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摘 要：多项式因式分解就是恒等变形，将多项式转化为几个整式的乘积形式。在中考中，因式分解是比较常见的类型，是解决数学问题的重要工具。因式分解方法具有很强的技巧性，使用灵活，是学生必须掌握的数学解题方法，对学生思维能力的培养及解题能力的提高具有促进作用。基于此，本文着重研究初中数学因式分解技巧。
关键词：初中数学;因式分解技巧;教学策略
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2021）18-0062-02
引 言
在解决数学难题过程中使用因式分解法，可以将复杂的问题简单化。学生掌握这种方法，不仅解题思路会更加清晰，提高解题效率，其数学思维能力还会得到有效培养。
一、多项式因式分解的步骤及常用方法
（一）多项式因式分解的步骤
在应用多项式因式分解的过程中，学生只有按照步骤进行，才能获得良好的效果。多项式因式分解的具体步骤为：其一，在多项式中如果各项都有公因式，就需要先将公因式提出来;其二，在多项式中如果各项都没有公因式，在分解时可以使用公式法或者十字相乘法解决;其三，如果采用上面的方法都不能有效分解，在分解时可以采用十字相乘法、分组分解法、拆项补项法等;其四，在分解因式的过程中，对每一个多项式因式都要进行分解，直到不能进一步分解为止[1]。
（二）多项式因式分解的简单记忆法
多项式因式分解方法有很多。为了有效利用，学生需要将这些方法记忆下来，从而在解决数学难题时可以灵活运用[2]。下面的因式分解记忆方法是比较有效的：先做公因式提取，然后考虑用公式，思考十字相乘法，之后用分组分解法;如果几种方法都无效，可以试试拆项添项法。
二、解决数学问题中常用的因式分解技巧
（一）提公因式法
提公因式法就是在多项式中，对四则运算中乘法分配律进行反向使用。教师可以让学生在多项式分解的过程中仔细观察，将最低指数幂找出来。由于学生在提取的过程中容易产生漏项的问题，教师要指导学生应用还原法检验因式分解是否正确。如果各项有公因式，需将公因式提出来放在括号外面，用因式乘积的形式表达;如果各项系数均为整数，提取公因式系数需要将最大的公约数提取出来;如果公因式用字母表达，则需要将各项相同的字母提取出来;在提取各项指数时，需要将次数最低的提取出来;多项式中的第一项是负数，需要将负号提取出来，让括号中的第一项系数为正。
具体的解题思路是，提取公因式，即an+bn+cn+ dn+…=n（a+b+c+d+…），公因式提取完毕，将另一个因式确定下来。比如，对3x3-2x2-x提取公因式，即为3x3-2x2-x=x（x2-2x-1）。
（二）运用公式法
在解决数学问题时运用公式法，学生需要对各种数学公式熟练掌握，明确公式之间的关联性，从而能够灵活运用。初中生往往存在记住数学公式却不能合理运用的问题。所以，在实际教学中，教师要帮助学生掌握基础知识，引导学生掌握学习公式的方法，使其在面对数学问题时能够遴选出灵活解题的公式，逐渐掌握解题规律[3]。比如，平方差公式为a2-b2=（a+b）（a-b），完全平方公式为（a+b）2=a2+2ab+b2;（a-b）2=a2-2ab+b2。
将完全平方公式充分运用起来分解因式，要求多项式一定是三项式，其中有两项可以用两个数的平方和表达或者用两个式表达的平方和表达，另一项则是两个数乘积的2倍或者两个式乘机的2倍。比如，立方差公式为a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）;立方和公式为a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）;完全立方公式为（a+b）3=a3+3ab2+3a2b+b3， （a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3。
（三）分组分解法
在解决数学问题时应用分组分解法，就是在应用提取公因式法的同时使用公式运用法。由于多项式在表达形式上各有不同，采用分组分解法进行处理时所应用的方法也存在差异。数学教师要想让学生充分理解这部分内容，讲解时要做到具体问题具体分析，并遵循循序渐进的原则，让学生从浅到深地掌握所学知识。具体而言就是将一个多项式进行分组，之后运用分解因式的方法处理。采用分组分解法时，学生必须明确目标，分组后将公因式直接提取出来，也可以运用公式进行处理。
