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人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册第17章是“勾股定理”.勾股定理是初等几何的一个重要定理，有广泛的应用.本章主要介绍了勾股定理及其逆定理，并介绍这两个定理的一些初步的应用，另外，结合这两个定理，介绍了逆命题和逆定理的有关知识.
1本章内容概述
直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性质，有极其广泛的应用.平角的一半就是直角，空间中一条水平方向的直线和另一条铅垂方向的相交直线也相交成一个直角，直角是生产和生活中最常见的特殊角.勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用.勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基础，定理对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响.没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦.所以，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一.
本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理及其应用.
在第一节中，教科书安排了对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程.教科书首先简略讲述了毕达哥拉斯从观察地面图案的面积关系发现勾股定理的传说故事，并让学生也去观察同样的图案，以发现等腰直角三角形这种特殊直角三角形下的特殊面积关系.在进一步的“探究”中又让学生对某些直角三角形进行计算，计算以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积，发现以两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积.然后对更一般的结论提出了猜想.
历史上对勾股定理证明的研究很多，得到了很多证明方法.教科书正文中介绍了公元3世纪三国时期中国数学家赵爽的证明方法.这是一种面积证法，依据是图形在经过适当切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对图形面积的不同算法推出图形的性质.在教科书中，图17.1-6（1）中的图形经过切割拼接后得到图17.1-6（3）中的图形，证明了勾股定理.
根据勾股定理，已知两条直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长.根据勾股定理还可以得到a2=c2-b2，b2=c2-a2，由此可知，已知斜边和一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长.也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长.教科书相应安排了两个例题和一个“探究”栏目，让学生学习运用勾股定理解决问题，并运用定理证明了斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
在第二节中，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想：如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.教科书借助勾股定理和判定全等三角形的定理（SSS）证明了这个猜想，得到了勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的一种重要依据.教科书安排了两个例题，让学生学会运用这个定理.本节结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.为巩固这些内容，相应配备了一些练习和习题.
2编写时考虑的几个问题
2.1让学生经历勾股定理及其逆定理的探索过程
勾股定理及其逆定理都是初等数学中的重要定理，同时，这两个定理也都是多数初中学生在教师的精心引导下通过探索能够发现并证明的定理，教学中要重视这两个定理的教学，在教学过程中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得两个定理的证明.
教科书对勾股定理的教学，设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的过程.先是很特殊的等腰直角三角形，再到一些特殊的直角三角形，再到一般直角三角形的结论证明的赵爽证法的引入.这是一个典型的探索和证明的过程.类似地，对勾股定理的逆定理，教科书也设计了从特殊结论到一般结论的探索和证明的完整过程.
这样安排教学，有利于学生认识结论研究的必要性，培养学生对结论的探索兴趣和热情，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力和严密审慎的思考习惯.
2.2通过介绍我国古代研究勾股定理的成就培养民族自豪感
我国古代对数学有许多杰出的研究成果，许多成就为世界所瞩目和高度评价，在数学教学中应结合教学内容，适当介绍我国古代数学成就，培养学生爱国热情和民族自豪感.
我国古代对勾股定理的研究就是一个突出的例子.根据成书年代不晚于公元前2世纪西汉时期的《周髀算经》进行推算，有可能在公元前21世纪大禹治水时人们就会应用“勾三股四弦五”的特殊结论，公元前6、7世纪时人们还知道了勾股定理的一般结论并能灵活运用结论解决许多实际测量问题.约公元3世纪三国时期赵爽为《周髀算经》作注写《勾股圆方图注》，用“弦图”对勾股定理给出了一般的证明，这是我国对勾股定理一般结论的最早的证明.我国古代不仅较早独立地发现了勾股定理有关“勾三股四弦五”的一些特殊结论，而且也比较早使用了巧妙的方法独立证明了勾股定理一般结论，在勾股定理的应用方面也有许多深入的研究并达到熟练的程度.从《周髀算经》对勾股定理的多方面的论述，此书所记录的在公元前6、7世纪时在我国人们已经能够熟练且自信地把勾股定理应用到任意边长的直角三角形的事实，可以推测在比《周髀算经》成书早得多的时候，我国对勾股定理不仅知其然而且知其所以然，只是缺少文献明确记载对定理的论证.这些，都说明我国古代劳动人民的卓越聪明才智，也是我国对世界数学的重要贡献，是值得我们自豪的.
