【摘要】 本文研究了把正圆点三角形重构成倒圆点三角形需要移动圆点个数最少的最优值问题，从图形变换问题中抽象出数学问题并进行了深入的分析，给出了两种求解该重构问题的方法：一种方法是根据规律总结出一个计算公式，另一种方法是基于图形最大面积的特性，移动三个小三角形的位置，并计算所移动的三个小三角形所包含的小圆点的个数.
　　【关键词】圆点三角形;重构;数形结合;最优值
　　一、引 言
　　对于一个由圆点构成的等边三角形，可以移动部分圆点使其变成倒等邊三角形.如何通过移动最少个数的圆点就可以把原来的三角形重新构成倒等边三角形引起了许多人的兴趣，当圆点个数少时，这变成了一个益智游戏.通过深入分析发现，这是一个数形结合的奇妙的数学问题，该数学问题不但可以启发中小学生的抽象思维能力，也能够激发学生对数学问题产生浓厚兴趣.在圆点个数比较少的情况下，可以通过穷举法找到移动圆点个数最少的方法，但当三角形边长的圆点数较多时，利用穷举法分析就显得有些不合适.通过对这个问题的进一步观察研究，我们发现这个问题可以抽象为一个数学求和问题，同时，该数学问题也包含了优化概念.由此问题也可以引申出整数的商的求和问题.
　　二、问题分析
　　图1是一个由圆点构成的四层等边三角形：
　　图1 四层圆点三角形
　　把图1这个由圆点构成的等边三角形变换成颠倒放置的等边三角形有许多移动圆点的方法，但是通过移动最少的圆点就可以把正等边三角变成倒等边三角形的方法只有一种，即把第四排两边的两个圆点移动到第二排原来的两个圆点的两边，然后把最上面的一个圆点移动到最下面，一共移动三个圆点就把原来的正等边三角形变成了倒等边三角形.通过直观类似穷举的方法找到了这个最优化问题的答案.毕竟这个四层圆点三角形层数较少，圆点个数不多，可以顺利地得到移动最少圆点个数的答案.如果三角形层数增多，要通过移动最少圆点个数重构出来一个倒三角形则难度大增，再利用穷举的方法得到答案已经变成一个无法完成的工作.如何移动个数最少的圆点来重构一个倒三角形，其内在蕴含着什么样的数学现象，这是一个需要深思的问题.
　　三、规 律
　　我们分别计算了1—13层的等边三角形，结果如表1：
　　通过比较，发现如下规律：不同层数的三角形重构成倒三角形时移动圆点个数，除了1层的情况，2，3，4层移动个数都比其前一层移动圆点个数多1， 5，6，7层都比前一层数移动圆点个数多2， 8，9，10层都比前一层数移动圆点个数多3.以此类推，可得到N层三角形移动最少圆点个数变为倒三角形的数学计算公式：
　　一层：