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《射线、直线和角》是苏教版数学四年级上册第八单元“平行和垂线”第一课时的教学内容，在二年级时，学生已初步认识了线段和角。本课是在此基础上，认识射线、直线，并再次认识角。阅读教材，很容易发现这堂课的内容不仅抽象性强，而且知识点多、杂且零散，老师们往往会上得碎而乱，也容易演变成左一题右一题地刷题与“捞分”。但“分数”不能代表一切，到底怎样才能帮助学生清晰地建立图形的概念呢？关于图形的教学，我始终认为关键有两点：一是图形的特征和关系，包括图形各要素之间的关系、图形与图形之间的关系；二是图形的价值，图形在整个学科体系中的价值与地位，以及图形的生活应用等。这样一梳理，我围绕“特征”和“价值”这两个大问题，从整体上架构全课，让“特征”与“关系”的教学完美结合，引领学生真实地去触摸数学的肌肤与灵魂，真切感悟图形的本质特征。下面就几个教学片段与大家分享。
教学片段一：“神器”激趣，尽情想象中感悟射线的特征
师：今天老师给大家带来了一个“神器”（激光测距仪）。瞧，从“神器”这个发射点发出的光线射到了哪儿？
生齐：屏幕上。（屏幕上有光点）
师：其实在发射点与屏幕上的光点之间是有一条光线的，老师想个办法让大家看见。（老师喷水雾）
生（惊喜地喊）：看到了，看到了！
师：我们把发射点到屏幕上的光点之间的光线画下来。（板书：■）这是什么图形？
生：这是一条线段。
师：能说说线段的特点吗？
生：线段是直直的，有两个端点。（师顺势板书：直的、两个端点）
师：我们既然把这个叫作“神器”，那么一定有它的神奇之处。请两个同学上来，我们一起来做游戏。
（生1站老师对面，生2站老师身边）
师：（教师摁“神器”）从发射点到对面同学身上的光点之间的这条线段有多长呢？我们再摁一下“神器”，“神器”就显示出结果，（对着生2）来读给大家听一听。
生2：2.016米。
师对生1说：你退后几步。
（再次测量后）生2：3.265米。
师：再大胆地退后。
（再次测量后）生2：5.866米。
师：大家发现随着他的退后，这条线段越来──
生齐：越来越长。
师：虽然线段越来越长，但我们都能测量它的长度，所以我们说线段是有限长的。（板书：有限长）
师：再往后退。（生1一直退到了墙边）
生3：7.813米。
师：还能往后退吗？（生1为难）那这样，请你把门打开，（师把光线射向门外）现在看到射到哪儿了吗？
学生几乎都站起来侧身努力地寻找后：看不到。
师：那就让我们一起闭上眼睛，随着老师的语言尽情地想象。如果我手中的“神器”有无穷的能量，射出的光线没有任何物体阻挡，一直射向无穷远的地方，这是一条什么样的光线呢？
（学生闭着眼睛尽情地想象）
师：睁开眼睛。我们脑海中的这条光线还能用线段表示吗？
生：不能，因为线段是有两个端点的，而这条光线可以直直地射向无穷无尽的地方。
师：那是一条什么样的线呢？大家在学习单上把它画下来。
（生独立画后相互分享）
生1：这条光线从这个发射点开始，直直地射向找不到头的地方。
■
生2：这条光线从这个发射点开始，直直地射向无穷远的地方，连这张纸都装不下这条光线。
■
……
师：我们听到了一些关键的词，说这条光线是──
生：直直的，而且还射向无穷远的地方。
师：大家脑海中的光线都是这样的吗？知道吗？像这样的光线我们就可以看作射线。（板书上：射线）
师：射线是怎样的图形呢？
（屏幕动画音响同步演示：把线段的一端无限延长就得到了一条射线）
师：来吧，说说射线的特征吧。
……
