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【摘要】数学课堂中错误是不可避免的，应该尊重学习错误，通过对错误的有效利用来改进学习方法。本文讨论了如何利用错误改进学习方法，并分析了利用错误改进学习方法带来的效果。
【关键词】错误；数学教学；分析错误；辩论
一、引言
在数学课堂上，学生每天都会出错，有时候一道题目讲了好多遍，学生依旧听不懂，或者在课堂上听懂了，但作业中又出现错误。而有的教师只片面追求教学计划的完成，对学生的错误轻描淡写，错误不能及时解决导致了教学质量不高的结果。新课标中指出，数学教学活动中的错误，是指出现在教师的“教”和学生的“学”的各个方面的，违反教学结论或者数学方法的现象。教师应该用发展的眼光来看待错误，引导学生在认识错误、分析错误、反思错误、纠正错误的过程中，全面提升其发现意识、创新思维、反思能力等方面的素质。
二、利用学习错误改进数学教学方法的策略
1、善待并顺应错误
在中学数学的教学实践中，许多教师往往将更多的精力放在如何向学生传授正确的结论上，而对学生解题中出现的解题错误重视不够。事实上，在解题中所出现的犯错误的过程正是学生学习知识过程的一个重要环节，只有让学生明白为什么会出现错误，才能使其更好地吸收知识。因此，教师应转变以往惧怕学生出现错误的心态，首先，应善待学生在教学过程中出现的错误，当学生出现解题错误时，教师不应生气，更无需急于找出正确答案，而是给学生充分表达其想法的空间，尊重学生的思维成果，维护他们的自信，从而为学生创造一个自由、轻松的教学环境；其次，有些教师由于知识、能力及观念上的不足，有时候会在课堂教学中暴露出一些弱点，出现一些错误，这时候教师也应该勇于示错，并通过纠错的过程启发学生在错误中思考的能力。
2、分析并反省错误
在数学教学中，不应害怕学生出错，而应引导他们分析错误，将错误和探索结合起来，在错误总结中学习知识。事实上，在对学生数学学习中常出现的错误进行分析后就会发现，大部分学生出错的原因无非就是对题目的理解存在偏差、思考问题不全面到位、看待问题角度方式有误，因此在数学课堂教学中，教师应抓住这些错误引发的原因，有针对地引导学生去探索问题所在，在教会学生解题的同时，提高其思维能力和辨析能力，引导学生在错误中反思和领悟。
数学教学中学生出现错误并解决错误的过程是一个动态前进的过程，是一个从肯定到否定，再到否定之否定的辩证过程。首先学生会出现错误，这时教师应积极帮助学生制造一个引发其内心观念冲突的教学环境，让他们去有效地领悟错误，并从不同视角进行自我总结和反省，最终在反思中提升学生的思维能力和解题能力。
3、制造并验证错误
在数学课堂教学中不仅不应企图去完全规避错误，甚至还应该在某些特定情境下制造一些错误，有意识地让学生们进行专门的试误活动。这样通过制造错误的教学方式，不但可以充分反映出学生在解题思维上存在的症结所在，以帮助教师有针对地进行教学，同时还有利于帮助学生发现和认识自身的错误和出错原因，从而降低他们的出错率，提升他们的思维能力。
造成学生出错的原因是多方面的，同时在一个错解中，也常常有合理的部分存在，有时候出错仅仅是因为学生在对一些概念、命题、新旧知识间的符号的联系上出现编码错误而导致的。因此，教师在教学中应肯定学生的错解中存在的合理部分，并对这些合理的部分加以分析，研究出错原因及错解与正解之间的联系，最终引导学生进行错误验证，加深学生对正确解答的理解。
（案例1） 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，a=3，b=4，试问c的值是多少？
学生1：由于题目中未告诉△ABC是否是直角三角形，因此勾股定理对于此题不适用。
教师：如果题目中指定了△ABC是直角三角形，那么c的值应该是多少？
全班学生包括学生1在内：c的值是5。
学生2：当c是斜边时，c的值是5，当b是斜边时，c的值是 。
学生3：∠C是锐角， c＜5。
学生4：由于三角形边长是正数，0＜c＜5。
学生5：依据三角形边的关系，1＜c＜7，因此c的取值范围是1＜c＜5和1＜c＜7的交集。
可见此时全班同学都被引入了老师设好的“陷阱”，他们只是把目光聚集在∠C是锐角上，而没有考虑∠A和∠B的情况。
老师：注意当c=5时，△ABC为直角三角形， 在1＜c＜5之内。
