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【摘要】数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段。数学题的灵魂就是数学思想，解数学题关键是数学思想和数学方法的掌握和应用。
【关键词】数学思想 数学方法 初中数学 解题灵魂
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）10-0256-02
数学思想方法不仅会对数学思维、数学审美活动起着指导作用，而且会对个体的世界观、方法论产生深刻影响，形成数学学习效果的广泛迁移，实现思维能力和思想素质的飞跃。下面列举初中阶段常见的数学思想的应用。
一、转化思想
转化思想也称化归思想，是指根据已有知识、经验，通过观察、联想、类比等手段，把问题进行变换，转化为已经解决或容易解决的问题。用转化思想解题，要求思维具有灵活性、多样性、多联想、多开放。常见的转化有：已知与未知的转化，特殊与一般的转化，数与形的转化，动与静的转化，抽象与具体的转化等等。
例1.解一元二次方程，通过因式分解得转化为一元一次方程或来解。
如果把若干个人之间握手总次数称为“握手问题”，那么像无三点共线的n个点之间连线，共端点射线夹角（小于平角的角）个数；一条线段上有若干个点形成的线段的条数；足球队之间单个循环比赛场次都可转化为“握手问题”。
二、数形结合思想
数形结合思想就是把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来考查，“以数助形” 或“以形解数”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，获取简便易行的方法。比如，数轴使得实数与数轴上的点之间建立了一一对应关系；平面直角坐标系使得平面内的点与有序实数对之间建立了一一对应关系；锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；应用函数的图象来直观地说明函数的性质。这些都是“数”与“形”转化的体现。
例2.若 a>0，b<0，|a|<|b|，用“<”号连接a，-a，b，-b，a-b，b-a.
本题若在数轴上表示出a， b，-a，-b的点，几个数大小关系就一目了然，可以得到b-a < b < -a < a < -b < a-b.
三、分类讨论思想
当被研究对象包含多种可能情况时，常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准，将问题分为若干类，然后逐类讨论，再把结论汇总，得出问题的答案。正确的分类讨论必须周全，做到不重不漏，要统一标准、逐级进行，不能超越讨论。因此，在解题时要认真审题，全面考虑，才能获得完整的答案。
例3.在同一平面内，画出∠AOB=60°，∠COB=50°，OD是∠AOB的平分线，OE是∠COB的平分线，并求出∠DOE的度数。
本题应分∠COB在∠AOB的内部和外部两种情形画图解答。
四、整体思想
整体思想就是解决数学问题时，把一些看似彼此独立、实质上紧密相联的量作为整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题。
应用这种数学思想方法，在因式分解、给定条件求代数式值或求线段和、有关平行四边形周长等的过程中，可使得解题思路清晰、解法简捷，从而达到化繁为简、化难为易的目的。
例4.已知实数满足则的值是_____.
本题先逆用积的乘方的运算性质，再整体代入。也可直接整体代入计算。
例5.有一个六位数，它的个位数字是6，如果把6移至第一位前面时所得到的六位数是原数的4倍，求这个六位数。
本题可设六位数的前五位数为x，那么这个六位数为10x+6，整体处理，问题就简单化了。
五、方程思想
方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将已知量和未知量之间的数量关系通过恰当的设未知数，应用定义、公式、性质、定理及条件，把它们之间的数量关系转化为方程或方程组，然后通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式。应用方程思想解题的关键是找题目中的等量关系，这种方法是解决数学问题常用的思维技巧，它贯穿于初中数学的始终。
例6.（1）一角的余角的3倍和它的补角的互为补角，求这个角的度数；
（2） 一个四边形的四个角的比是3：5：5：7，求各角的度数。
本题是一个几何问题，用列方程（组）会使问题解决。
六、归纳思想
归纳思想是由具体个例所体现出来的规律，通过归纳将它推广到一般情形的一种手段。应用归纳思想可以从特殊中找出规律，通过归纳与合情猜想，将发现的规律推广到一般，再由一般返回到具体。主要考查学生的观察能力、归纳能力和合情猜想能力。
例7.对于任意非零实数，定义运算“”，使下列式子成立：
，，，，……，则=___.
本题注意通过观察、猜想、归纳、验证，从特殊到一般，分析特点，探索规律，从而得出结论。
七、函数思想
函数思想实质上是用运动变化的观点去研究两个变量之间的相互关系。研究一个实际问题时，首先从问题中抽象出特定的函数关系，转化为函数模型，然后利用函数的图像、性质得出结论，最后把结论应用到实际问题中去，从而得到实际问题的研究结果。比如，应用函数思想求最值问题，应用函数思想解决有关方程、不等式问题等。
例8.某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售了一种进价为每件20元的护眼台灯。销售过程发现，每月销量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似的看作一次函数：y=-10x+500.