[思考]对于射线的认识，要引导学生经历由具体实例抽象出几何图形的过程，但是要在现实生活中找到射线相应的实体模型，还真是不易。无论是手电筒光线，还是夜幕中霓虹灯的灯光，如果没有学生的想象，就很难理解“无限长”这一本质特征。怎么才能更好地帮助学生理解“无限长”的数学意义呢？课堂上，教师通过让一个学生不断地后退，改变发出光线的长度，生动地演绎了“线段一端延长”的过程，然后巧妙地“打开门”，让光线射向无穷远的地方，于是“线段的一端无限延长”的历程成功演绎，实现了从有限到无限的突破。学生在教师语言的引导下，想象插上了翅膀：这条光线从这个发射点开始，直直地射向找不到头的地方；这条光线从这个发射点开始，直直地射向无穷远的地方，连这张纸都装不下这条光线……此时此刻，射线的特征已经在学生的脑海中动态呈现，尽管“无限长”是个非常抽象的概念，但在学生的脑海里却已烙下清晰的表象。这样的过程，这样的学习经历，不仅能帮助学生借助生活中的具体实例理解抽象的数学概念，感受数学抽象的一般过程，也有利于学生体会数学与现实世界的密切联系，激发学生的学习兴趣。
教学片段二：理性思考，科学探索中体会研究方法
师：我们学习线段、射线和直线有什么价值呢？让我们一起来体会。
■
师：我们通常用大写的字母表示平面上的点。连接A、B两点的三条线中，哪一条最短？
生1：中间那条红色的线最短。因为蓝色的那条折来折去的，绿色的那条是弯的，都走了很多弯路。
生2：另外两条不是直的线，我感觉如果把它们拉直，一定比红色的线长。
师：嗯，但数学结论的得出不能仅凭“感觉”，我们要用科学的方法去证实。老师事先量出了原图上这两条线的长度（出示数据），大家量一量中间那条线的长度吧。 ■
生：红色线长30毫米。
师：通过测量，我们发现哪一条最短？
生：确实是中间这条红色的线最短。
师：那拿出笔来，在图上再画出一条连接A、B两点、比红色线更短的线。
（生开始在图上琢磨，并忍不住小声议论起来）
师：有什么问题吗？
生1：画不出来了，红色的这条线已经最短了。
生2：再画一条最短的线，就跟线段AB重合了。
生3：我觉得在连接A、B两点的线中，这条线段是最短的了！（全班掌声）
师：体会到线段的价值了吗？
生：我知道了，如果从A走到B，走线段最近。
师：是的。所以，我们把连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离。A、B两点间的距离是多少？
生：30毫米。
师：还记得这节课开始时的“神器”吗？我们测量出的发射点与远方光点之间线段的长，其实就是发射点与光点之间的──
生齐：距离。
师：所以，这个“神器”有个大名，叫作激光测距仪。
……
[思考]“两点间距离”的教学，老师们往往是直接告之，而我改变了教材的呈现方式，从“价值”出发，让学生经历研究的过程，懂得得出一个数学结论的科学研究方法，从而培养学生的学科思维方式，并让学生真切感受数学抽象的精神、数学理性的精神！首先，是对于“哪一条最短”这一问题的处理，以往的教学可能只停留在“观察”与“感觉”的层面上。一个结论的得出确实可能始于“感觉”，但“感觉”不能成为最终得出结论的依据，“感觉”正确与否需要科学地加以证明。课堂上，教师引导学生去测量、去验证，正是想让学生经历这一“证明”的过程。通过测量，学生得出：在连接A、B的三条线中，确实是线段AB最短。但是老师并没就此罢手，而是即时提出：再画出一条连接A、B两点的更短的线。学生在操作与思考中发现：在所有的连线中，线段最短。显然，这一结论的得出，无论是学生的认识与体会，还是方法与经验的积累，都是那么丰厚。正是因为“最短”，我们才把“连接两点的线段的长度叫作两点间的距离”，也为以后学习“直线外一点到直线的距离”埋下伏笔。
教学片段三：数形结合，价值体会中凸显直线的本质特征
师：生活中，我们用眼睛去找一条直线还真不容易。谁能试试看。
生1：直尺的一条边是直线。
生2：我不同意，这不是直线，虽然是一条直的线，但它是线段，因为它有两个端点，长度是有限的。