学生6：当∠C是锐角时，1＜c＜5，当∠B是锐角时，∠A也是锐角， ＜c＜5，取其公共解 ＜c＜5。
在这道题目的解答中，学生先走入老师设定好的错误中，又在提示下走出错误，有助于学生发现意识和反思意识的培养。
1、讨论并辩论错误
真理在被发现之前，往往伴随着这样那样的错误出现，错误是达到真理的必经环节，错误是不可避免的。因此在数学教学中，当学生出现错误时，教师不应急于为学生纠正错误，而是应该因势利导，把错误当成教学素材，为学生营造一个互相交流、互相辩论的自主学习氛围，让课堂变得更加生动精彩，让学生在辩论中主动寻找解题方法。
（案例2） 在中学数学教学中，关于“平行四边形是否是轴对称图形”是一个常见的教学难点。将学生分成正反两方进行辩论，正方认为不是轴对称图形，反方则认为是。
正方1：轴对称图形经过对折后可完全重合，可见平行四边形不是轴对称图形。
反方1：将平行四边形进行两次对折，得到完全重合的结果。
正方1：只能经过一次对折。
反方2：将平行四边形沿对角线剪开可得到重合的两个三角形。
正方2：概念中说的是对折，而不是剪开。
老师启发得出最终结論，矩形、正方形、菱形这些特殊的平行四边形是轴对称图形。
三、教学效果
1、有助于对学生发现意识的培养
学生知识的缺乏和能力的不足都会导致其在数学课堂教学中出现错误，在具体教学中应从学生的错误当中发现其知识和能力上的欠缺之处，有意识地利用错误来提升学生的素质。有效地利用错误，对学生发现意识的培养有着积极的作用。发现错误到解决错误的过程，可以给学生营造一个自主探索问题的氛围，学生可以在这个氛围下发现自身问题，并解决问题。
2、有助于对学生创新思维的培养
通过错误学习是一个辩证的过程。事物转折之处往往是错误的高发之处，而学生遇到错误的机会，是其超越自身已有的经验的机会，也是其知识结构螺旋上升的过程。因此，善于利用错误，引导学生在错误中思考学习，有助于对他们创新思维能力的培养。
3、有助于对学生反思能力的培养
数学课堂教学中，学生每天都会出现这样那样的错误，单纯通过正面示范或者反复练习无法完全纠正并规避学生的错误。正确对待错误的方法应该是，引导学生进行自我否定和自我反省，激发学生内在的观念冲突，促使学生对其思维进行批判性的再次周密思考，而在这一过程中，学生的反思能力也得以提高。总之，正确对待并利用错误，对学生的数学学习乃至学生成长都是有很大益处的。
【关键词】错误；数学教学；分析错误；辩论
一、引言
在数学课堂上，学生每天都会出错，有时候一道题目讲了好多遍，学生依旧听不懂，或者在课堂上听懂了，但作业中又出现错误。而有的教师只片面追求教学计划的完成，对学生的错误轻描淡写，错误不能及时解决导致了教学质量不高的结果。新课标中指出，数学教学活动中的错误，是指出现在教师的“教”和学生的“学”的各个方面的，违反教学结论或者数学方法的现象。教师应该用发展的眼光来看待错误，引导学生在认识错误、分析错误、反思错误、纠正错误的过程中，全面提升其发现意识、创新思维、反思能力等方面的素质。
二、利用学习错误改进数学教学方法的策略
1、善待并顺应错误
在中学数学的教学实践中，许多教师往往将更多的精力放在如何向学生传授正确的结论上，而对学生解题中出现的解题错误重视不够。事实上，在解题中所出现的犯错误的过程正是学生学习知识过程的一个重要环节，只有让学生明白为什么会出现错误，才能使其更好地吸收知识。因此，教师应转变以往惧怕学生出现错误的心态，首先，应善待学生在教学过程中出现的错误，当学生出现解题错误时，教师不应生气，更无需急于找出正确答案，而是给学生充分表达其想法的空间，尊重学生的思维成果，维护他们的自信，从而为学生创造一个自由、轻松的教学环境；其次，有些教师由于知识、能力及观念上的不足，有时候会在课堂教学中暴露出一些弱点，出现一些错误，这时候教师也应该勇于示错，并通过纠错的过程启发学生在错误中思考的能力。
2、分析并反省错误
在数学教学中，不应害怕学生出错，而应引导他们分析错误，将错误和探索结合起来，在错误总结中学习知识。事实上，在对学生数学学习中常出现的错误进行分析后就会发现，大部分学生出错的原因无非就是对题目的理解存在偏差、思考问题不全面到位、看待问题角度方式有误，因此在数学课堂教学中，教师应抓住这些错误引发的原因，有针对地引导学生去探索问题所在，在教会学生解题的同时，提高其思维能力和辨析能力，引导学生在错误中反思和领悟。