本章教科书结合教学内容介绍了我国古代对勾股定理的有关研究成果.在引言中介绍了现存的我国古代的数学著作中最早的著作《周髀算经》的记载“如果勾是三、股是四、那么弦是五”.勾股定理的证法很多，教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了赵爽的证法.首先介绍赵爽“弦图”，然后介绍赵爽利用弦图证明命题1的基本思路.这些内容表现了我国古代劳动人民对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.正因为此，赵爽“弦图”被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽.教科书还在习题中安排了我国古代数学著作《九章算术》中的问题，展现我国古代在勾股定理应用研究方面的成果. 本章也介绍了国外对勾股定理的有关研究成果.勾股定理在西方通常仍被称为毕达哥拉斯定理.毕达哥拉斯是古希腊伟大数学家，现在国外一般认为是由毕达哥拉斯学派最早证明了此定理.在勾股定理的教学内容中，教科书从和毕达哥拉斯有关传说故事引入对定理的探索，并介绍了这位古希腊数学家.在勾股定理的逆定理的有关内容中，教科书则从古埃及人画直角的方法引入.在本章的复习题中还引入了古希腊哲学家柏拉图对勾股数的研究结论作为练习题.在“阅读与思考勾股定理的证明”中还介绍了国外几种证明勾股定理的方法.在这次教材修订所增写的另一个“阅读与思考费马大定理”中则进一步介绍了和勾股定理有一定关系的费马大定理的研究进展，从另一个角度说明了勾股定理对数学发展的影响，并以数学家在攻克费马大定理的过程中所表现出来的精神去影响学生，培育学生的良好品质.
和勾股定理有关的数学历史文化背景知识非常丰富，在教学中，应注意适度引入，使学生对勾股定理的有关历史发展有所了解，激发学生的学习兴趣.特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发学生热爱祖国的思想感情，培养民族自豪感，教导学生打好数学知识基础，为中华民族的伟大复兴而努力学习.
3对教学的几个建议
3.1通过教学提高学生分析问题解决问题的能力
本章内容虽然不多，但教学内涵却很丰富.勾股定理及其逆定理不仅在数学理论体系中有重要的地位，定理本身也有重要的实际应用价值.本章还结合两个定理引入了逆命题、逆定理等比较抽象的概念.这些知识本身易混易错，学习有一定的难度.应该对本章的教学引起重视，使本章的教学对培养学生逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力等方面发挥应有的作用.
在勾股定理的教学中，一方面要重视学生观察、猜想能力的培养，也要重视从特殊结论到一般结论的严密思维能力的培养.从勾股定理到它的逆定理，学生往往会从直觉出发想当然地认为勾股定理的逆命题也一定成立，而从这种直觉上升到逻辑进一步进行严密地思考和证明，认识到两个结论有联系却并不相同，认识到新的结论仍需要经过严格地证明，这是思维能力提高的重要体现，这在教学中是应该引起重视的.另外，逆命题概念的教学也是一个教学难点，怎样写出一个命题的逆命题，原命题和逆命题真假的多种可能性，怎样的命题可以称为逆定理，这些都是学生容易出错的知识点.
勾股定理及其逆定理在解决实际问题中也有广泛的应用价值，在证明几何结论中则起着非常重要的作用，在教学中要引起充分的重视.教学中可以适当把一些中外数学史中的材料充实到课堂教学中，使本章的教学更加充实以取得更好的教学效果.
