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【摘要】在财经和管理学科中，计算公式是比较常见的根据其定义规则而形成的精炼准确的表达式，但大多只有结论，没有严格的推导过程。本文运用企业理财理论和高等数学知识重点就固定股利增长率股票价值和经营杠杆、财务杠杆和总杠杆系数等两组公式进行推导，并总结出一定的规律，以期有利于进一步加深学习者对计算公式的认知和把握。
【关键词】企业理财；计算公式；推导过程
财经和管理学科中的计算公式很多，这些计算公式往往是在设定某些假定的前提下根据其定义规则建立一定的数学模型，然后进行严格推演而形成的精练准确的表达式。显然，计算公式的严格推导在这类学科的学习中具有极其重要的意义，然而笔者多年在高校从事企业理财学科教学过程中，就目前所见的几本有较大影响的有关公司财务或财务管理的教材和专著，如全国CPA考试辅导教材《财务成本管理》、厦门大学余绪缨主编的《企业理财学》等教材，其中对固定股利增长率股票价值的计算，财务杠杆系数，经营杠杆系数，总杠杆系数的计算，均是只有结论，而没有严格的推导过程，在教学过程中不利于学生对计算公式的深刻认知和全面把握。因此，笔者不揣浅陋运用有关数学和企业财务管理方面的知识将以上几个计算公式进行严格推导，从而加深学习者对这几个计算公式的理解和掌握。
1 固定股利增长率股票价值的计算公式的推导过程
1.1 股票价值计算的基本模式。
即无论是股东永远持有股票，还是不打算永远持有股票，其股票股价的基本模型均可由下式来表示：
股票价值V(或P)＝D1（1+Rs）+D2（1+Rs）2+……Dn（1+Rs）n……=Σ∞t=1Dt（1+Rs）t
（其中Dt为第t年的股利，Rs为折现率，一般采用资本成本率或投资者的必要报酬率，t为折现期数）
1.2 固定成长股票价值计算：
假定股票股利每年较上一年固定增长比率为g，则Dt＝Do(1+g)t（其中Do 为基年的股利）
∴固定成长股票的价值V＝Σ∞t=1Dt（1+Rs）t=Σ∞t=1D0（1+g）t（1+Rs）t
=Σ∞t=1（1+g）t-1（1+Rs）?D0（1+g）（1+Rs）
=D0（1+g）（1+Rs）?limn→∞Σ∞t=1（1+g-Rs1+Rs）t-1
=D0（1+g）（1+Rs）?limn→∞Σ∞t=1（1+g-Rs1+Rs）n-1g-Rs1+Rs
=D0（1+g）（1+Rs）?1+Rsg-Rslimn→∞［（1+g-Rs1+Rs）n-1］=A
设limn→∞［（1+g-Rs1+Rs）n-1］=B，以下进行讨论：
①当（1+g-Rs1+Rs）＞1时，即g-Rs＞0，g＞Rs时，B值趋于+∞，A式无极限
②当（1+g-Rs1+Rs）=1时，即g-Rs=0，g=Rs时，B虽有极限，但A式无意义
③当（1+g-Rs1+Rs）＜1时，即g-Rs＜0，g＜Rs，此时，B=-1
∴A式=D0（1+g）1+Rs?1+Rsg-Rs?（-1）=D0（1+g）Rs-g
综上所述，当g为常数并且仅当Rs＞g时，固定成长股股票的价值计算公式可简化为V＝D0（1+g）Rs-g=D1Rs-g
例如，青山旅游公司报酬率为10%，年增长率为12%，D0＝1.5元，则青山旅游公司股票的内在价值V＝D0（1+g）Rs-g=1.5×（1+12%）20%-12%
2 经营杠杆、财务杠杆、总杠杆系数等计算公式的推导
2.1 经营杠杆系数计算公式的推导。
由于固定成本在销售收入中的比重大小对企业风险具有重要影响，在某一固定成本比重的作用下，销售量变动对息税前利润产生的作用被称为经营杠杆，经营杠杆具有放大企业风险的作用。
