在初中阶段，最短路径问题一直是中考的一个热点问题，但纵观历年来全国各地的中考题，我们会发现这类问题不管怎么变，我们几乎都能从课本当中找到原型：“马喝水”问题和“造桥”问题（新人教版2013版教材P85课题学习最短路径问题）。如果教师在执教的过程中，能够帮助学生从最短问题中提炼出这类问题的基本模型，教会学生解决这类问题的基本方法，以不变应万变，那么对于此类题目，学生解决起来定会游刃有。
　　一、“马喝水”问题
　　例1如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？
　　图1 图2
　　分析：这道实际问题可以转化为：当点P在l的什么位置时，AP与PB的和最小。故只要过点B作直线l的对称点B′，线段AB′与直线l的交点P即为所求。
　　变式1：如图3，圆柱形玻璃杯高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm.
　　本题实质就是“马喝水”问题的简单引申，要注意的是，“马喝水”问题是平面几何问题，而本题是立体几何问题，故本题先要将立体几何问题转化为平面几何问题：如图4，将圆柱沿点A所在的母线展开，则线段MN相当于“马喝水”问题中的“河边l”，蚂蚁A和蜜蜂C相当于“马喝水”问题中的A地和B地，则最短距离即为线段A′C的长.
　　其中A′M=AM=4，A′H=12，HC=9，由勾股定理可知A′C=15，即最短距离为15cm.
　　图3 图4
　　图5
　　变式2：如图5，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2。过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点E。点P为BD上一个动点（可与短点B、D重合）。连接PA、PE、PC、AC。记△ABP的周长为S，△PDE的周长为T，求（S+T）的最小值.
　　因为S和T分别表示三角形的周长，所以S=AB+BP+AP，T=PD+DE+PE，故S+T=AB+BP+AP+PD+DE+PE=2AB+BD+AP+PE=4+23+AP+PE，本要求（S+T）的最小值，
　　实质即求AP+PE的最小值，从而本题又转化为
　　“马喝水”问题。线段BD相当于“马喝水”问
　　题中的“河边l”，点A和点E相当于“马喝水”问题中的A地和B地，此时，点A的对称点为点C，则动点P与点D重合，则AP+PE的最小值即为线段CE的长4，故S+T的最小值为8+23.
　　二、“造桥”问题
　　例2如图6：A和B两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
　　图6 图7
　　分析：本题可以转化为：已知a∥b，M、N为直线a、b上的两个动点，且MN垂直于直线b于N，交直线a于点M。当N在直线b的何处时，AM+MN+NB最小？要求AM+MN+NB最小，因为MN为定值，所以即求AM+NB最小。则本题可转化为“马喝水”问题，如图7，过点A作AA′∥M′N′且AA′=M′N′，连接A′B交直线b于点N，过点N作MN⊥b交直线a于b，则MN即为所求.
　　小结：“造桥”问题实质是“马喝水”问题的提升，其基本特点是：①两个定点两个动点，且两动点间的距离为定值（即其中一个动点的位置确定时，另一动点的位置也随之）；②两条定直线；③在定直线上有一动点，使定点与两动点的距离之和最短。
　　变式：如图8，在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线经过矩形ABCO的顶点B、C，直线AF与y轴交于E点，交抛物线于点F（6，-3）.
　　（1）求该抛物线解析式；
　　（2）如图9，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动。过点P作PH⊥OA，垂足为H。设点P的运动时间为t秒。问EP+PH+HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由。
　　图8 图9 图10
　　分析：（1）由条件，A（4，0），C（0，3），我们可以求出抛物线的解析式y=-12x2+2x+3；
　　（2）因为点E、F为定点，且PH为定值，故求EP+PH+HF的最值问题，实质上就是“造桥问题”。
　　如图10，即在OE上截取EG=PH，连接GF交OA于点H，过点H作PH⊥OA交BC于点P。
　　因为AF：y=-32x+6，所以E（0，6），由EG=PH=3，知G（0，3），即G、C两点重合。
　　此时CF：y=-x+3，则H（3，0），P（3，3），所以t=3。
　　作者单位：江苏省如东县实验中学