（大家表示赞同生2的说法）
生3：日光灯的灯管，灯亮的时候可以看成一条直线，因为我们可以想象那灯光可以往两边无限延长。
师：听懂了他的意思吗？他的意思是，灯管本身应该看成一条──
生齐：线段。
师：但通过想象，如果两端的灯光无限地延长，那么可以把这光线看成──
生齐：直线。
生4：我发现我们看到的表示灯管的这条线段，其实就是我们想象的这条直线上的一部分。（全场掌声）
师：看来要用眼睛去看到一条直线还真不容易。那直线的价值我们也可以在问题研究中体会。
■
师：我们可以用直线上的点来表示数。“4”应该在哪？
生：在“3”后面的那个点上。
师：10呢？
生：10已经跑到屏幕外面去了，但还在这条直线上。
师：在这条直线上能找到100吗？1000呢？10000呢？
生连续地、自信地喊着：能！
师：在这条直线上，能找到最大的数吗？
生：找不到，因为你找到了一个很大的数，但是直线还可以画下去，那就又有了更大的数，所以找不到最大的数。
生：不能。因为直线是无限长的，所以数也是无限大的，找不到最大的数。
师：说得真好！我们找了0右边的数，发现0右边的数都比0──
生：都比0大，而且离0越远就越大。
师：猜猜在0左边会是些什么样的数呢？会有多少个数呢？
生：0左边一定是比0小的数，应该也有无数个，因为直线是无限长的。
……
[思考]这一内容看似是从让学生找生活中的直线开始的，其实质是通过实际背景的应用，加深对线段、直线概念的理解和深化，尤其是学生对于“线段是直线上的一部分”的感受，恰到好处，让它们彼此间“关系”的教学天衣无缝。接着又用数形结合的策略，引领学生感受直线的价值，加深了学生对“直线是无限长”这一本质的深度理解，更是增强了本课的数学思考价值。直线上的每一个点都对应着一个数，学生已经认识了数有无数个，数可以无限大，将数和形完美结合，引导学生用数的无限大来理解直线的无限长，在理解数的基础上体会直线的存在价值。学生在触摸数学的肌肤与灵魂、感受数学本质的同时，又把今天所学的新知成功地纳入到了原有的认知系统中。学生体会到：看似毫不相关的知识之间竟然也存在如此亲密的关系！在认知结构得以进一步完善的同时，学生真实地感受了数学知识本身的亲和魅力。
教学片段四：寻根究底，数学史的介入理清图形间的关系
师：经过一点可以画多少条直线？
生：无数条，因为稍稍动一下方向就能画出一条不同的直线。
师：那请大家经过这直线上的一点，再画一条不同方向的直线。
（学生画）
师：老师选了几个有代表性的作品：
■
师：大家仔细看图，从图中你还看到了什么？
生：角。
师：是的，为了研究两条直线的位置关系，人们想到了研究角。大家看：
■ 师：关于“角”，我们以前就认识过，请大家自学课本第78页的例2，看看你又会有哪些新的收获。
（学生自学后自主介绍角的相关知识）
……
[思考]“从一点引出两条射线所组成的图形叫作角”，要想理解教材上这句描述性的语言，对学生来说并不难，学生完全可以通过自学完成学习目标。但是研究“角”的意义呢？“角”与射线、直线之间的关系呢？“角”在整个学科体系中的价值与地位呢？在“平行线和垂线”这个单元中，为何安排角的知识的学习呢？在认识射线、直线这一课中，为什么还要安排学生认识角呢？教材是最重要的活动资源和进行教学活动的主要依据，但教材往往省略了一些概念的诞生细节，而深刻理解教材的编写意图，看到教材背后的一些东西，可能正是数学最本质的东西。对于这一系列问题的深入思考，让我豁然开朗：经过一点的两条不同直线，有着无数种位置关系；为了表示它们不同的位置关系，人们想到了研究“角”；当其中一个角确定了，两条直线的位置关系也就确定了。寻找数学史，人类研究“角”的初衷不也正是要研究两条直线之间的位置关系吗？于是，从“画一画”开始，到数学史的介入，再到最后的自学课本，为学生开辟了一条新的深度学习的路径，学生既理解了数学的诸多缘由，体会到“角”的价值所在，同时也理清了图形之间千丝万缕的关系。