（1）设李明每月获得利润为W（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售价格不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
本题中（1）是根据数量关系得出一个二次函数，进而配方求值；（2）给出了一个函数值，利用方程解决；（3）利用二次函数的性质结合不等式给出的范围再次利用一次函数解决问题。本题把函数和方程的思想结合使用，具体问题具体分析，运用最简便和适当的方法。
因此，我们把解题的过程纳入某一个数学思想体系中，有利于克服解题的盲目性，防止解题的模式化。如果在平时注重应用数学思想去指导学习和解题，则会使解题能力大大提高。
【关键词】数学思想 数学方法 初中数学 解题灵魂
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）10-0256-02
数学思想方法不仅会对数学思维、数学审美活动起着指导作用，而且会对个体的世界观、方法论产生深刻影响，形成数学学习效果的广泛迁移，实现思维能力和思想素质的飞跃。下面列举初中阶段常见的数学思想的应用。
一、转化思想
转化思想也称化归思想，是指根据已有知识、经验，通过观察、联想、类比等手段，把问题进行变换，转化为已经解决或容易解决的问题。用转化思想解题，要求思维具有灵活性、多样性、多联想、多开放。常见的转化有：已知与未知的转化，特殊与一般的转化，数与形的转化，动与静的转化，抽象与具体的转化等等。
例1.解一元二次方程，通过因式分解得转化为一元一次方程或来解。
如果把若干个人之间握手总次数称为“握手问题”，那么像无三点共线的n个点之间连线，共端点射线夹角（小于平角的角）个数；一条线段上有若干个点形成的线段的条数；足球队之间单个循环比赛场次都可转化为“握手问题”。
二、数形结合思想
数形结合思想就是把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来考查，“以数助形” 或“以形解数”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，获取简便易行的方法。比如，数轴使得实数与数轴上的点之间建立了一一对应关系；平面直角坐标系使得平面内的点与有序实数对之间建立了一一对应关系；锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；应用函数的图象来直观地说明函数的性质。这些都是“数”与“形”转化的体现。
例2.若 a>0，b<0，|a|<|b|，用“<”号连接a，-a，b，-b，a-b，b-a.
本题若在数轴上表示出a， b，-a，-b的点，几个数大小关系就一目了然，可以得到b-a < b < -a < a < -b < a-b.
三、分类讨论思想
当被研究对象包含多种可能情况时，常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准，将问题分为若干类，然后逐类讨论，再把结论汇总，得出问题的答案。正确的分类讨论必须周全，做到不重不漏，要统一标准、逐级进行，不能超越讨论。因此，在解题时要认真审题，全面考虑，才能获得完整的答案。
例3.在同一平面内，画出∠AOB=60°，∠COB=50°，OD是∠AOB的平分线，OE是∠COB的平分线，并求出∠DOE的度数。
本题应分∠COB在∠AOB的内部和外部两种情形画图解答。
四、整体思想
整体思想就是解决数学问题时，把一些看似彼此独立、实质上紧密相联的量作为整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题。
应用这种数学思想方法，在因式分解、给定条件求代数式值或求线段和、有关平行四边形周长等的过程中，可使得解题思路清晰、解法简捷，从而达到化繁为简、化难为易的目的。
例4.已知实数满足则的值是_____.
本题先逆用积的乘方的运算性质，再整体代入。也可直接整体代入计算。
例5.有一个六位数，它的个位数字是6，如果把6移至第一位前面时所得到的六位数是原数的4倍，求这个六位数。
本题可设六位数的前五位数为x，那么这个六位数为10x+6，整体处理，问题就简单化了。
五、方程思想
方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将已知量和未知量之间的数量关系通过恰当的设未知数，应用定义、公式、性质、定理及条件，把它们之间的数量关系转化为方程或方程组，然后通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式。应用方程思想解题的关键是找题目中的等量关系，这种方法是解决数学问题常用的思维技巧，它贯穿于初中数学的始终。
例6.（1）一角的余角的3倍和它的补角的互为补角，求这个角的度数；
（2） 一个四边形的四个角的比是3：5：5：7，求各角的度数。
本题是一个几何问题，用列方程（组）会使问题解决。
六、归纳思想
归纳思想是由具体个例所体现出来的规律，通过归纳将它推广到一般情形的一种手段。应用归纳思想可以从特殊中找出规律，通过归纳与合情猜想，将发现的规律推广到一般，再由一般返回到具体。主要考查学生的观察能力、归纳能力和合情猜想能力。
例7.对于任意非零实数，定义运算“”，使下列式子成立：
，，，，……，则=___.
本题注意通过观察、猜想、归纳、验证，从特殊到一般，分析特点，探索规律，从而得出结论。
七、函数思想
函数思想实质上是用运动变化的观点去研究两个变量之间的相互关系。研究一个实际问题时，首先从问题中抽象出特定的函数关系，转化为函数模型，然后利用函数的图像、性质得出结论，最后把结论应用到实际问题中去，从而得到实际问题的研究结果。比如，应用函数思想求最值问题，应用函数思想解决有关方程、不等式问题等。
例8.某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售了一种进价为每件20元的护眼台灯。销售过程发现，每月销量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似的看作一次函数：y=-10x+500.
（1）设李明每月获得利润为W（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售价格不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
本题中（1）是根据数量关系得出一个二次函数，进而配方求值；（2）给出了一个函数值，利用方程解决；（3）利用二次函数的性质结合不等式给出的范围再次利用一次函数解决问题。本题把函数和方程的思想结合使用，具体问题具体分析，运用最简便和适当的方法。
因此，我们把解题的过程纳入某一个数学思想体系中，有利于克服解题的盲目性，防止解题的模式化。如果在平时注重应用数学思想去指导学习和解题，则会使解题能力大大提高。