2.1.1 经营杠杆系数的含义：它是企业息税前盈余变动率与销售额变动率之间的比率。即DOL＝△EBITEBIT÷△
2.1.2 推导过程。
假定企业销售量由Q变动到Q1，即：并假定企业的成本——销量——利润保持线性关系，可变成本在销售收入中所占的比例不变，固定成本也保持稳定， DOL便可通过销售量（额）和成本来表示。
则△=1-
则DOL=1（P－V）－F－［（P－V）－F］（P－V）－F÷1－
=（P－V）（P－V）－F=EBIT+FEBIT=CMCM－F
即DOLq=（P－V）（P－V）－F=EBIT+FEBIT=CMCM－F
同理可证DOLs=S－VCS－VC－F
（其中△EBIT为息税前盈余变动额，EBIT为变动前息前税前盈余，P为产品单位销售价格，V为产品单位变动成本，F为总固定成本，CM为贡献毛益，S为销售额，VC为变动成本总额）
2.2 财务杠杆系数计算公式的推导。
通常情况下，财务杠杆作用的大小用财务杠杆系数来表示，系数越大，财务杠杆作用越大，其财务风险也越大。
2.2.1 财务杠杆系数的含义：它是企业普通股每股收益变动率与息税前盈余变动率之间的比率。
即DFL＝△EPSEPS÷△EBITEBIT
2.2.2 推导过程。
为方便计算公式推导，首先假定企业无优先股股利d1－T，无租赁费L；并假定企业所得税率为T，利息费用为I，息税前盈余变动比率为R，普通股股份数为N。则
DFL＝△EPSEPS?△EBITEBIT
=［EBIT?（1+R）－I］N－（EBIT－I）?（1－T）N（EBIT－I）?（1－T）N?EBITEBIT?R=EBIT?R?（1－T）N（EBIT－I）?（1－T）N?EBITEBIT?R=EBITEBIT－I （其中△EPS为普通股每股收益变动额，EPS为变动前的普通股每股收益）
若考虑优先股股利及租赁费：
则DFL=EBITEBIT－I－L－d1－T
2.3 总杠杆系数计算公式的推导。
总杠杆作用是经营杠杆和财务杠杆两种杠杆连锁（共同）作用的结果，它使得普通股每股收益的变动幅度大于销售量（额）的变动幅度，其作用程度的大小通过总杠杆系数来反映。
2.3.1 总杠杆系数的含义：总杠杆系数是指企业销售量，在原有水平上有一个波动时企业普通股每股收益的波动程度。即：
△EPSEPS÷△=△EBIT△?EBIT?△EPS△EBIT?EBITEPS=DOL?DFL
2.3.2 推导过程。
①根据定义推导
∵DTL＝△EPSEPS÷△，
∴DTL＝［1（P－V）－F－I］?（1－T）－［（P－V）－F－I］?（1－T）N［（P－V）－F－I］?（1－T）N÷1－=（1－）?（P－V）（P－V）－F－I?1－
=（P－V）（P－V）－F－I=S－VCS－VC－F－I
②根据已知公式推导
∵DTL＝△EPSEPS÷△=DOL?DFL又∵DOL＝EBIT+FEBIT
DFL=EBITEBIT－I∴DTLEBIT+FEBIT?EBITEBIT－I=EBIT+FEBIT－I
=（P－V）（P－V）－F－I=S－VCS－VC－F－I
3 结论
3.1 上述两组公式具有内在的逻辑联系。
如果更进一步研究，我们会发现这两组公式存在着内在的逻辑联系，在一定的条件下，经营杠杆、财务杠杆影响着总杠杆的大小，从而影响权益净利率并进而影响股票的价值，这方面的影响可通过杜邦分析公式：权益净利率=销售净利率×资产周转率×权益乘数，上市公司股利政策等以窥一斑。当然企业权力（组织）结构不同，最终的影响效果也大不一样。
