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【摘 要】高中数学阶段函数贯穿始末，占有很大比重，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的图像和性质是高考的重点与热点，其中函数的对称性是函数的一个基本性质。对称关系不仅广泛存在于数学问题当中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决。考查对称性能有效地考查学生的逻辑思维能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力,因而是高考和竞赛中命题的热点和重点。
【关键词】对称性 函数 对称关系 高中数学 三角函数 性质 高考
高中数学阶段函数贯穿始末，占有很大比重，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的图像和性质是高考的重点与热点，其中函数的对称性是函数的一个基本性质。对称关系不仅广泛存在于数学问题当中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决。考查对称性能有效地考查学生的逻辑思维能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力,因而是高考和竞赛中命题的热点和重点。笔者在分析2009年和2010年高考试题时发现：09年全国卷Ⅰ选择题第11题、山东卷理科高考数学第16题，都是一些直接应用函数对称性解决的问题；10年全国卷Ⅰ填空题第15题，也涉及到函数图像对称性问题。下面通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨与函数对称性有关的问题。
一、利用函数自身的对称性
性质1 函数y=f（x）的图象关于A（a，b ）对称的充要条件是f（x）+ f（2a-x）=2b。
推论：函数y=f（x）的图象关于原点O对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0。
性质2 函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称的充要条件是f（a+x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）。
推论：函数y=f（x）的图象关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）.
性质3 （1）若函数y=f（x）的图象同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（ab），则y=f（x）是周期函数，且2a-b是其一个周期。
（２）若函数y=f（x）图象同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（ab），则y=f（x）是周期函数，且2a-b是其一个周期。
二、利用不同函数间的对称性
性质4 函数y=f（x）与y=2b-f（2a-x）的图象关于点A（a，b）成中心对称。
性质5 （1）函数y=f（x）与y=f（2a-x）的图象关于直线x=a成轴对称。
（2）函数y=f（x）与a-x=f（a-y）的图象关于直线x+y=a成轴对称。
（3）函数y=f（x）与x-a=f（y+a）的图象关于直线x-y=a成轴对称。
推论：函数y=f（x）的图像与x=f（y）的图象关于直线x=y成轴对称。
三、三角函数图象的对称性列表
四、函数对称性的综合应用
例1：定义在R上的非常数函数满足：f（10+x）为偶函数，且f（5-x）=f（5+x），则f（x）一定是（）
A.是偶函数，也是周期函数
B.是偶函数，但不是周期函数
C.是奇函数，也是周期函数
D是奇函数，但不是周期函数
解：f（10+x）为偶函数，所以f（10+x）= f（10-x），f（x）有两条对稱轴x=5与x=10，因此f（x）是以10为一个周期的周期函数。x=0，即y轴也是f（x）的对称轴，因此f（x）还是一个偶函数。故选A。
例2.设定义域为R的函数y=f（x），y=g（x）都有反函数，并且f（x-1）和g-1（x-2）函数的图象关于直线y=x对称，若g（5）=1999，那么f（4）=（）
A.1999B. 2000 C.2001D.2002
解： y=f（x-1）和y=g-1（x-2）函数的图象关于直线y=x对称。∴g-1（x-2）反函数是y=f（x-1），而y=g-1（x-2）的反函数是y=2+g（x）。所以f（x-1）=2+g（x）， 有f（5-1）=2+g（5）=2001，故f（4）=2001，应选C。
例3.设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1-x）。当-1≤x≤0时，f（x）=-，则f（8.6）=______.
解： f（x） 是定义在R上的偶函数， ∴x=0是y=f（x）对称轴;又f（1+x）=f（1-x）， ∴x=1也是y=f（x）对称轴，故y=f（x）是以2为周期的周期函数。∴f（8.6）=f（8+0.6）=f（0.6）=f（-0.6）=0.3.