[课后分享]课堂是有生命的，是儿童成长的场所，一堂数学课是儿童生命的一次美妙拔节。那么，面对天真烂漫的儿童和“抽象”“严密”的数学，课堂上怎样才能更好地促进儿童积极生长呢？我一直主张“亲和数学亲和学”，那怎么在这堂课上让学生感受到数学本身的亲和呢？怎么才能让学生在“亲和学”的过程中感受数学的本质呢？有了对这些问题的思考，也就有了这堂课，让我对于课堂教学有了一些更深的感受，与大家分享。
（1）智慧有大、小之分。庄子在《齐物篇》里说：“大智闲闲，小智间间。大言炎炎，小言澹澹。” 数学课上，教师可以充分发挥自身的能动性与创造性，理性而深刻地把握教学内容，可以向前追溯这一内容的生活经验与知识经验有哪些，向后思索这一内容的数学意义是什么，在学科体系中的地位、价值如何，蕴含了怎样的数学思想方法，体现了怎样的数学精神等。只有这样，教学才能触及数学的肌肤与灵魂；只有这样，数学知识才不是一个个孤立的、冷酷的“个体”，儿童才能在这种自然、和谐中感受到数学本身的“亲和”。
（2）儿童自有儿童的哲学，教师要有一颗懂得儿童的心，要用热爱、真诚、细腻去听出儿童“叽叽喳喳”的精彩与美妙。数学是抽象而严密的，因此拥有童心的数学教师才能站在儿童的立场，努力地使数学具有儿童特质，教学时注重儿童化的改造，把成人世界里抽象严密的数学知识改造成儿童世界里所能理解的对象，对儿童的数学学习进行理性气质的塑造。
（3）数学不是一种超然的知识与技能的客观存在，而是人类主体不断参与的探究结果。数学学习，自然也就不是接受“权威者”的既定知识，而是自主建构的过程。数学课上，儿童作为一个有血有肉、有情有智的完整的人投入数学学习，从而获得作为人的全面发展，而不仅仅是习得数学的知识与技能。这就提醒我们教师要关注学习自由──思考的自由、表达的自由、操作的自由、精神的自由等。只有拥有了真正的自由，数学学习才会如呼吸一般自然而亲和，学生才会在获得数学知识与数学技能的同时，拥有良好的数学气质与创造能力，实现充分而自由的成长。
我想，只有这样的数学课堂才是我主张的“亲和”的数学课堂，是师生生命拔节的课堂。
教学片段一：“神器”激趣，尽情想象中感悟射线的特征
师：今天老师给大家带来了一个“神器”（激光测距仪）。瞧，从“神器”这个发射点发出的光线射到了哪儿？
生齐：屏幕上。（屏幕上有光点）
师：其实在发射点与屏幕上的光点之间是有一条光线的，老师想个办法让大家看见。（老师喷水雾）
生（惊喜地喊）：看到了，看到了！
师：我们把发射点到屏幕上的光点之间的光线画下来。（板书：■）这是什么图形？
生：这是一条线段。
师：能说说线段的特点吗？
生：线段是直直的，有两个端点。（师顺势板书：直的、两个端点）
师：我们既然把这个叫作“神器”，那么一定有它的神奇之处。请两个同学上来，我们一起来做游戏。
（生1站老师对面，生2站老师身边）
师：（教师摁“神器”）从发射点到对面同学身上的光点之间的这条线段有多长呢？我们再摁一下“神器”，“神器”就显示出结果，（对着生2）来读给大家听一听。
生2：2.016米。
师对生1说：你退后几步。
（再次测量后）生2：3.265米。
师：再大胆地退后。
（再次测量后）生2：5.866米。
师：大家发现随着他的退后，这条线段越来──
生齐：越来越长。
师：虽然线段越来越长，但我们都能测量它的长度，所以我们说线段是有限长的。（板书：有限长）
师：再往后退。（生1一直退到了墙边）
生3：7.813米。
师：还能往后退吗？（生1为难）那这样，请你把门打开，（师把光线射向门外）现在看到射到哪儿了吗？
学生几乎都站起来侧身努力地寻找后：看不到。
