投入产出分析是本世纪３０年代由美国经济学家列昂节夫首先提出的，它研究的是经济系统各部门之间“投入”与“产出”关系的线性模型，一般称之为投入产出模型. 投入产出模型可应用于微观经济系统，也可用于宏观经济系统的综合平衡分析，目前这种分析方法已在全世界９０多个国家和地区得到了普遍的推广和应用. 下面是投入产出数学模型中一个小的经济问题的提出及解决.
　　 现有一个经济系统包括４个部门，在某一个生产周期各部门的消耗系数及最终产品如下：
　　
　　 求各部门的总产品及部门间的流量.
　　 消耗系数是指第ｊ部门生产单位产品直接消耗第ｉ部门的产品，称为第ｊ部门对第ｉ部门的直接消耗系数：
　　 ａij ＝（ｉ，ｊ ＝ １，２，… ，ｎ）.
　　 解 设ｘi （ｉ ＝ １，２，３，４）表示第ｉ部门的总产品，
　　 则矩阵Ａ ＝ （ａij） ＝ 0.250.150.1 0.10.250.20.1 0.20.20.10.25 0.10.10.10.2 0.25
　　 ｙ ＝ （２３５，８０，２７５，３００）T .
　　 可求得Ｉ － Ａ ＝0.75 -0.15-0.1 -0.1-0.250.8-0.1 -0.2-0.2-0.10.75 -0.1-0.1-0.1-0.2 0.75
　　 （Ｉ － Ａ） -1 ＝ 1.580.390.36 0.360.681.50.44 0.550.580.351.55 0.370.460.350.52 1.55
　　 X = X1X2X3X4= （Ｉ － Ａ）-1y =
　　 1.580.390.36 0.360.681.50.44 0.550.580.351.55 0.370.460.350.52 1.55 23580275300= 609.5565.8701.55744.1
　　 由此可得X1 ＝ ６０９．５，X2 ＝ ５６５．８，X3 ＝ ７０１．５５，X4＝ ７４４．１ .
　　 由Xij ＝ aijXi （ｉ，ｊ ＝ １，２，…，ｎ）计算出部门间流量：
　　 X11 ＝ １５２．４，X12 ＝ ９１．４ ，X13 ＝ ６０．９５， X14 ＝ ６０．９５； X21＝１４１．４５，X22＝１１３．１６，X23＝５６．５８，X24＝１１３．１６；
　　 X31＝１４０．３１，X32＝７０．１５，X33＝１２５．３９，X34 ＝７０．１５５；
　　 X41＝７４．４１， X42＝７４．４１，X43＝１４８．８２，X44 ＝１８６.
　　
　　 在此的投入产出表是按价值形式编制的，故本文中提到的“产品量”、“单位产品”、“总产品”、“最终产品”等分别指“产品的价值”、“单位产品的价值”、“总产值”、“最终产品的价值”等.
　　
　　 【参考文献】
　　 ［１］ 同济大学数学教研室编.线性代数.北京：高等教育出版社，１９９１（８）.
　　 ［２］ 金朝嵩，符名培编箸.线性代数.重庆：重庆大学出版社，２００１（８）.
　　 ［３］ 赵树主编.经济数学基础,线性代数.北京：中国人民大学出版社，１９９８（３）.
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”