一般而言，公司制企业（即现代企业）产生后，其所有权与经营权相分离，公司由股东大会、董事会和经理人三者组成的一种组织结构即公司治理结构支配的管理人员进行治理。企业的决策管理权不再集中于某一方，而是由几方共同分享，实行授权与受权范围内的分权式管理模式。这种分权不仅仅停留在股东大会、董事会和经理人三者之间，在其内部同样也会出现由集权管理到分权管理的趋势。如下图1和图2所示，从“经营者”理财角度来看两种典型的权力平衡机制及其内在关系。
从以上图示可知，无论是CFO与CSO和CPO并列式，还是CFO与COO并列式，CFO都直接或间接与CSO和CPO发生关系，在企业权力结构体系中处于十分重要的地位，将会产生极其重要的作用。它们一端撬动经营杠杆，一端撬动财务杠杆，进而共同作用影响总杠杆，对每股收益造成影响，并最终影响CEO的管理目标：追求股票价值最大化、股东权益最大化。因此，两组计算公式具有内在的紧密联系。
3.2 计算公式推导有基本规律可循。
从前面两组计算公式推导的过程中我们可以发现，计算公式的推导无外乎以下几条线索。一是建立数学模型，利用高等数学知识进行严格推演，推演时要特别注意讨论使公式计算有意义的条件。二是利用其定义严格推导公式。三是利用已知的计算公式、计算公式之间的关系或将已知的计算公式适当变形而进行推导。通过对计算公式的严格推导，可以让学生对计算公式进一步加深印象，并且能够帮助学生正确地使用计算公式。
参考文献
［1］ （美）威廉?L.麦金森著，刘明辉主译，公司财务理论.第1版［M］，东北财经大学出版社、培生教育出版集团，2002.6
［2］ 邢天才，王玉霞，证券投资学.第2版［M］，东北财经大学出版社，2007.10
［3］ 吴晓求，证券投资学.第3版［M］，中国人民大学出版社，2009.2
［4］ 余绪缨，企业理财学.第3版［M］，辽宁人民出版社，2009.4
［5］ 郭复初，王庆成，财务管理学.第3版［M］，高等教育出版社，2009.8
［6］ CPA考委办编，财务成本管理.第1版［M］，中国财政经济出版社，2011.3
【关键词】企业理财；计算公式；推导过程
财经和管理学科中的计算公式很多，这些计算公式往往是在设定某些假定的前提下根据其定义规则建立一定的数学模型，然后进行严格推演而形成的精练准确的表达式。显然，计算公式的严格推导在这类学科的学习中具有极其重要的意义，然而笔者多年在高校从事企业理财学科教学过程中，就目前所见的几本有较大影响的有关公司财务或财务管理的教材和专著，如全国CPA考试辅导教材《财务成本管理》、厦门大学余绪缨主编的《企业理财学》等教材，其中对固定股利增长率股票价值的计算，财务杠杆系数，经营杠杆系数，总杠杆系数的计算，均是只有结论，而没有严格的推导过程，在教学过程中不利于学生对计算公式的深刻认知和全面把握。因此，笔者不揣浅陋运用有关数学和企业财务管理方面的知识将以上几个计算公式进行严格推导，从而加深学习者对这几个计算公式的理解和掌握。
1 固定股利增长率股票价值的计算公式的推导过程
1.1 股票价值计算的基本模式。
即无论是股东永远持有股票，还是不打算永远持有股票，其股票股价的基本模型均可由下式来表示：
股票价值V(或P)＝D1（1+Rs）+D2（1+Rs）2+……Dn（1+Rs）n……=Σ∞t=1Dt（1+Rs）t
（其中Dt为第t年的股利，Rs为折现率，一般采用资本成本率或投资者的必要报酬率，t为折现期数）
1.2 固定成长股票价值计算：
假定股票股利每年较上一年固定增长比率为g，则Dt＝Do(1+g)t（其中Do 为基年的股利）
∴固定成长股票的价值V＝Σ∞t=1Dt（1+Rs）t=Σ∞t=1D0（1+g）t（1+Rs）t