例4.函数y=sin（2x+）的图象的一条对称轴的方程是（ ）。
A.x=-B.x=-C.x=D.x=
解：函数y=sin（2x+）的图象的所有对称轴方程是2x+=kπ+，x=-π，显然取k=1时的对称轴方程是x=-，故选A。
函数的对称性是我们学习函数的一个重点，也是我们高考的重点和热点。所以我们在学习函数的过程中一定要认真地学习函数的对称性，培养数形结合的思想。
（河北香河一中；065400）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】对称性 函数 对称关系 高中数学 三角函数 性质 高考
高中数学阶段函数贯穿始末，占有很大比重，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的图像和性质是高考的重点与热点，其中函数的对称性是函数的一个基本性质。对称关系不仅广泛存在于数学问题当中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决。考查对称性能有效地考查学生的逻辑思维能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力,因而是高考和竞赛中命题的热点和重点。笔者在分析2009年和2010年高考试题时发现：09年全国卷Ⅰ选择题第11题、山东卷理科高考数学第16题，都是一些直接应用函数对称性解决的问题；10年全国卷Ⅰ填空题第15题，也涉及到函数图像对称性问题。下面通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨与函数对称性有关的问题。
一、利用函数自身的对称性
性质1 函数y=f（x）的图象关于A（a，b ）对称的充要条件是f（x）+ f（2a-x）=2b。
推论：函数y=f（x）的图象关于原点O对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0。
性质2 函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称的充要条件是f（a+x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）。
推论：函数y=f（x）的图象关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）.
性质3 （1）若函数y=f（x）的图象同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（ab），则y=f（x）是周期函数，且2a-b是其一个周期。
（２）若函数y=f（x）图象同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（ab），则y=f（x）是周期函数，且2a-b是其一个周期。
二、利用不同函数间的对称性
性质4 函数y=f（x）与y=2b-f（2a-x）的图象关于点A（a，b）成中心对称。
性质5 （1）函数y=f（x）与y=f（2a-x）的图象关于直线x=a成轴对称。
（2）函数y=f（x）与a-x=f（a-y）的图象关于直线x+y=a成轴对称。
（3）函数y=f（x）与x-a=f（y+a）的图象关于直线x-y=a成轴对称。
推论：函数y=f（x）的图像与x=f（y）的图象关于直线x=y成轴对称。
三、三角函数图象的对称性列表
四、函数对称性的综合应用
例1：定义在R上的非常数函数满足：f（10+x）为偶函数，且f（5-x）=f（5+x），则f（x）一定是（）
A.是偶函数，也是周期函数
B.是偶函数，但不是周期函数
C.是奇函数，也是周期函数
D是奇函数，但不是周期函数
解：f（10+x）为偶函数，所以f（10+x）= f（10-x），f（x）有两条对稱轴x=5与x=10，因此f（x）是以10为一个周期的周期函数。x=0，即y轴也是f（x）的对称轴，因此f（x）还是一个偶函数。故选A。
例2.设定义域为R的函数y=f（x），y=g（x）都有反函数，并且f（x-1）和g-1（x-2）函数的图象关于直线y=x对称，若g（5）=1999，那么f（4）=（）
A.1999B. 2000 C.2001D.2002
解： y=f（x-1）和y=g-1（x-2）函数的图象关于直线y=x对称。∴g-1（x-2）反函数是y=f（x-1），而y=g-1（x-2）的反函数是y=2+g（x）。所以f（x-1）=2+g（x）， 有f（5-1）=2+g（5）=2001，故f（4）=2001，应选C。
例3.设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1-x）。当-1≤x≤0时，f（x）=-，则f（8.6）=______.
解： f（x） 是定义在R上的偶函数， ∴x=0是y=f（x）对称轴;又f（1+x）=f（1-x）， ∴x=1也是y=f（x）对称轴，故y=f（x）是以2为周期的周期函数。∴f（8.6）=f（8+0.6）=f（0.6）=f（-0.6）=0.3.
例4.函数y=sin（2x+）的图象的一条对称轴的方程是（ ）。
A.x=-B.x=-C.x=D.x=
解：函数y=sin（2x+）的图象的所有对称轴方程是2x+=kπ+，x=-π，显然取k=1时的对称轴方程是x=-，故选A。
函数的对称性是我们学习函数的一个重点，也是我们高考的重点和热点。所以我们在学习函数的过程中一定要认真地学习函数的对称性，培养数形结合的思想。
（河北香河一中；065400）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文