3.2围绕证明勾股定理培养学生数学学习的自信心
一个缺乏自信的人是不可能成就一番事业的.自信就是不示弱，自信就是自强不息，相信自己的能力，相信自己行，勇于同困难作斗争.数学课往往是初中学生最想学好又不容易学好的一门课，而在数学学习中所培养起来的自信心往往成为学生今后成长的重要力量，所以在数学教学中要特别重视培养学生数学学习的自信心，进而培养更广泛的自信心.勾股定理被公认是初等几何中最重要的定理之一，定理结论奇异、形式优美，寻找勾股定理的新证法成为古今中外名家百姓都热衷研究的问题，而勾股定理的赵爽证法被认为是极其优美简洁的证明方法.了解、理解甚至独立发现一个重要定理的证明方法对树立数学学习的自信心往往能起到特别的作用.勾股定理的证明方法相当多，让学生从定理条件和结论去分析找到一个新的证明方法并非高不可攀，所以，在本定理的教学中，除正文介绍的有关内容外，可以根据实际教学情况，对学生提出不同的教学要求，可以让学生自主探究定理的证明，既可以让学生根据图形分析自主得到证法，也可以安排收集定理多种证法的数学课外活动，通过这些活动，使学生对勾股定理有较好的理解，从而培养他们学好数学的信心.
3.3适当总结和定理、逆定理有关的内容
本章引出了逆定理的概念，为了让学生对这一概念掌握得更好，可以在小结时结合已经学过的一些结论以加深理解.例如，可以结合在本套教科书第十二章“全等三角形”中的两个定理：“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”和“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”来进行复习.这里，前一个结论是角的平分线的性质定理，后一个结论是角的平分线的性质定理的逆定理.还可以举出其他的一些适当的例子.这样就可以从定理、逆定理的角度认识已学的一些结论，明确其中一些结论之间的关系.
对互逆命题、互逆定理的概念，学生理解它们通常困难不大，但对那些不是以“如果……那么……”形式给出的命题，叙述它们的逆命题有时就会有困难，可以尝试首先把命题变为“如果……那么……”的形式.当然，要注意把握教学要求，不宜涉及结构太复杂的命题.
概括提炼：
勾股定理及其逆定理是初等数学的重要定理，它们沟通了形数关系，应用广泛影响深远.定理的教学应该注意引导学生观察、探索、猜想，并得到严格的证明.定理的教学过程应该传播相关数学文化知识，培养学生学好数学的信心.
1本章内容概述
直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性质，有极其广泛的应用.平角的一半就是直角，空间中一条水平方向的直线和另一条铅垂方向的相交直线也相交成一个直角，直角是生产和生活中最常见的特殊角.勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用.勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基础，定理对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响.没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦.所以，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一.
本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理及其应用.
在第一节中，教科书安排了对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程.教科书首先简略讲述了毕达哥拉斯从观察地面图案的面积关系发现勾股定理的传说故事，并让学生也去观察同样的图案，以发现等腰直角三角形这种特殊直角三角形下的特殊面积关系.在进一步的“探究”中又让学生对某些直角三角形进行计算，计算以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积，发现以两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积.然后对更一般的结论提出了猜想.
历史上对勾股定理证明的研究很多，得到了很多证明方法.教科书正文中介绍了公元3世纪三国时期中国数学家赵爽的证明方法.这是一种面积证法，依据是图形在经过适当切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对图形面积的不同算法推出图形的性质.在教科书中，图17.1-6（1）中的图形经过切割拼接后得到图17.1-6（3）中的图形，证明了勾股定理.
根据勾股定理，已知两条直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长.根据勾股定理还可以得到a2=c2-b2，b2=c2-a2，由此可知，已知斜边和一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长.也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长.教科书相应安排了两个例题和一个“探究”栏目，让学生学习运用勾股定理解决问题，并运用定理证明了斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
在第二节中，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想：如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.教科书借助勾股定理和判定全等三角形的定理（SSS）证明了这个猜想，得到了勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的一种重要依据.教科书安排了两个例题，让学生学会运用这个定理.本节结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.为巩固这些内容，相应配备了一些练习和习题.
2编写时考虑的几个问题
2.1让学生经历勾股定理及其逆定理的探索过程
勾股定理及其逆定理都是初等数学中的重要定理，同时，这两个定理也都是多数初中学生在教师的精心引导下通过探索能够发现并证明的定理，教学中要重视这两个定理的教学，在教学过程中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得两个定理的证明.