例如，对多项式am+an+bm+bn进行因式分解时，要判断项式之间所存在的共同之处，如果将前两项分为一组，可以将公因式a提取出来，将后两项分为一组，可以将公因式b提取出来，从而所获得的公式是am+an+bm+bn=a（m+n）+b（m+n），再将公因式（m+n）提取出来，得出am+an+bm+bn=a（m+n）+b（m+n）=（a+b）（m+n）;
如果将第一项和第三项分为一组，可以将公因式m提取出来，将第二项和第四项分为一组，可以将公因式n提取出来，从而所获得的公式是am+an+bm+bn= m（a+b）+n（a+b），将公因式（a+b）提取出来，得出am+ an+bm+bn=a（m+n）+b（m+n）=（a+b）（m+n）。
又如，在分解多項式7ax+7bx+8ay+8by时，采用分组分解法可以得出：7ax+7bx+8ay+8by=7x（a+b）+8y（a+b）=（7x+8y）（a+b）或者7ax+7bx+8ay+8by=a（7x+8y）+ b（7x+8y）= （7x+8y）（a+b）。 从案例分析可以看出，对于一个多项式进行分解，虽然进行分组分解时采用不同的分组方法，但是所获得的结果是一样的，将7ax和8bx分为一个组，将x提取出来，将把8ay和8by分为一组，将y提取出来，采用逆用乘法分配律解答问题，就能够做到化繁为简。比如，将多项式m2+5n-mn-5m分解，即m2+5n-mn-5m=（m2-mn）+（5n-5m）= m（m-n）+5（n-m）=-m（n-m）+5（n-m）=（5-m）（n-m）。
（四）十字相乘法
对于二次三项式的分解，通常应用十字相乘法。二次项系数包括两种情况，即为“1”的情况和不为“1”的情况。与前三种方法相比较，初中生掌握这种方法存在一定的难度。所以，通常教师在讲解这种方法之前，需要先讲解前三种方法，在学生熟练掌握后，再对这部分内容进行讲解。
例如，对二次三项式x2+（p+q）x+pq进行因式分解时，要分析该二次项，其系数是1;常数项为两个数的积，即pq;一次项系数是常数项的两个因数的相加。在分解这個项式时，对于二次项系数为1的二次三项式进行因式分解，可以得出：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）。
又如，对二次三项式kx2+mx+n进行因式分解的过程中，如果可以分解为k=ac，n=bd，则acx2+mx+bd;如果m=ad+bc时，acx2+mx+bd=acx2+（ad+bc）x+bd，那么就可以将因式分解为：kx2+mx+n=（ax+b）（cx+d）。对7x2-19x-6进行因式分解，其中的-19可以分解为-21+2，那么，7x2-19x-6=7x2-21x+2x-6=7x（x-3）+2（x-3）=（7x+2）（x-3）。
（五）拆项法和补项法
将多项式的某一项拆开或者对多项式中的某一项填补上相反数的两项，也可以是相反数的几项，在保持原式表达含义不变的情况下，更加适用于公因式提取。在使用这种方法时需要注意，对多项式进行变形时要坚持保持与原多项式相等的原则，先将多项式拆成几个部分，之后再对因式进行分解。
例如，对bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）进行因式分解， 将bc（b+c）分解为bc（c-a+a+b），得bc（b+c）+ca（c-a）= bc（c-a）+ca（c-a）+bc（a+b），对公式提取（a+b），得出c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）=（c+b）（c-a）（a+b）。
结 语
通过上面的研究可以得出，初中数学中的因式分解方法有多种，而解题中较为常用的是公式法、提取公因式法、十字相乘法、分组分解法、拆项补项法。虽然教学存在一定的难度，但是其解题思路是有一定规律的，所以教师在教学中要帮助学生明确解题思路，让学生对因式分解方法有系统性认识，从而提高数学解题效率[4]。
[参考文献]
李霞，王婷.初中数学公式与法则的教学思考：以“整式乘法与因式分解”为例[J].中学数学教学参考，2020（11）：11-14.
胡力文.由一道初中数学填空题引发的思考：用近世代数的观点[J].教育教学论坛，2020（22）：354-355.
孙斌.有关初中数学课有效教学的研究[J].名师在线，2020（33）：37-38.
