有这样一道操作题：
　　将6×4（单位：厘米）的小方格矩形纸，沿着格线剪去一个正方形后，剩下来的新图形的周长与这张矩形纸的面积在数值上相等，而且新图形的面积与这张矩形纸的周长在数值上也相等，那么剪去的正方形边长是多少？怎样剪法（试举一例）？
　　分析与解:因为矩形纸的面积是24平方厘米，周长是20厘米，据题意剪剩下来的新图形的周长应是24厘米，面积应是20平方厘米。所以剪去的正方形面积应是（24－20）=4平方厘米，可見这个正方形的边长是2厘米。
　　由图1所示，剪去的正方形不可能剪在矩形纸的角上，因为剪剩下来的新图形的周长没有增加4厘米，所以剪去的2×2的正方形只能在矩形纸的一条边上，如图2与图3所示。经验算，两个图形的面积都是20平方厘米，周长都是24厘米。
　　
　　现在我们把上题改成下面更一般的问题：
　　将m×n（单位：厘米）的小方格矩形纸，沿着格线剪去一个正方形后，剩下来的新图形的周长与这张矩形纸的面积在数值上相等，而且新图形的面积与这张矩形纸的周长在数值上也相等，那么剪去的正方形的边长是多少？这张矩形纸可能有几种规格？试各举一种符合题意的剪法。
　　分析与解:设剪去的正方形的边长是x厘米，根据上题的解法，可以知道剪去的正方形不能剪在矩形纸的角上，只能剪在矩形纸的一条边上。注意到，剪剩下来的新图形（如图4）的面积应是mn-x2，周长应是2m+2n+2x，根据题设条件可得如下两个等式：
　　
　　
　　m+2n+2x=mn①
　　mn-x2=2m+2n ②
　　由①＋②得2m+2n+2x+mn-x2=mn+2m+2n，经整理得2x-x2=0，所以x=2（x=0舍去），这就是说，剪去的正方形边长是2厘米；将x=2代入②式，经整理得mn-2m-2n-4=0，于是（m-2）（n-2）=8③，因为m,n都是正整数，所以由③式及题意可知m-2, n-2也都是正整数，所以有m-2=8, n-2=1或m-2=1, n-2=8或m-2=2, n-2=4，或m-2=4, n-2=2, 由此可以解得：m=10, n=3 或 m=3, n=10或m=4, n=6或 m=6, n=4。这就是说，共有两种规格的小方格矩形纸6×4，10×3。对6×4的剪法，见图2，3。对10×3的剪法，见图5。
　　
　　(作者单位:331508江西省永丰县瑶田中学)
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”