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摘 要：开展教师初中数学课堂教学有效性研究与实践活动，探求有效教学研究，促进数学课堂“教”与“学”方式的变革。通过对《用坐标表示平移》课题研究，从教学整体结构把握课堂，落实课程理念，关注教师的教学前期准备工作；从教师的“引”与学生的“学”的过程，关注课堂教学中师生的共同成长过程，关注课堂教学的有效“教”与“学”效益；从课例交流与分享，关注教师对课堂教学的有效反思意识；教师们在案例实践中领悟对教材有效的利用与开发的教研活动作用，促进教师通过合作交流分享提升课堂教学技能，营造课堂教学师生共同成长的自然和谐氛围，促进数学课堂教学从有效走向高效。
关键词：数学语言；严谨；规范表达；平移变换；坐标平移；有效教学
借助教师教研培训的平台结合中学数学教学实际，对数学课程教学内容中的《用坐标表示平移》这一节课进行研磨教研活动.首先让教师们进行个人备课，再对这节课进行集体备课，形成集体备课后的《用坐标表示平移》实践的教学设计，并选择到学校7年级X班级开展数学课堂《用坐标表示平移》教学实施与点评交流活动。由于不同的教师，教学观点、侧重面、教师的个性、教学素养和能力的不同，通过在不同的学习班里进行实践教学研究的比较，再进行对实践课例的再评再议反思，促进教师的教学设计能力以及在实践中合理利用与开发教材的技能提升.通过这样的研磨教研与教学交流提升了一线教师的数学课堂教学设计与评价能力，提升了教师驾驭数学课堂教学实施技能，对促进教师的有效课堂教学有先导作用.
下面介绍通过集体合作交流形成《用坐标表示平移》一课的教学设计方案与实施后的反思评价.
教师的教学设计应：重视学情，讲究过程；重视学科，讲究方法；重视指导，讲究策略；重视协作，讲究目标.
1 从教学整体结构把握课程，落实课程理念
1.1 教材分析与处理、学情分析与对策
教材选用人民教育出版社课程教材研究所编著的《义务教育教科书数学七年级（下册）》
《用坐标表示平移》这节课是七年级下册第七章《平面直角坐标系》的第二单元第二节的学习内容，是在学生学习了平面直角坐标系中的用有序数对表示坐标平面上点的位置后，通过探究点或图形的平移引发的点和形的变化，坐标也发生变化的变化规律；是在七年级下册第五章学习了平移初步认识及其平移的基本性质的基础上，再学习用坐标刻画了平移变换；从代数的角度进一步认识平移变换，进一步学习用代数方法研究几何问题，体现了平面直角坐标系在数学中的作用，为后续学习利用平移变换、坐标变换探索几何性质以及综合运用几种变换（平移、旋转、轴对称、相似等）进行图形设计打下良好的基础.
七年级学生的直观思维能力较强，抽象思维能力正在形成与发展中，已具有一定的独立思考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单的推理论证.因此，在本节课的教学中，可让学生从已有的生活经验出发，参与新知识的产生过程，在独立思考、实践操作、自主探究、合作交流等数学活动中，理解和掌握数学知识和技能，形成数学思想和方法，让每个学生在数学上得到不同的发展，人人都获得必需的数学.
1.2 教学目标、重点、难点
教学目标：
①掌握在平面直角坐标系中点或图形的平移引起的点的坐标变化规律；理解变化的关键是明确变化的方向和长度；能正确用坐标表示平移的变化规律解决实际 问题.
②经历点或图形的平移引起的坐标的变化过程，体会利用观察、探究、操作、交流、归纳获得数学新知的 方法.
③通过观察、操作、探究、讨论和交流，培养学生自主学习、合作学习的习惯；养成严谨、认真的科学态度和学风；体验用所学知识解决实际问题的过程的乐趣，积累数学活动经验，提升学生的数学素养.
教学重点：掌握在直角坐标系中，点或图形的平移引发的坐标变化规律；理解坐标变化与图形平移的关键要素是方向与长度。
教学难点：用数学语言正确表达平面直角坐标系中图形的平移变换，以及应用对应点的坐标变化规律.