张金良.解密数学抽象 探索教学策略[J].数学通报，2019，58（08）：23-26+66.
作者简介：张炳瑞（1973.6—），男，甘肃天水人，中小学高级教师。
关键词：初中数学;因式分解技巧;教学策略
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2021）18-0062-02
引 言
在解决数学难题过程中使用因式分解法，可以将复杂的问题简单化。学生掌握这种方法，不仅解题思路会更加清晰，提高解题效率，其数学思维能力还会得到有效培养。
一、多项式因式分解的步骤及常用方法
（一）多项式因式分解的步骤
在应用多项式因式分解的过程中，学生只有按照步骤进行，才能获得良好的效果。多项式因式分解的具体步骤为：其一，在多项式中如果各项都有公因式，就需要先将公因式提出来;其二，在多项式中如果各项都没有公因式，在分解时可以使用公式法或者十字相乘法解决;其三，如果采用上面的方法都不能有效分解，在分解时可以采用十字相乘法、分组分解法、拆项补项法等;其四，在分解因式的过程中，对每一个多项式因式都要进行分解，直到不能进一步分解为止[1]。
（二）多项式因式分解的简单记忆法
多项式因式分解方法有很多。为了有效利用，学生需要将这些方法记忆下来，从而在解决数学难题时可以灵活运用[2]。下面的因式分解记忆方法是比较有效的：先做公因式提取，然后考虑用公式，思考十字相乘法，之后用分组分解法;如果几种方法都无效，可以试试拆项添项法。
二、解决数学问题中常用的因式分解技巧
（一）提公因式法
提公因式法就是在多项式中，对四则运算中乘法分配律进行反向使用。教师可以让学生在多项式分解的过程中仔细观察，将最低指数幂找出来。由于学生在提取的过程中容易产生漏项的问题，教师要指导学生应用还原法检验因式分解是否正确。如果各项有公因式，需将公因式提出来放在括号外面，用因式乘积的形式表达;如果各项系数均为整数，提取公因式系数需要将最大的公约数提取出来;如果公因式用字母表达，则需要将各项相同的字母提取出来;在提取各项指数时，需要将次数最低的提取出来;多项式中的第一项是负数，需要将负号提取出来，让括号中的第一项系数为正。
具体的解题思路是，提取公因式，即an+bn+cn+ dn+…=n（a+b+c+d+…），公因式提取完毕，将另一个因式确定下来。比如，对3x3-2x2-x提取公因式，即为3x3-2x2-x=x（x2-2x-1）。
（二）运用公式法
在解决数学问题时运用公式法，学生需要对各种数学公式熟练掌握，明确公式之间的关联性，从而能够灵活运用。初中生往往存在记住数学公式却不能合理运用的问题。所以，在实际教学中，教师要帮助学生掌握基础知识，引导学生掌握学习公式的方法，使其在面对数学问题时能够遴选出灵活解题的公式，逐渐掌握解题规律[3]。比如，平方差公式为a2-b2=（a+b）（a-b），完全平方公式为（a+b）2=a2+2ab+b2;（a-b）2=a2-2ab+b2。
将完全平方公式充分运用起来分解因式，要求多项式一定是三项式，其中有两项可以用两个数的平方和表达或者用两个式表达的平方和表达，另一项则是两个数乘积的2倍或者两个式乘机的2倍。比如，立方差公式为a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）;立方和公式为a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）;完全立方公式为（a+b）3=a3+3ab2+3a2b+b3， （a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3。
（三）分组分解法
在解决数学问题时应用分组分解法，就是在应用提取公因式法的同时使用公式运用法。由于多项式在表达形式上各有不同，采用分组分解法进行处理时所应用的方法也存在差异。数学教师要想让学生充分理解这部分内容，讲解时要做到具体问题具体分析，并遵循循序渐进的原则，让学生从浅到深地掌握所学知识。具体而言就是将一个多项式进行分组，之后运用分解因式的方法处理。采用分组分解法时，学生必须明确目标，分组后将公因式直接提取出来，也可以运用公式进行处理。
