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解析几何中的定点与定值问题，一直是高考命题的热点，也是难点.如何突破这个难点？一直是困扰考生们的一个难题.我们一起来攻克这个“堡垒”！
一、定点问题
1.处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为k）；
（2）利用条件找到k与过定点的曲线F（x，y）=0的联系，得到有关k与x，y的等式；
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点（x0，y0），使得无论k的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于k与x，y的等式进行变形，直至易于找到x0，y0.常见的变形方向如下：
①若等式的形式为整式，则考虑将含k的项归在一组，变形为“k·g（x，y）”的形式，从而x0，y0只需要先满足g（x，y）=0即可；
②若等式为含k的分式，x0，y0的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）.
2.一些技巧与注意事项：
（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）.然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合.属于“先猜再证”.
（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件.所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件.例如：直线l：y=kx k-1，就应该能够意识到y=k（x 1）-1，进而直线过定点（-1，-1）.
例1 椭圆C：x2a2 y2b2=1（a>b>0）的离心率为12，其左焦点到点P（2，1）的距离为10.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右頂点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.
解析：（1）e=ca=12a∶b∶c=2∶3∶1，设左焦点F1（-c，0），
∴|PF1|=（-c-2）2 （0-1）2=10，解得c=1.∴a=2，b=3.∴椭圆方程为x24 y23=1.
（2）由（1）可知椭圆右顶点D（2，0）.
设A（x1，y1），B（x2，y2），∵以AB为直径的圆过D（2，0），
∴DA⊥DB即DA⊥DB，∴DA·DB=0，
∵DA=（x1-2，y1），DB=（x2-2，y2），
∴DA·DB=（x1-2）（x2-2） y1y2
=x1x2-2（x1 x2） 4 y1y2=0 ①
联立直线与椭圆方程：y=kx m
3x2 4y2=12
（3 4k2）x2 8mkx 4（m2-3）=0，
∴x1 x2=-8mk4k2 3，x1x2=4（m2-3）4k2 3，
∴y1y2=（kx1 m）（kx2 m）
=k2x1x2 mk（x1 x2） m2
=4k2（m2-3）4k2 3-8mk·mk4k2 3 m2
=3m2-12k24k2 3，
代入到①，DA·DB=4（m2-3）4k2 3 2·8mk4k2 3 4 3m2-12k24k2 3=0，
∴4m2-12 16mk 16k2 12 3m2-12k24k2 3=0，
∴7m2 16mk 4k2=0（7m 2k）（m 2k）=0，∴m=-27k或m=-2k，
当m=-27k时，l：y=kx-27k=k（x-27），
∴l恒过（27，0），
当m=-2k时，l：y=kx-2k=k（x-2），∴l恒过（2，0），但（2，0）为椭圆右顶点，不符题意，故舍去.∴l恒过（27，0）.
评注：本例通过求出含参直线方程来确定直线经过的定点.
例2 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为22的椭圆C：x2a2 y2b2=1（a>b>0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，当直线PQ的斜率为22时，|PQ|=23.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试问以MN为直径的圆是否过定点（与PQ的斜率无关）？请证明你的结论.
解析：（1）由kPQ=22可得：PQ：y=22x.
∴P（x0，22x0），
由对称性可知：|OP|=12|PQ|=3.
∴x20 （22x0）2=3x0=2，
∴P（2，1），由e=ca=22可得a∶b∶c=2∶1∶1，
∴椭圆方程为x22b2 y2b2=1代入P（2，1），可得：b2=2，a2=4，
所以椭圆C：x24 y22=1.
（2）设P（x0，y0）由对称性可知Q（-x0，-y0），由（1）可知A（-2，0），
设AP：y=k（x 2），联立直线与椭圆方程：
y=k（x 2）
x2 2y2=4x2 2k2（x 2）2=4，整理可得：
（2k2 1）x2 8k2x 8k2-4=0，
∴xAx0=8k2-42k2 1解得：x0=2-4k22k2 1，代入y=k（x 2）可得：
y0=k（2-4k22k2 1 2）=4k2k2 1，∴P（2-4k22k2 1，4k2k2 1）从而Q（-2-4k22k2 1，-4k2k2 1）， ∴kAQ=0-（-4k2k2 1）-2-（-2-4k22k2 1）=4k2k2 1-8k22k2 1=-12k，
∴AQ：y=-12k（x 2），因为M，N是直线PA，QA与y轴的交点，
∴M（0，2k），N（0，-1k），∴以MN为直径的圆的圆心为（0，2k2-12k），半径r=|2k2 12k|，
∴圆方程为：x2 （y-2k2-12k）2=（2k2 12k）2，整理可得：
x2 y2-2k2-1ky （2k2-12k）2=（2k2 12k）2x2 y2-2k2-1ky=2，
所以令y=0，解得x=±2.