师：那就让我们一起闭上眼睛，随着老师的语言尽情地想象。如果我手中的“神器”有无穷的能量，射出的光线没有任何物体阻挡，一直射向无穷远的地方，这是一条什么样的光线呢？
（学生闭着眼睛尽情地想象）
师：睁开眼睛。我们脑海中的这条光线还能用线段表示吗？
生：不能，因为线段是有两个端点的，而这条光线可以直直地射向无穷无尽的地方。
师：那是一条什么样的线呢？大家在学习单上把它画下来。
（生独立画后相互分享）
生1：这条光线从这个发射点开始，直直地射向找不到头的地方。
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生2：这条光线从这个发射点开始，直直地射向无穷远的地方，连这张纸都装不下这条光线。
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……
师：我们听到了一些关键的词，说这条光线是──
生：直直的，而且还射向无穷远的地方。
师：大家脑海中的光线都是这样的吗？知道吗？像这样的光线我们就可以看作射线。（板书上：射线）
师：射线是怎样的图形呢？
（屏幕动画音响同步演示：把线段的一端无限延长就得到了一条射线）
师：来吧，说说射线的特征吧。
……
[思考]对于射线的认识，要引导学生经历由具体实例抽象出几何图形的过程，但是要在现实生活中找到射线相应的实体模型，还真是不易。无论是手电筒光线，还是夜幕中霓虹灯的灯光，如果没有学生的想象，就很难理解“无限长”这一本质特征。怎么才能更好地帮助学生理解“无限长”的数学意义呢？课堂上，教师通过让一个学生不断地后退，改变发出光线的长度，生动地演绎了“线段一端延长”的过程，然后巧妙地“打开门”，让光线射向无穷远的地方，于是“线段的一端无限延长”的历程成功演绎，实现了从有限到无限的突破。学生在教师语言的引导下，想象插上了翅膀：这条光线从这个发射点开始，直直地射向找不到头的地方；这条光线从这个发射点开始，直直地射向无穷远的地方，连这张纸都装不下这条光线……此时此刻，射线的特征已经在学生的脑海中动态呈现，尽管“无限长”是个非常抽象的概念，但在学生的脑海里却已烙下清晰的表象。这样的过程，这样的学习经历，不仅能帮助学生借助生活中的具体实例理解抽象的数学概念，感受数学抽象的一般过程，也有利于学生体会数学与现实世界的密切联系，激发学生的学习兴趣。
教学片段二：理性思考，科学探索中体会研究方法
师：我们学习线段、射线和直线有什么价值呢？让我们一起来体会。
■
师：我们通常用大写的字母表示平面上的点。连接A、B两点的三条线中，哪一条最短？
生1：中间那条红色的线最短。因为蓝色的那条折来折去的，绿色的那条是弯的，都走了很多弯路。
生2：另外两条不是直的线，我感觉如果把它们拉直，一定比红色的线长。
师：嗯，但数学结论的得出不能仅凭“感觉”，我们要用科学的方法去证实。老师事先量出了原图上这两条线的长度（出示数据），大家量一量中间那条线的长度吧。 ■
生：红色线长30毫米。
师：通过测量，我们发现哪一条最短？
生：确实是中间这条红色的线最短。
师：那拿出笔来，在图上再画出一条连接A、B两点、比红色线更短的线。
（生开始在图上琢磨，并忍不住小声议论起来）
师：有什么问题吗？
生1：画不出来了，红色的这条线已经最短了。
生2：再画一条最短的线，就跟线段AB重合了。
生3：我觉得在连接A、B两点的线中，这条线段是最短的了！（全班掌声）
师：体会到线段的价值了吗？
生：我知道了，如果从A走到B，走线段最近。
师：是的。所以，我们把连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离。A、B两点间的距离是多少？
生：30毫米。
师：还记得这节课开始时的“神器”吗？我们测量出的发射点与远方光点之间线段的长，其实就是发射点与光点之间的──