例如，对多项式am+an+bm+bn进行因式分解时，要判断项式之间所存在的共同之处，如果将前两项分为一组，可以将公因式a提取出来，将后两项分为一组，可以将公因式b提取出来，从而所获得的公式是am+an+bm+bn=a（m+n）+b（m+n），再将公因式（m+n）提取出来，得出am+an+bm+bn=a（m+n）+b（m+n）=（a+b）（m+n）;
如果将第一项和第三项分为一组，可以将公因式m提取出来，将第二项和第四项分为一组，可以将公因式n提取出来，从而所获得的公式是am+an+bm+bn= m（a+b）+n（a+b），将公因式（a+b）提取出来，得出am+ an+bm+bn=a（m+n）+b（m+n）=（a+b）（m+n）。
又如，在分解多項式7ax+7bx+8ay+8by时，采用分组分解法可以得出：7ax+7bx+8ay+8by=7x（a+b）+8y（a+b）=（7x+8y）（a+b）或者7ax+7bx+8ay+8by=a（7x+8y）+ b（7x+8y）= （7x+8y）（a+b）。 从案例分析可以看出，对于一个多项式进行分解，虽然进行分组分解时采用不同的分组方法，但是所获得的结果是一样的，将7ax和8bx分为一个组，将x提取出来，将把8ay和8by分为一组，将y提取出来，采用逆用乘法分配律解答问题，就能够做到化繁为简。比如，将多项式m2+5n-mn-5m分解，即m2+5n-mn-5m=（m2-mn）+（5n-5m）= m（m-n）+5（n-m）=-m（n-m）+5（n-m）=（5-m）（n-m）。
（四）十字相乘法
对于二次三项式的分解，通常应用十字相乘法。二次项系数包括两种情况，即为“1”的情况和不为“1”的情况。与前三种方法相比较，初中生掌握这种方法存在一定的难度。所以，通常教师在讲解这种方法之前，需要先讲解前三种方法，在学生熟练掌握后，再对这部分内容进行讲解。
例如，对二次三项式x2+（p+q）x+pq进行因式分解时，要分析该二次项，其系数是1;常数项为两个数的积，即pq;一次项系数是常数项的两个因数的相加。在分解这個项式时，对于二次项系数为1的二次三项式进行因式分解，可以得出：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）。
又如，对二次三项式kx2+mx+n进行因式分解的过程中，如果可以分解为k=ac，n=bd，则acx2+mx+bd;如果m=ad+bc时，acx2+mx+bd=acx2+（ad+bc）x+bd，那么就可以将因式分解为：kx2+mx+n=（ax+b）（cx+d）。对7x2-19x-6进行因式分解，其中的-19可以分解为-21+2，那么，7x2-19x-6=7x2-21x+2x-6=7x（x-3）+2（x-3）=（7x+2）（x-3）。
（五）拆项法和补项法
将多项式的某一项拆开或者对多项式中的某一项填补上相反数的两项，也可以是相反数的几项，在保持原式表达含义不变的情况下，更加适用于公因式提取。在使用这种方法时需要注意，对多项式进行变形时要坚持保持与原多项式相等的原则，先将多项式拆成几个部分，之后再对因式进行分解。
例如，对bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）进行因式分解， 将bc（b+c）分解为bc（c-a+a+b），得bc（b+c）+ca（c-a）= bc（c-a）+ca（c-a）+bc（a+b），对公式提取（a+b），得出c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）=（c+b）（c-a）（a+b）。
结 语
通过上面的研究可以得出，初中数学中的因式分解方法有多种，而解题中较为常用的是公式法、提取公因式法、十字相乘法、分组分解法、拆项补项法。虽然教学存在一定的难度，但是其解题思路是有一定规律的，所以教师在教学中要帮助学生明确解题思路，让学生对因式分解方法有系统性认识，从而提高数学解题效率[4]。
[参考文献]
李霞，王婷.初中数学公式与法则的教学思考：以“整式乘法与因式分解”为例[J].中学数学教学参考，2020（11）：11-14.
胡力文.由一道初中数学填空题引发的思考：用近世代数的观点[J].教育教学论坛，2020（22）：354-355.
孙斌.有关初中数学课有效教学的研究[J].名师在线，2020（33）：37-38.
张金良.解密数学抽象 探索教学策略[J].数学通报，2019，58（08）：23-26+66.
作者简介：张炳瑞（1973.6—），男，甘肃天水人，中小学高级教师。