评注：本题通过求出含参数的圆方程来确定动圆经过的定点.
二、定值问题
所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值.
1.常见定值问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；
（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.
2.定值问题的处理技巧：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向；
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算.
例3 已知椭圆x2a2 y2b2=1（a>b>0）经过点P（62，12），e=22，动点M（2，t）（t>0）.
（1）求椭圆标准方程；
（2）设F为椭圆的右焦点，过F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：ON的长为定值，并求出这个定值.
解析：（1）由e=22可得：a∶b∶c=2∶1∶1，
∴椭圆方程可转化为：x22b2 y2b2=1，将P（62，12）代入椭圆方程可得：
12b2（62）2 1b2（12）2=1，解得：b2=1.∴椭圆方程为x22 y2=1.
（2）由（1）可得：F（1，0），OM：y=t2x.
思路一：通过圆的性质可得ON⊥MN，而NF⊥OM（设垂足为K），由双垂直可想到射影定理，从而|ON|2=|OK|·|OM|，即可判定|ON|为定值，
∴FN：y=-2t（x-1），设OM与FN相交于K，
则由y=t2x
y=-2t（x-1）解得：K（4t2 4，2tt2 4），
∴|OK|=（4t2 4）2 （2tt2 4）2=4t2 4，
|OM|=4 t2，
∵OM为圆的直径，∴ON⊥MN，∵NK⊥OM，
由射影定理可得：|ON|2=|OK|·|OM|=2，
∴|ON|=2.
思路二：本题也可从坐标入手，设N（x0，y0），则只需证明|ON|2=x20 y20为定值即可，通过条件寻找x0，y0关系，一方面：FN⊥OMFN·OM=0，可得2x0 ty0=2；另一方面由N点在圆上，可求出圆的方程（x-1）2 （y-t2）2=t24 1，从而（x0-1）2 （y0-t2）2=t24 1，展开后即可得到x20 y20为定值.
解析：设N（x0，y0），则FN=（x0-1，y0），OM=（2，t），
∴FN·OM=2（x0-1） y0t=0，∴2x0 y0t=2，
OM的中點坐标为（1，t2），|OM|=t2 4，
∴r=t2 42，
∴以OM为直径的圆方程为：
（x-1）2 （y-t2）2=t24 1，
代入N（x0，y0），可得：
（x0-1）2 （y0-t2）2=t24 1，
∴x20 y20-2x0 1-ty0 t24=t24 1x20 y20=2x0 ty0=2，
∴x20 y20=2即|ON|2=2，∴|ON|=2.
评注：本例思路一，利用几何性质求定值；思路二则通过整体代换求出定值.
例4 已知椭圆C：x2a2 y2b2=1（a>b>0）的离心率为23，半焦距为c（c>0），且a-c=1，经过椭圆的左焦点F，斜率为k1（k1≠0）的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为k2，求证：k1k2为定值.
解析：（1）e=ca=23，设c=2k，a=3k.由a-c=1可得：3k-2k=1k=1，
∴a=3，c=2，∴b2=a2-c2=5，
∴C：x29 y25=1.
（2）由（1）可得F（-2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
可得：AR：y=y1x1-1（x-1）x=x1-1y1y 1，
∴联立方程x=x1-1y1y 1
x29 y25=15-x1y21y2 x1-1y1y-4=0，
∴y1y3=-4y215-x1=4y21x1-5，∴y3=4y1x1-5，
∴x3=x1-1y1y3 1=5x1-9x1-5，
∴C（5x1-9x1-5，4y1x1-5），
同理，直线BR与椭圆交点D的坐标为
D（5x2-9x2-5，4y2x2-5），
∴k2=y3-y4x3-x4=4y1x1-5-4y2x2-55x1-9x1-5-5x2-9x2-5
=4y1（x2-5）-4y2（x1-5）（5x1-9）（x2-5）-（5x2-9）（x1-5）
=4y1（x2-5）-4y2（x1-5）16（x2-x1）
=y1x2-y2x1 5（y2-y1）4（x2-x1），
设AB：y=k1（x 2），∴y1=k1（x1 2）
y2=k1（x2 2），代入可得：
k2=k1（x1 2）x2-k1（x2 2）x1 5（y2-y1）4（x2-x1）
=2k1（x2-x1） 5（y2-y1）4（x2-x1）
=12k1 54·y2-y1x2-x1=12k1 54k1=74k1，
∴k2k1=74.