2 教师的“引”与学生的“学”的过程
2.1 创设情境引入
如表1，这是一张有20个座位的位置分布图
问：①A从1号位置换到5号A1位置，如何说明过程？
②又如何表述A到A1与A1到A的不同换位行走路线；
（这个过程学生表达不严谨，但要给学生经历用自己的语言表达的时间，教师适时引导，让学生体验用数学语言表达的严谨性与规范要求的必要性）
③A从1号位置换到16号B1位置，如何说明过程？
④如何表述A到B1与B1到A的不同换位行走路线；
（接着换一个问题给学生，让学生得到学习用数学语言严谨规范表达的体验）
⑤A从6号位置换到20号C1位置，如何说明过程？
⑥如何表述A到C1与C1到A的不同换位行走路线.
（再接着换一个综合问题给学生使其深入领悟平移的基本要素是明确方向和长度，让学生经历学习用数学语言严谨规范表达现象的过程）
设计思路：让学生感悟平移过程中的重要因素是要明确平移的方向和长度，初步学习如何正确地使用数学语言表达这一变化规律，了解数学概念的表述需简洁严谨且明确的要求，领悟数学的自然语言、图像语言、符号语言之间的互译方式，以及学习新知的意义所在.
教师教学中要重视教学情境的创设，教学情境的创设要求：①符合学生的认知规律；②紧扣本节课的教学内容；③促进学生对新知的探求积极性，引导学生对问题进行思考.
2.2 建立旧知与新知的联系
①什么叫做平移？ ②平移后得到的新图形与原图形有什么关系？
（在学生对旧知识回顾的基础上，导入新课，板书课题.）
2.3 感悟引入新知学习的意义
（1）观察、发现规律
请说出以下结果：
①将点A（-2，-3）向右平移5个单位长度，得到点A1，请在图上标出这个点，并写出它的坐标.把点A向左平移2个单位呢？把点A向上平移6个单位呢？把点A向下平移4个单位呢？
②A（-3，-2）向右平移5个单位；向右（左）平移7个单位；向右（左）平移a个单位（a>0）；
③A（3，-1）向上（下）平移3个单位；向上（下）平移5个单位；向上平移b个单位（b>0）；
教师重点关注：学生能否分清左右、上下平移的规律；表达平移时的两个要素方向和长度是否具体，对用平面直角坐标系研究平移的规律这一新知识的再认识.
（2）经历用明确的、严谨的数学语言进行表述的过程.
你能找出上述两种平移变化后，坐标的变化规律吗？把你的发现和小组其他成员进行交流.
教师要重点关注：学生能否在独立思考的基础上， 积极参与对数学问题的讨论，并能发表自己的见解； 能否运用数学语言表述问题.让学生感受到掌握用数学语言严谨表达平移变化的规律的重要性.
（3）学会用数学语言表达数学问题
总结规律：图形平移与点的坐标变化间的关系
①左、右平移：
原图形上的点的坐标是（x，y），向右平移a个单位后点的坐标是（ ， ）；
原图形上的点的坐标是（x，y），向左平移a个单位后点的坐标是（ ， ）.
②上、下平移：
原图形上的点的坐标是（x，y），向上平移b个单位后点的坐标是（ ， ）；
原图形上的点的坐标是（x，y），向下平移b个单位后点的坐标是（ ， ）.
2.4 应用新知，解决问题
（1）在平面直角坐标系中，有一点P（-4，2），若将P：
①向左平移2个单位长度，所得点的坐标为（ ， ）；
②向右平移3个单位长度，所得点的坐标为（ ， ）；
③向下平移4个单位长度，所得点的坐标为（ ， ）；
④向上平移3个单位长度，所得点的坐标为（ ， ）；
（2）如果A，B的坐标分别为A（-4，5），B（-4，2），将点A向 平移 个单位长度得到点B；将点B向 平移 个单位长度得到点A.
（3）如果P、Q的坐标分别为P（-3，-5），Q（2，-5），将点P向 平移 个单位长度得到点Q；将点Q向 平移 个单位长度得到点P.
（4）点A′（6，3）是由点A（-2，3）经过向 平移 单位长度得到的.点B（4，3）向 平移 单位长度得到点B′（4，5）.