数学教学中学生出现错误并解决错误的过程是一个动态前进的过程，是一个从肯定到否定，再到否定之否定的辩证过程。首先学生会出现错误，这时教师应积极帮助学生制造一个引发其内心观念冲突的教学环境，让他们去有效地领悟错误，并从不同视角进行自我总结和反省，最终在反思中提升学生的思维能力和解题能力。
3、制造并验证错误
在数学课堂教学中不仅不应企图去完全规避错误，甚至还应该在某些特定情境下制造一些错误，有意识地让学生们进行专门的试误活动。这样通过制造错误的教学方式，不但可以充分反映出学生在解题思维上存在的症结所在，以帮助教师有针对地进行教学，同时还有利于帮助学生发现和认识自身的错误和出错原因，从而降低他们的出错率，提升他们的思维能力。
造成学生出错的原因是多方面的，同时在一个错解中，也常常有合理的部分存在，有时候出错仅仅是因为学生在对一些概念、命题、新旧知识间的符号的联系上出现编码错误而导致的。因此，教师在教学中应肯定学生的错解中存在的合理部分，并对这些合理的部分加以分析，研究出错原因及错解与正解之间的联系，最终引导学生进行错误验证，加深学生对正确解答的理解。
（案例1） 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，a=3，b=4，试问c的值是多少？
学生1：由于题目中未告诉△ABC是否是直角三角形，因此勾股定理对于此题不适用。
教师：如果题目中指定了△ABC是直角三角形，那么c的值应该是多少？
全班学生包括学生1在内：c的值是5。
学生2：当c是斜边时，c的值是5，当b是斜边时，c的值是 。
学生3：∠C是锐角， c＜5。
学生4：由于三角形边长是正数，0＜c＜5。
学生5：依据三角形边的关系，1＜c＜7，因此c的取值范围是1＜c＜5和1＜c＜7的交集。
可见此时全班同学都被引入了老师设好的“陷阱”，他们只是把目光聚集在∠C是锐角上，而没有考虑∠A和∠B的情况。
老师：注意当c=5时，△ABC为直角三角形， 在1＜c＜5之内。
学生6：当∠C是锐角时，1＜c＜5，当∠B是锐角时，∠A也是锐角， ＜c＜5，取其公共解 ＜c＜5。
在这道题目的解答中，学生先走入老师设定好的错误中，又在提示下走出错误，有助于学生发现意识和反思意识的培养。
1、讨论并辩论错误
真理在被发现之前，往往伴随着这样那样的错误出现，错误是达到真理的必经环节，错误是不可避免的。因此在数学教学中，当学生出现错误时，教师不应急于为学生纠正错误，而是应该因势利导，把错误当成教学素材，为学生营造一个互相交流、互相辩论的自主学习氛围，让课堂变得更加生动精彩，让学生在辩论中主动寻找解题方法。
（案例2） 在中学数学教学中，关于“平行四边形是否是轴对称图形”是一个常见的教学难点。将学生分成正反两方进行辩论，正方认为不是轴对称图形，反方则认为是。
正方1：轴对称图形经过对折后可完全重合，可见平行四边形不是轴对称图形。
反方1：将平行四边形进行两次对折，得到完全重合的结果。
正方1：只能经过一次对折。
反方2：将平行四边形沿对角线剪开可得到重合的两个三角形。
正方2：概念中说的是对折，而不是剪开。
老师启发得出最终结論，矩形、正方形、菱形这些特殊的平行四边形是轴对称图形。
三、教学效果
1、有助于对学生发现意识的培养
学生知识的缺乏和能力的不足都会导致其在数学课堂教学中出现错误，在具体教学中应从学生的错误当中发现其知识和能力上的欠缺之处，有意识地利用错误来提升学生的素质。有效地利用错误，对学生发现意识的培养有着积极的作用。发现错误到解决错误的过程，可以给学生营造一个自主探索问题的氛围，学生可以在这个氛围下发现自身问题，并解决问题。
2、有助于对学生创新思维的培养
通过错误学习是一个辩证的过程。事物转折之处往往是错误的高发之处，而学生遇到错误的机会，是其超越自身已有的经验的机会，也是其知识结构螺旋上升的过程。因此，善于利用错误，引导学生在错误中思考学习，有助于对他们创新思维能力的培养。
3、有助于对学生反思能力的培养
数学课堂教学中，学生每天都会出现这样那样的错误，单纯通过正面示范或者反复练习无法完全纠正并规避学生的错误。正确对待错误的方法应该是，引导学生进行自我否定和自我反省，激发学生内在的观念冲突，促使学生对其思维进行批判性的再次周密思考，而在这一过程中，学生的反思能力也得以提高。总之，正确对待并利用错误，对学生的数学学习乃至学生成长都是有很大益处的。