评注：本题要求证的是两个参数（k1，k2），故只需寻求它们之间的关系，即导出一个关于k1，k2关系式，便可求出定值.
一、定点问题
1.处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为k）；
（2）利用条件找到k与过定点的曲线F（x，y）=0的联系，得到有关k与x，y的等式；
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点（x0，y0），使得无论k的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于k与x，y的等式进行变形，直至易于找到x0，y0.常见的变形方向如下：
①若等式的形式为整式，则考虑将含k的项归在一组，变形为“k·g（x，y）”的形式，从而x0，y0只需要先满足g（x，y）=0即可；
②若等式为含k的分式，x0，y0的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）.
2.一些技巧与注意事项：
（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）.然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合.属于“先猜再证”.
（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件.所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件.例如：直线l：y=kx k-1，就应该能够意识到y=k（x 1）-1，进而直线过定点（-1，-1）.
例1 椭圆C：x2a2 y2b2=1（a>b>0）的离心率为12，其左焦点到点P（2，1）的距离为10.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右頂点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.
解析：（1）e=ca=12a∶b∶c=2∶3∶1，设左焦点F1（-c，0），
∴|PF1|=（-c-2）2 （0-1）2=10，解得c=1.∴a=2，b=3.∴椭圆方程为x24 y23=1.
（2）由（1）可知椭圆右顶点D（2，0）.
设A（x1，y1），B（x2，y2），∵以AB为直径的圆过D（2，0），
∴DA⊥DB即DA⊥DB，∴DA·DB=0，
∵DA=（x1-2，y1），DB=（x2-2，y2），
∴DA·DB=（x1-2）（x2-2） y1y2
=x1x2-2（x1 x2） 4 y1y2=0 ①
联立直线与椭圆方程：y=kx m
3x2 4y2=12
（3 4k2）x2 8mkx 4（m2-3）=0，
∴x1 x2=-8mk4k2 3，x1x2=4（m2-3）4k2 3，
∴y1y2=（kx1 m）（kx2 m）
=k2x1x2 mk（x1 x2） m2
=4k2（m2-3）4k2 3-8mk·mk4k2 3 m2
=3m2-12k24k2 3，
代入到①，DA·DB=4（m2-3）4k2 3 2·8mk4k2 3 4 3m2-12k24k2 3=0，
∴4m2-12 16mk 16k2 12 3m2-12k24k2 3=0，
∴7m2 16mk 4k2=0（7m 2k）（m 2k）=0，∴m=-27k或m=-2k，
当m=-27k时，l：y=kx-27k=k（x-27），
∴l恒过（27，0），
当m=-2k时，l：y=kx-2k=k（x-2），∴l恒过（2，0），但（2，0）为椭圆右顶点，不符题意，故舍去.∴l恒过（27，0）.
评注：本例通过求出含参直线方程来确定直线经过的定点.
例2 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为22的椭圆C：x2a2 y2b2=1（a>b>0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，当直线PQ的斜率为22时，|PQ|=23.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试问以MN为直径的圆是否过定点（与PQ的斜率无关）？请证明你的结论.
解析：（1）由kPQ=22可得：PQ：y=22x.
∴P（x0，22x0），
由对称性可知：|OP|=12|PQ|=3.
∴x20 （22x0）2=3x0=2，
∴P（2，1），由e=ca=22可得a∶b∶c=2∶1∶1，
∴椭圆方程为x22b2 y2b2=1代入P（2，1），可得：b2=2，a2=4，
所以椭圆C：x24 y22=1.
（2）设P（x0，y0）由对称性可知Q（-x0，-y0），由（1）可知A（-2，0），
设AP：y=k（x 2），联立直线与椭圆方程：
y=k（x 2）
x2 2y2=4x2 2k2（x 2）2=4，整理可得：
（2k2 1）x2 8k2x 8k2-4=0，
∴xAx0=8k2-42k2 1解得：x0=2-4k22k2 1，代入y=k（x 2）可得：
y0=k（2-4k22k2 1 2）=4k2k2 1，∴P（2-4k22k2 1，4k2k2 1）从而Q（-2-4k22k2 1，-4k2k2 1）， ∴kAQ=0-（-4k2k2 1）-2-（-2-4k22k2 1）=4k2k2 1-8k22k2 1=-12k，
∴AQ：y=-12k（x 2），因为M，N是直线PA，QA与y轴的交点，
∴M（0，2k），N（0，-1k），∴以MN为直径的圆的圆心为（0，2k2-12k），半径r=|2k2 12k|，
∴圆方程为：x2 （y-2k2-12k）2=（2k2 12k）2，整理可得：
x2 y2-2k2-1ky （2k2-12k）2=（2k2 12k）2x2 y2-2k2-1ky=2，
所以令y=0，解得x=±2.