2.5 对新知的深化理解
拓展提高，发展能力：
①在平面直角坐标系中，△ABC的一个顶点A（1，3），要使此△ABC平移到△A1B1C1位置，使得A对应A1点（-2，-2），应怎样平移？说出平移的路线；
教师要重点关注： 学生对图形平移后，点的坐标的变化规律的进一步认识与理解；考查学生应用新知识解决问题的能力.
②将点P（m，1）向右平移5个单位长度，得到点Q（3，1），则点P坐标为（ ， ）；
③将点P（m 1，n-2）向上平移3个单位长度，得到点Q（2，1- n），则点A（m，n）的坐标为（ ， ）；
教师要重点关注： 学生对抽象字母作为坐标的点的平移， 点的坐标的变化规律的进一步认识与理解； 考查学生应用新知识解决抽象问题的能力.
④已知线段 mn=4，mn∥y轴，若点M坐标为（-1，2），则N点坐标为（ ， ）；
⑤已知线段 mn=4，mn∥x轴，若点M坐标为（-1，2），则N点坐标为（ ， ）.
教师要重点关注：深化学生对用坐标表示平移的理解与掌握，考查学生应用新知识解决新问题的能力.
2.6 学习整理、反思
①本节课同学们学到了什么知识？可以用来解决什么问题？
②图形变化后的位置需要知道什么条件就可以明确？
③经历了探究用坐标表示平移的数学严谨规范表述过程，你有哪些收获？
④你还有什么疑惑？
师生在有效有序的互动中经历“数学化”、“再创造”的活动过程.
3 课例交流与分享
3.1 实施者对实施的设想
本课教学是让学生通过对具体问题的学习和探索，在独立思考和相互交流的基础上，得出一般性结论，教师在指导学生得出结论的同时，引导学生说出坐标变化的特点.在学生掌握了点坐标变化的规律后，进行课堂检测，了解学习效果，给学生以获得成功体验的机会，激发他们学习的兴趣和积极性.在课堂小结中，引导学生回顾本节课所学知识，并在此基础上让学生谈谈本节课所学知识在生活中的应用，真正做到学以致用.
从总体来看，本节课的教学过程是让学生经历一个由特殊到一般再从一般到特殊的变化过程，逐步培养学生的抽象概括能力和认识事物的一般规律.
3.2 大家谈感悟，提升对课程实践的认识
①本节课的数学实践遵循学生为主体的原则，教师适时引导，通过学生动手操作、合作交流、媒体演示等多种手段促进学生对问题的思考，给学生深入观察、广泛联想的时间与空间，并设置适当的追问，探究，培养学生严谨思维的数学素养，理解学习新知的必要性.
②好的学习方法才能培养能力，在学生探索新知识的过程中培养他们掌握数学学习和解决问题的方法，并且通过自己动手操作，独立思考，严谨表述，培养学生的观察、猜想、概括、表述论证的能力.
③本课要让学生在学习怎样正确表达物体的位置变化后，让学生从物体的移动变化中感受到学习用坐标表示平移的重要性，理解平移用坐标表示的必要性，掌握如何用数学语言表述平移，体会表述平移应明确平移的两个要素：1.方向；2.长度.从具体的案例中发现点的坐标平移的规律，激发学生探求新知的欲望，通过探究原理，发现问题，找到规律，学习用数学语言表述现象，初步感受生活现象如何用数学语言来准确表述现象特征的方式，体会自然语言、图形语言、符号语言三种数学语言的互译过程.
④教师的教学设计关注了：重视学情，讲究过程；重视学科，讲究方法；重视指导，讲究策略；重视协作，讲究目标.
教师引导学生一起学习用坐标表示平移的严谨规范表达，给学生建立数学学科语言的表达规律要求.通过学习可以逐步形成探求新知的学习规律，发现生活中的自然现象联系所学的数学知识，用规范的数学语言正确表达自然规律.
⑤教师要给学生思考的时间，学生在经历不规范的表述的过程中体会规范表达的意义所在，理解数学表达的严谨性.