=Σ∞t=1（1+g）t-1（1+Rs）?D0（1+g）（1+Rs）
=D0（1+g）（1+Rs）?limn→∞Σ∞t=1（1+g-Rs1+Rs）t-1
=D0（1+g）（1+Rs）?limn→∞Σ∞t=1（1+g-Rs1+Rs）n-1g-Rs1+Rs
=D0（1+g）（1+Rs）?1+Rsg-Rslimn→∞［（1+g-Rs1+Rs）n-1］=A
设limn→∞［（1+g-Rs1+Rs）n-1］=B，以下进行讨论：
①当（1+g-Rs1+Rs）＞1时，即g-Rs＞0，g＞Rs时，B值趋于+∞，A式无极限
②当（1+g-Rs1+Rs）=1时，即g-Rs=0，g=Rs时，B虽有极限，但A式无意义
③当（1+g-Rs1+Rs）＜1时，即g-Rs＜0，g＜Rs，此时，B=-1
∴A式=D0（1+g）1+Rs?1+Rsg-Rs?（-1）=D0（1+g）Rs-g
综上所述，当g为常数并且仅当Rs＞g时，固定成长股股票的价值计算公式可简化为V＝D0（1+g）Rs-g=D1Rs-g
例如，青山旅游公司报酬率为10%，年增长率为12%，D0＝1.5元，则青山旅游公司股票的内在价值V＝D0（1+g）Rs-g=1.5×（1+12%）20%-12%
2 经营杠杆、财务杠杆、总杠杆系数等计算公式的推导
2.1 经营杠杆系数计算公式的推导。
由于固定成本在销售收入中的比重大小对企业风险具有重要影响，在某一固定成本比重的作用下，销售量变动对息税前利润产生的作用被称为经营杠杆，经营杠杆具有放大企业风险的作用。
2.1.1 经营杠杆系数的含义：它是企业息税前盈余变动率与销售额变动率之间的比率。即DOL＝△EBITEBIT÷△
2.1.2 推导过程。
假定企业销售量由Q变动到Q1，即：并假定企业的成本——销量——利润保持线性关系，可变成本在销售收入中所占的比例不变，固定成本也保持稳定， DOL便可通过销售量（额）和成本来表示。
则△=1-
则DOL=1（P－V）－F－［（P－V）－F］（P－V）－F÷1－
=（P－V）（P－V）－F=EBIT+FEBIT=CMCM－F
即DOLq=（P－V）（P－V）－F=EBIT+FEBIT=CMCM－F
同理可证DOLs=S－VCS－VC－F
（其中△EBIT为息税前盈余变动额，EBIT为变动前息前税前盈余，P为产品单位销售价格，V为产品单位变动成本，F为总固定成本，CM为贡献毛益，S为销售额，VC为变动成本总额）
2.2 财务杠杆系数计算公式的推导。
通常情况下，财务杠杆作用的大小用财务杠杆系数来表示，系数越大，财务杠杆作用越大，其财务风险也越大。
2.2.1 财务杠杆系数的含义：它是企业普通股每股收益变动率与息税前盈余变动率之间的比率。
即DFL＝△EPSEPS÷△EBITEBIT
2.2.2 推导过程。
为方便计算公式推导，首先假定企业无优先股股利d1－T，无租赁费L；并假定企业所得税率为T，利息费用为I，息税前盈余变动比率为R，普通股股份数为N。则
DFL＝△EPSEPS?△EBITEBIT
=［EBIT?（1+R）－I］N－（EBIT－I）?（1－T）N（EBIT－I）?（1－T）N?EBITEBIT?R=EBIT?R?（1－T）N（EBIT－I）?（1－T）N?EBITEBIT?R=EBITEBIT－I （其中△EPS为普通股每股收益变动额，EPS为变动前的普通股每股收益）
若考虑优先股股利及租赁费：
则DFL=EBITEBIT－I－L－d1－T
2.3 总杠杆系数计算公式的推导。