评注：本题通过求出含参数的圆方程来确定动圆经过的定点.
二、定值问题
所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值.
1.常见定值问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；
（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.
2.定值问题的处理技巧：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向；
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算.
例3 已知椭圆x2a2 y2b2=1（a>b>0）经过点P（62，12），e=22，动点M（2，t）（t>0）.
（1）求椭圆标准方程；
（2）设F为椭圆的右焦点，过F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：ON的长为定值，并求出这个定值.
解析：（1）由e=22可得：a∶b∶c=2∶1∶1，
∴椭圆方程可转化为：x22b2 y2b2=1，将P（62，12）代入椭圆方程可得：
12b2（62）2 1b2（12）2=1，解得：b2=1.∴椭圆方程为x22 y2=1.
（2）由（1）可得：F（1，0），OM：y=t2x.
思路一：通过圆的性质可得ON⊥MN，而NF⊥OM（设垂足为K），由双垂直可想到射影定理，从而|ON|2=|OK|·|OM|，即可判定|ON|为定值，
∴FN：y=-2t（x-1），设OM与FN相交于K，
则由y=t2x
y=-2t（x-1）解得：K（4t2 4，2tt2 4），
∴|OK|=（4t2 4）2 （2tt2 4）2=4t2 4，
|OM|=4 t2，
∵OM为圆的直径，∴ON⊥MN，∵NK⊥OM，
由射影定理可得：|ON|2=|OK|·|OM|=2，
∴|ON|=2.
思路二：本题也可从坐标入手，设N（x0，y0），则只需证明|ON|2=x20 y20为定值即可，通过条件寻找x0，y0关系，一方面：FN⊥OMFN·OM=0，可得2x0 ty0=2；另一方面由N点在圆上，可求出圆的方程（x-1）2 （y-t2）2=t24 1，从而（x0-1）2 （y0-t2）2=t24 1，展开后即可得到x20 y20为定值.
解析：设N（x0，y0），则FN=（x0-1，y0），OM=（2，t），
∴FN·OM=2（x0-1） y0t=0，∴2x0 y0t=2，
OM的中點坐标为（1，t2），|OM|=t2 4，
∴r=t2 42，
∴以OM为直径的圆方程为：
（x-1）2 （y-t2）2=t24 1，
代入N（x0，y0），可得：
（x0-1）2 （y0-t2）2=t24 1，
∴x20 y20-2x0 1-ty0 t24=t24 1x20 y20=2x0 ty0=2，
∴x20 y20=2即|ON|2=2，∴|ON|=2.
评注：本例思路一，利用几何性质求定值；思路二则通过整体代换求出定值.
例4 已知椭圆C：x2a2 y2b2=1（a>b>0）的离心率为23，半焦距为c（c>0），且a-c=1，经过椭圆的左焦点F，斜率为k1（k1≠0）的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为k2，求证：k1k2为定值.
解析：（1）e=ca=23，设c=2k，a=3k.由a-c=1可得：3k-2k=1k=1，
∴a=3，c=2，∴b2=a2-c2=5，
∴C：x29 y25=1.
（2）由（1）可得F（-2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
可得：AR：y=y1x1-1（x-1）x=x1-1y1y 1，
∴联立方程x=x1-1y1y 1
x29 y25=15-x1y21y2 x1-1y1y-4=0，
∴y1y3=-4y215-x1=4y21x1-5，∴y3=4y1x1-5，
∴x3=x1-1y1y3 1=5x1-9x1-5，
∴C（5x1-9x1-5，4y1x1-5），
同理，直线BR与椭圆交点D的坐标为
D（5x2-9x2-5，4y2x2-5），
∴k2=y3-y4x3-x4=4y1x1-5-4y2x2-55x1-9x1-5-5x2-9x2-5
=4y1（x2-5）-4y2（x1-5）（5x1-9）（x2-5）-（5x2-9）（x1-5）
=4y1（x2-5）-4y2（x1-5）16（x2-x1）
=y1x2-y2x1 5（y2-y1）4（x2-x1），
设AB：y=k1（x 2），∴y1=k1（x1 2）
y2=k1（x2 2），代入可得：
k2=k1（x1 2）x2-k1（x2 2）x1 5（y2-y1）4（x2-x1）
=2k1（x2-x1） 5（y2-y1）4（x2-x1）
=12k1 54·y2-y1x2-x1=12k1 54k1=74k1，
∴k2k1=74.
评注：本题要求证的是两个参数（k1，k2），故只需寻求它们之间的关系，即导出一个关于k1，k2关系式，便可求出定值.