本课重视“加强知识间的相互联系；突出数形结合的思想；注重学生的认知规律”；通过“观察--思考--探究--归纳”，给学生足够的思考空间.内容呈现的情境选择要贴近学生的生活实际，有利于学生观察与猜想、体验与理解、思考与探索.本课情境引入设计：用同学在教室中的前后、左右的换位置问题情境引起学生探究新知，揭示数学与现实生活实际的联系，接着通过学生观察探究、独立思考、现象表达、交流反思，学习用数学的方法解决问题，找出规律，尝试用数学语言正确表达问题或现象.最后，通过问题串引导学生用所学知识解决实际问题.设计实现了课标中“数学来源于生活，又应用于生活”的理念.
关键词：数学语言；严谨；规范表达；平移变换；坐标平移；有效教学
借助教师教研培训的平台结合中学数学教学实际，对数学课程教学内容中的《用坐标表示平移》这一节课进行研磨教研活动.首先让教师们进行个人备课，再对这节课进行集体备课，形成集体备课后的《用坐标表示平移》实践的教学设计，并选择到学校7年级X班级开展数学课堂《用坐标表示平移》教学实施与点评交流活动。由于不同的教师，教学观点、侧重面、教师的个性、教学素养和能力的不同，通过在不同的学习班里进行实践教学研究的比较，再进行对实践课例的再评再议反思，促进教师的教学设计能力以及在实践中合理利用与开发教材的技能提升.通过这样的研磨教研与教学交流提升了一线教师的数学课堂教学设计与评价能力，提升了教师驾驭数学课堂教学实施技能，对促进教师的有效课堂教学有先导作用.
下面介绍通过集体合作交流形成《用坐标表示平移》一课的教学设计方案与实施后的反思评价.
教师的教学设计应：重视学情，讲究过程；重视学科，讲究方法；重视指导，讲究策略；重视协作，讲究目标.
1 从教学整体结构把握课程，落实课程理念
1.1 教材分析与处理、学情分析与对策
教材选用人民教育出版社课程教材研究所编著的《义务教育教科书数学七年级（下册）》
《用坐标表示平移》这节课是七年级下册第七章《平面直角坐标系》的第二单元第二节的学习内容，是在学生学习了平面直角坐标系中的用有序数对表示坐标平面上点的位置后，通过探究点或图形的平移引发的点和形的变化，坐标也发生变化的变化规律；是在七年级下册第五章学习了平移初步认识及其平移的基本性质的基础上，再学习用坐标刻画了平移变换；从代数的角度进一步认识平移变换，进一步学习用代数方法研究几何问题，体现了平面直角坐标系在数学中的作用，为后续学习利用平移变换、坐标变换探索几何性质以及综合运用几种变换（平移、旋转、轴对称、相似等）进行图形设计打下良好的基础.
七年级学生的直观思维能力较强，抽象思维能力正在形成与发展中，已具有一定的独立思考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单的推理论证.因此，在本节课的教学中，可让学生从已有的生活经验出发，参与新知识的产生过程，在独立思考、实践操作、自主探究、合作交流等数学活动中，理解和掌握数学知识和技能，形成数学思想和方法，让每个学生在数学上得到不同的发展，人人都获得必需的数学.
1.2 教学目标、重点、难点
教学目标：
①掌握在平面直角坐标系中点或图形的平移引起的点的坐标变化规律；理解变化的关键是明确变化的方向和长度；能正确用坐标表示平移的变化规律解决实际 问题.
②经历点或图形的平移引起的坐标的变化过程，体会利用观察、探究、操作、交流、归纳获得数学新知的 方法.
③通过观察、操作、探究、讨论和交流，培养学生自主学习、合作学习的习惯；养成严谨、认真的科学态度和学风；体验用所学知识解决实际问题的过程的乐趣，积累数学活动经验，提升学生的数学素养.
教学重点：掌握在直角坐标系中，点或图形的平移引发的坐标变化规律；理解坐标变化与图形平移的关键要素是方向与长度。
教学难点：用数学语言正确表达平面直角坐标系中图形的平移变换，以及应用对应点的坐标变化规律.
