：我摆的是15和51，42和24，用了6颗棋子。
生3：我摆的是99，用了18颗棋子。
生4：我摆的是36和63，45和54，用了9颗棋子。
生5：我摆的是48和84，39和93，用了12颗棋子。
师：观察表格，你们发现了什么？
生：棋子的颗数是3的倍数。
师：这会不会是一种巧合呢？其他同学看看你们的表格，是这样吗？很好，这个发现很重要。
生：棋子的颗数是十位和个位加起来的和。
师：举个例子，研究更进一步了。
生：个位和十位交换位置，棋子颗数不变。
师：举个例子。
师：棋子颗数为什么没有变？棋子颗数不变也就说明什么没变？
生：个位和十位加起来的和没变。
师：同学们真了不起，又有了如此重大的发现。
师：如果用5颗、7颗、8颗或10颗，能摆出3的倍数吗？
师：看来，在什么情况下，才能摆出3的倍数？
……
由此可见，只有在真诚的对话中，师生心灵的舒展、思想的灵动，才会使课堂变得深刻而丰富，才能让数学学习散发出充满生命活力的幽微馨香，孕育那一份在学生们心底热爱数学的情怀。