生齐：距离。
师：所以，这个“神器”有个大名，叫作激光测距仪。
……
[思考]“两点间距离”的教学，老师们往往是直接告之，而我改变了教材的呈现方式，从“价值”出发，让学生经历研究的过程，懂得得出一个数学结论的科学研究方法，从而培养学生的学科思维方式，并让学生真切感受数学抽象的精神、数学理性的精神！首先，是对于“哪一条最短”这一问题的处理，以往的教学可能只停留在“观察”与“感觉”的层面上。一个结论的得出确实可能始于“感觉”，但“感觉”不能成为最终得出结论的依据，“感觉”正确与否需要科学地加以证明。课堂上，教师引导学生去测量、去验证，正是想让学生经历这一“证明”的过程。通过测量，学生得出：在连接A、B的三条线中，确实是线段AB最短。但是老师并没就此罢手，而是即时提出：再画出一条连接A、B两点的更短的线。学生在操作与思考中发现：在所有的连线中，线段最短。显然，这一结论的得出，无论是学生的认识与体会，还是方法与经验的积累，都是那么丰厚。正是因为“最短”，我们才把“连接两点的线段的长度叫作两点间的距离”，也为以后学习“直线外一点到直线的距离”埋下伏笔。
教学片段三：数形结合，价值体会中凸显直线的本质特征
师：生活中，我们用眼睛去找一条直线还真不容易。谁能试试看。
生1：直尺的一条边是直线。
生2：我不同意，这不是直线，虽然是一条直的线，但它是线段，因为它有两个端点，长度是有限的。
（大家表示赞同生2的说法）
生3：日光灯的灯管，灯亮的时候可以看成一条直线，因为我们可以想象那灯光可以往两边无限延长。
师：听懂了他的意思吗？他的意思是，灯管本身应该看成一条──
生齐：线段。
师：但通过想象，如果两端的灯光无限地延长，那么可以把这光线看成──
生齐：直线。
生4：我发现我们看到的表示灯管的这条线段，其实就是我们想象的这条直线上的一部分。（全场掌声）
师：看来要用眼睛去看到一条直线还真不容易。那直线的价值我们也可以在问题研究中体会。
■
师：我们可以用直线上的点来表示数。“4”应该在哪？
生：在“3”后面的那个点上。
师：10呢？
生：10已经跑到屏幕外面去了，但还在这条直线上。
师：在这条直线上能找到100吗？1000呢？10000呢？
生连续地、自信地喊着：能！
师：在这条直线上，能找到最大的数吗？
生：找不到，因为你找到了一个很大的数，但是直线还可以画下去，那就又有了更大的数，所以找不到最大的数。
生：不能。因为直线是无限长的，所以数也是无限大的，找不到最大的数。
师：说得真好！我们找了0右边的数，发现0右边的数都比0──
生：都比0大，而且离0越远就越大。
师：猜猜在0左边会是些什么样的数呢？会有多少个数呢？
生：0左边一定是比0小的数，应该也有无数个，因为直线是无限长的。
……
[思考]这一内容看似是从让学生找生活中的直线开始的，其实质是通过实际背景的应用，加深对线段、直线概念的理解和深化，尤其是学生对于“线段是直线上的一部分”的感受，恰到好处，让它们彼此间“关系”的教学天衣无缝。接着又用数形结合的策略，引领学生感受直线的价值，加深了学生对“直线是无限长”这一本质的深度理解，更是增强了本课的数学思考价值。直线上的每一个点都对应着一个数，学生已经认识了数有无数个，数可以无限大，将数和形完美结合，引导学生用数的无限大来理解直线的无限长，在理解数的基础上体会直线的存在价值。学生在触摸数学的肌肤与灵魂、感受数学本质的同时，又把今天所学的新知成功地纳入到了原有的认知系统中。学生体会到：看似毫不相关的知识之间竟然也存在如此亲密的关系！在认知结构得以进一步完善的同时，学生真实地感受了数学知识本身的亲和魅力。
教学片段四：寻根究底，数学史的介入理清图形间的关系
师：经过一点可以画多少条直线？
生：无数条，因为稍稍动一下方向就能画出一条不同的直线。