2 教师的“引”与学生的“学”的过程
2.1 创设情境引入
如表1，这是一张有20个座位的位置分布图
问：①A从1号位置换到5号A1位置，如何说明过程？
②又如何表述A到A1与A1到A的不同换位行走路线；
（这个过程学生表达不严谨，但要给学生经历用自己的语言表达的时间，教师适时引导，让学生体验用数学语言表达的严谨性与规范要求的必要性）
③A从1号位置换到16号B1位置，如何说明过程？
④如何表述A到B1与B1到A的不同换位行走路线；
（接着换一个问题给学生，让学生得到学习用数学语言严谨规范表达的体验）
⑤A从6号位置换到20号C1位置，如何说明过程？
⑥如何表述A到C1与C1到A的不同换位行走路线.
（再接着换一个综合问题给学生使其深入领悟平移的基本要素是明确方向和长度，让学生经历学习用数学语言严谨规范表达现象的过程）
设计思路：让学生感悟平移过程中的重要因素是要明确平移的方向和长度，初步学习如何正确地使用数学语言表达这一变化规律，了解数学概念的表述需简洁严谨且明确的要求，领悟数学的自然语言、图像语言、符号语言之间的互译方式，以及学习新知的意义所在.
教师教学中要重视教学情境的创设，教学情境的创设要求：①符合学生的认知规律；②紧扣本节课的教学内容；③促进学生对新知的探求积极性，引导学生对问题进行思考.
2.2 建立旧知与新知的联系
①什么叫做平移？ ②平移后得到的新图形与原图形有什么关系？
（在学生对旧知识回顾的基础上，导入新课，板书课题.）
2.3 感悟引入新知学习的意义
（1）观察、发现规律
请说出以下结果：
①将点A（-2，-3）向右平移5个单位长度，得到点A1，请在图上标出这个点，并写出它的坐标.把点A向左平移2个单位呢？把点A向上平移6个单位呢？把点A向下平移4个单位呢？
②A（-3，-2）向右平移5个单位；向右（左）平移7个单位；向右（左）平移a个单位（a>0）；
③A（3，-1）向上（下）平移3个单位；向上（下）平移5个单位；向上平移b个单位（b>0）；
教师重点关注：学生能否分清左右、上下平移的规律；表达平移时的两个要素方向和长度是否具体，对用平面直角坐标系研究平移的规律这一新知识的再认识.
（2）经历用明确的、严谨的数学语言进行表述的过程.
你能找出上述两种平移变化后，坐标的变化规律吗？把你的发现和小组其他成员进行交流.
教师要重点关注：学生能否在独立思考的基础上， 积极参与对数学问题的讨论，并能发表自己的见解； 能否运用数学语言表述问题.让学生感受到掌握用数学语言严谨表达平移变化的规律的重要性.
（3）学会用数学语言表达数学问题
总结规律：图形平移与点的坐标变化间的关系
①左、右平移：
原图形上的点的坐标是（x，y），向右平移a个单位后点的坐标是（ ， ）；
原图形上的点的坐标是（x，y），向左平移a个单位后点的坐标是（ ， ）.
②上、下平移：
原图形上的点的坐标是（x，y），向上平移b个单位后点的坐标是（ ， ）；
原图形上的点的坐标是（x，y），向下平移b个单位后点的坐标是（ ， ）.
2.4 应用新知，解决问题
（1）在平面直角坐标系中，有一点P（-4，2），若将P：
①向左平移2个单位长度，所得点的坐标为（ ， ）；
②向右平移3个单位长度，所得点的坐标为（ ， ）；
③向下平移4个单位长度，所得点的坐标为（ ， ）；
④向上平移3个单位长度，所得点的坐标为（ ， ）；
（2）如果A，B的坐标分别为A（-4，5），B（-4，2），将点A向 平移 个单位长度得到点B；将点B向 平移 个单位长度得到点A.
（3）如果P、Q的坐标分别为P（-3，-5），Q（2，-5），将点P向 平移 个单位长度得到点Q；将点Q向 平移 个单位长度得到点P.
（4）点A′（6，3）是由点A（-2，3）经过向 平移 单位长度得到的.点B（4，3）向 平移 单位长度得到点B′（4，5）.
2.5 对新知的深化理解
拓展提高，发展能力：
①在平面直角坐标系中，△ABC的一个顶点A（1，3），要使此△ABC平移到△A1B1C1位置，使得A对应A1点（-2，-2），应怎样平移？说出平移的路线；
教师要重点关注： 学生对图形平移后，点的坐标的变化规律的进一步认识与理解；考查学生应用新知识解决问题的能力.