总杠杆作用是经营杠杆和财务杠杆两种杠杆连锁（共同）作用的结果，它使得普通股每股收益的变动幅度大于销售量（额）的变动幅度，其作用程度的大小通过总杠杆系数来反映。
2.3.1 总杠杆系数的含义：总杠杆系数是指企业销售量，在原有水平上有一个波动时企业普通股每股收益的波动程度。即：
△EPSEPS÷△=△EBIT△?EBIT?△EPS△EBIT?EBITEPS=DOL?DFL
2.3.2 推导过程。
①根据定义推导
∵DTL＝△EPSEPS÷△，
∴DTL＝［1（P－V）－F－I］?（1－T）－［（P－V）－F－I］?（1－T）N［（P－V）－F－I］?（1－T）N÷1－=（1－）?（P－V）（P－V）－F－I?1－
=（P－V）（P－V）－F－I=S－VCS－VC－F－I
②根据已知公式推导
∵DTL＝△EPSEPS÷△=DOL?DFL又∵DOL＝EBIT+FEBIT
DFL=EBITEBIT－I∴DTLEBIT+FEBIT?EBITEBIT－I=EBIT+FEBIT－I
=（P－V）（P－V）－F－I=S－VCS－VC－F－I
3 结论
3.1 上述两组公式具有内在的逻辑联系。
如果更进一步研究，我们会发现这两组公式存在着内在的逻辑联系，在一定的条件下，经营杠杆、财务杠杆影响着总杠杆的大小，从而影响权益净利率并进而影响股票的价值，这方面的影响可通过杜邦分析公式：权益净利率=销售净利率×资产周转率×权益乘数，上市公司股利政策等以窥一斑。当然企业权力（组织）结构不同，最终的影响效果也大不一样。
一般而言，公司制企业（即现代企业）产生后，其所有权与经营权相分离，公司由股东大会、董事会和经理人三者组成的一种组织结构即公司治理结构支配的管理人员进行治理。企业的决策管理权不再集中于某一方，而是由几方共同分享，实行授权与受权范围内的分权式管理模式。这种分权不仅仅停留在股东大会、董事会和经理人三者之间，在其内部同样也会出现由集权管理到分权管理的趋势。如下图1和图2所示，从“经营者”理财角度来看两种典型的权力平衡机制及其内在关系。
从以上图示可知，无论是CFO与CSO和CPO并列式，还是CFO与COO并列式，CFO都直接或间接与CSO和CPO发生关系，在企业权力结构体系中处于十分重要的地位，将会产生极其重要的作用。它们一端撬动经营杠杆，一端撬动财务杠杆，进而共同作用影响总杠杆，对每股收益造成影响，并最终影响CEO的管理目标：追求股票价值最大化、股东权益最大化。因此，两组计算公式具有内在的紧密联系。
3.2 计算公式推导有基本规律可循。
从前面两组计算公式推导的过程中我们可以发现，计算公式的推导无外乎以下几条线索。一是建立数学模型，利用高等数学知识进行严格推演，推演时要特别注意讨论使公式计算有意义的条件。二是利用其定义严格推导公式。三是利用已知的计算公式、计算公式之间的关系或将已知的计算公式适当变形而进行推导。通过对计算公式的严格推导，可以让学生对计算公式进一步加深印象，并且能够帮助学生正确地使用计算公式。
参考文献
［1］ （美）威廉?L.麦金森著，刘明辉主译，公司财务理论.第1版［M］，东北财经大学出版社、培生教育出版集团，2002.6
［2］ 邢天才，王玉霞，证券投资学.第2版［M］，东北财经大学出版社，2007.10
［3］ 吴晓求，证券投资学.第3版［M］，中国人民大学出版社，2009.2
［4］ 余绪缨，企业理财学.第3版［M］，辽宁人民出版社，2009.4
［5］ 郭复初，王庆成，财务管理学.第3版［M］，高等教育出版社，2009.8
［6］ CPA考委办编，财务成本管理.第1版［M］，中国财政经济出版社，2011.3