教科书对勾股定理的教学，设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的过程.先是很特殊的等腰直角三角形，再到一些特殊的直角三角形，再到一般直角三角形的结论证明的赵爽证法的引入.这是一个典型的探索和证明的过程.类似地，对勾股定理的逆定理，教科书也设计了从特殊结论到一般结论的探索和证明的完整过程.
这样安排教学，有利于学生认识结论研究的必要性，培养学生对结论的探索兴趣和热情，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力和严密审慎的思考习惯.
2.2通过介绍我国古代研究勾股定理的成就培养民族自豪感
我国古代对数学有许多杰出的研究成果，许多成就为世界所瞩目和高度评价，在数学教学中应结合教学内容，适当介绍我国古代数学成就，培养学生爱国热情和民族自豪感.
我国古代对勾股定理的研究就是一个突出的例子.根据成书年代不晚于公元前2世纪西汉时期的《周髀算经》进行推算，有可能在公元前21世纪大禹治水时人们就会应用“勾三股四弦五”的特殊结论，公元前6、7世纪时人们还知道了勾股定理的一般结论并能灵活运用结论解决许多实际测量问题.约公元3世纪三国时期赵爽为《周髀算经》作注写《勾股圆方图注》，用“弦图”对勾股定理给出了一般的证明，这是我国对勾股定理一般结论的最早的证明.我国古代不仅较早独立地发现了勾股定理有关“勾三股四弦五”的一些特殊结论，而且也比较早使用了巧妙的方法独立证明了勾股定理一般结论，在勾股定理的应用方面也有许多深入的研究并达到熟练的程度.从《周髀算经》对勾股定理的多方面的论述，此书所记录的在公元前6、7世纪时在我国人们已经能够熟练且自信地把勾股定理应用到任意边长的直角三角形的事实，可以推测在比《周髀算经》成书早得多的时候，我国对勾股定理不仅知其然而且知其所以然，只是缺少文献明确记载对定理的论证.这些，都说明我国古代劳动人民的卓越聪明才智，也是我国对世界数学的重要贡献，是值得我们自豪的.
本章教科书结合教学内容介绍了我国古代对勾股定理的有关研究成果.在引言中介绍了现存的我国古代的数学著作中最早的著作《周髀算经》的记载“如果勾是三、股是四、那么弦是五”.勾股定理的证法很多，教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了赵爽的证法.首先介绍赵爽“弦图”，然后介绍赵爽利用弦图证明命题1的基本思路.这些内容表现了我国古代劳动人民对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.正因为此，赵爽“弦图”被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽.教科书还在习题中安排了我国古代数学著作《九章算术》中的问题，展现我国古代在勾股定理应用研究方面的成果. 本章也介绍了国外对勾股定理的有关研究成果.勾股定理在西方通常仍被称为毕达哥拉斯定理.毕达哥拉斯是古希腊伟大数学家，现在国外一般认为是由毕达哥拉斯学派最早证明了此定理.在勾股定理的教学内容中，教科书从和毕达哥拉斯有关传说故事引入对定理的探索，并介绍了这位古希腊数学家.在勾股定理的逆定理的有关内容中，教科书则从古埃及人画直角的方法引入.在本章的复习题中还引入了古希腊哲学家柏拉图对勾股数的研究结论作为练习题.在“阅读与思考勾股定理的证明”中还介绍了国外几种证明勾股定理的方法.在这次教材修订所增写的另一个“阅读与思考费马大定理”中则进一步介绍了和勾股定理有一定关系的费马大定理的研究进展，从另一个角度说明了勾股定理对数学发展的影响，并以数学家在攻克费马大定理的过程中所表现出来的精神去影响学生，培育学生的良好品质.
和勾股定理有关的数学历史文化背景知识非常丰富，在教学中，应注意适度引入，使学生对勾股定理的有关历史发展有所了解，激发学生的学习兴趣.特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发学生热爱祖国的思想感情，培养民族自豪感，教导学生打好数学知识基础，为中华民族的伟大复兴而努力学习.