师：那请大家经过这直线上的一点，再画一条不同方向的直线。
（学生画）
师：老师选了几个有代表性的作品：
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师：大家仔细看图，从图中你还看到了什么？
生：角。
师：是的，为了研究两条直线的位置关系，人们想到了研究角。大家看：
■ 师：关于“角”，我们以前就认识过，请大家自学课本第78页的例2，看看你又会有哪些新的收获。
（学生自学后自主介绍角的相关知识）
……
[思考]“从一点引出两条射线所组成的图形叫作角”，要想理解教材上这句描述性的语言，对学生来说并不难，学生完全可以通过自学完成学习目标。但是研究“角”的意义呢？“角”与射线、直线之间的关系呢？“角”在整个学科体系中的价值与地位呢？在“平行线和垂线”这个单元中，为何安排角的知识的学习呢？在认识射线、直线这一课中，为什么还要安排学生认识角呢？教材是最重要的活动资源和进行教学活动的主要依据，但教材往往省略了一些概念的诞生细节，而深刻理解教材的编写意图，看到教材背后的一些东西，可能正是数学最本质的东西。对于这一系列问题的深入思考，让我豁然开朗：经过一点的两条不同直线，有着无数种位置关系；为了表示它们不同的位置关系，人们想到了研究“角”；当其中一个角确定了，两条直线的位置关系也就确定了。寻找数学史，人类研究“角”的初衷不也正是要研究两条直线之间的位置关系吗？于是，从“画一画”开始，到数学史的介入，再到最后的自学课本，为学生开辟了一条新的深度学习的路径，学生既理解了数学的诸多缘由，体会到“角”的价值所在，同时也理清了图形之间千丝万缕的关系。
[课后分享]课堂是有生命的，是儿童成长的场所，一堂数学课是儿童生命的一次美妙拔节。那么，面对天真烂漫的儿童和“抽象”“严密”的数学，课堂上怎样才能更好地促进儿童积极生长呢？我一直主张“亲和数学亲和学”，那怎么在这堂课上让学生感受到数学本身的亲和呢？怎么才能让学生在“亲和学”的过程中感受数学的本质呢？有了对这些问题的思考，也就有了这堂课，让我对于课堂教学有了一些更深的感受，与大家分享。
（1）智慧有大、小之分。庄子在《齐物篇》里说：“大智闲闲，小智间间。大言炎炎，小言澹澹。” 数学课上，教师可以充分发挥自身的能动性与创造性，理性而深刻地把握教学内容，可以向前追溯这一内容的生活经验与知识经验有哪些，向后思索这一内容的数学意义是什么，在学科体系中的地位、价值如何，蕴含了怎样的数学思想方法，体现了怎样的数学精神等。只有这样，教学才能触及数学的肌肤与灵魂；只有这样，数学知识才不是一个个孤立的、冷酷的“个体”，儿童才能在这种自然、和谐中感受到数学本身的“亲和”。
（2）儿童自有儿童的哲学，教师要有一颗懂得儿童的心，要用热爱、真诚、细腻去听出儿童“叽叽喳喳”的精彩与美妙。数学是抽象而严密的，因此拥有童心的数学教师才能站在儿童的立场，努力地使数学具有儿童特质，教学时注重儿童化的改造，把成人世界里抽象严密的数学知识改造成儿童世界里所能理解的对象，对儿童的数学学习进行理性气质的塑造。
（3）数学不是一种超然的知识与技能的客观存在，而是人类主体不断参与的探究结果。数学学习，自然也就不是接受“权威者”的既定知识，而是自主建构的过程。数学课上，儿童作为一个有血有肉、有情有智的完整的人投入数学学习，从而获得作为人的全面发展，而不仅仅是习得数学的知识与技能。这就提醒我们教师要关注学习自由──思考的自由、表达的自由、操作的自由、精神的自由等。只有拥有了真正的自由，数学学习才会如呼吸一般自然而亲和，学生才会在获得数学知识与数学技能的同时，拥有良好的数学气质与创造能力，实现充分而自由的成长。
我想，只有这样的数学课堂才是我主张的“亲和”的数学课堂，是师生生命拔节的课堂。