3对教学的几个建议
3.1通过教学提高学生分析问题解决问题的能力
本章内容虽然不多，但教学内涵却很丰富.勾股定理及其逆定理不仅在数学理论体系中有重要的地位，定理本身也有重要的实际应用价值.本章还结合两个定理引入了逆命题、逆定理等比较抽象的概念.这些知识本身易混易错，学习有一定的难度.应该对本章的教学引起重视，使本章的教学对培养学生逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力等方面发挥应有的作用.
在勾股定理的教学中，一方面要重视学生观察、猜想能力的培养，也要重视从特殊结论到一般结论的严密思维能力的培养.从勾股定理到它的逆定理，学生往往会从直觉出发想当然地认为勾股定理的逆命题也一定成立，而从这种直觉上升到逻辑进一步进行严密地思考和证明，认识到两个结论有联系却并不相同，认识到新的结论仍需要经过严格地证明，这是思维能力提高的重要体现，这在教学中是应该引起重视的.另外，逆命题概念的教学也是一个教学难点，怎样写出一个命题的逆命题，原命题和逆命题真假的多种可能性，怎样的命题可以称为逆定理，这些都是学生容易出错的知识点.
勾股定理及其逆定理在解决实际问题中也有广泛的应用价值，在证明几何结论中则起着非常重要的作用，在教学中要引起充分的重视.教学中可以适当把一些中外数学史中的材料充实到课堂教学中，使本章的教学更加充实以取得更好的教学效果.
3.2围绕证明勾股定理培养学生数学学习的自信心
一个缺乏自信的人是不可能成就一番事业的.自信就是不示弱，自信就是自强不息，相信自己的能力，相信自己行，勇于同困难作斗争.数学课往往是初中学生最想学好又不容易学好的一门课，而在数学学习中所培养起来的自信心往往成为学生今后成长的重要力量，所以在数学教学中要特别重视培养学生数学学习的自信心，进而培养更广泛的自信心.勾股定理被公认是初等几何中最重要的定理之一，定理结论奇异、形式优美，寻找勾股定理的新证法成为古今中外名家百姓都热衷研究的问题，而勾股定理的赵爽证法被认为是极其优美简洁的证明方法.了解、理解甚至独立发现一个重要定理的证明方法对树立数学学习的自信心往往能起到特别的作用.勾股定理的证明方法相当多，让学生从定理条件和结论去分析找到一个新的证明方法并非高不可攀，所以，在本定理的教学中，除正文介绍的有关内容外，可以根据实际教学情况，对学生提出不同的教学要求，可以让学生自主探究定理的证明，既可以让学生根据图形分析自主得到证法，也可以安排收集定理多种证法的数学课外活动，通过这些活动，使学生对勾股定理有较好的理解，从而培养他们学好数学的信心.
3.3适当总结和定理、逆定理有关的内容
本章引出了逆定理的概念，为了让学生对这一概念掌握得更好，可以在小结时结合已经学过的一些结论以加深理解.例如，可以结合在本套教科书第十二章“全等三角形”中的两个定理：“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”和“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”来进行复习.这里，前一个结论是角的平分线的性质定理，后一个结论是角的平分线的性质定理的逆定理.还可以举出其他的一些适当的例子.这样就可以从定理、逆定理的角度认识已学的一些结论，明确其中一些结论之间的关系.
对互逆命题、互逆定理的概念，学生理解它们通常困难不大，但对那些不是以“如果……那么……”形式给出的命题，叙述它们的逆命题有时就会有困难，可以尝试首先把命题变为“如果……那么……”的形式.当然，要注意把握教学要求，不宜涉及结构太复杂的命题.
概括提炼：
勾股定理及其逆定理是初等数学的重要定理，它们沟通了形数关系，应用广泛影响深远.定理的教学应该注意引导学生观察、探索、猜想，并得到严格的证明.定理的教学过程应该传播相关数学文化知识，培养学生学好数学的信心.