②将点P（m，1）向右平移5个单位长度，得到点Q（3，1），则点P坐标为（ ， ）；
③将点P（m 1，n-2）向上平移3个单位长度，得到点Q（2，1- n），则点A（m，n）的坐标为（ ， ）；
教师要重点关注： 学生对抽象字母作为坐标的点的平移， 点的坐标的变化规律的进一步认识与理解； 考查学生应用新知识解决抽象问题的能力.
④已知线段 mn=4，mn∥y轴，若点M坐标为（-1，2），则N点坐标为（ ， ）；
⑤已知线段 mn=4，mn∥x轴，若点M坐标为（-1，2），则N点坐标为（ ， ）.
教师要重点关注：深化学生对用坐标表示平移的理解与掌握，考查学生应用新知识解决新问题的能力.
2.6 学习整理、反思
①本节课同学们学到了什么知识？可以用来解决什么问题？
②图形变化后的位置需要知道什么条件就可以明确？
③经历了探究用坐标表示平移的数学严谨规范表述过程，你有哪些收获？
④你还有什么疑惑？
师生在有效有序的互动中经历“数学化”、“再创造”的活动过程.
3 课例交流与分享
3.1 实施者对实施的设想
本课教学是让学生通过对具体问题的学习和探索，在独立思考和相互交流的基础上，得出一般性结论，教师在指导学生得出结论的同时，引导学生说出坐标变化的特点.在学生掌握了点坐标变化的规律后，进行课堂检测，了解学习效果，给学生以获得成功体验的机会，激发他们学习的兴趣和积极性.在课堂小结中，引导学生回顾本节课所学知识，并在此基础上让学生谈谈本节课所学知识在生活中的应用，真正做到学以致用.
从总体来看，本节课的教学过程是让学生经历一个由特殊到一般再从一般到特殊的变化过程，逐步培养学生的抽象概括能力和认识事物的一般规律.
3.2 大家谈感悟，提升对课程实践的认识
①本节课的数学实践遵循学生为主体的原则，教师适时引导，通过学生动手操作、合作交流、媒体演示等多种手段促进学生对问题的思考，给学生深入观察、广泛联想的时间与空间，并设置适当的追问，探究，培养学生严谨思维的数学素养，理解学习新知的必要性.
②好的学习方法才能培养能力，在学生探索新知识的过程中培养他们掌握数学学习和解决问题的方法，并且通过自己动手操作，独立思考，严谨表述，培养学生的观察、猜想、概括、表述论证的能力.
③本课要让学生在学习怎样正确表达物体的位置变化后，让学生从物体的移动变化中感受到学习用坐标表示平移的重要性，理解平移用坐标表示的必要性，掌握如何用数学语言表述平移，体会表述平移应明确平移的两个要素：1.方向；2.长度.从具体的案例中发现点的坐标平移的规律，激发学生探求新知的欲望，通过探究原理，发现问题，找到规律，学习用数学语言表述现象，初步感受生活现象如何用数学语言来准确表述现象特征的方式，体会自然语言、图形语言、符号语言三种数学语言的互译过程.
④教师的教学设计关注了：重视学情，讲究过程；重视学科，讲究方法；重视指导，讲究策略；重视协作，讲究目标.
教师引导学生一起学习用坐标表示平移的严谨规范表达，给学生建立数学学科语言的表达规律要求.通过学习可以逐步形成探求新知的学习规律，发现生活中的自然现象联系所学的数学知识，用规范的数学语言正确表达自然规律.
⑤教师要给学生思考的时间，学生在经历不规范的表述的过程中体会规范表达的意义所在，理解数学表达的严谨性.
本课重视“加强知识间的相互联系；突出数形结合的思想；注重学生的认知规律”；通过“观察--思考--探究--归纳”，给学生足够的思考空间.内容呈现的情境选择要贴近学生的生活实际，有利于学生观察与猜想、体验与理解、思考与探索.本课情境引入设计：用同学在教室中的前后、左右的换位置问题情境引起学生探究新知，揭示数学与现实生活实际的联系，接着通过学生观察探究、独立思考、现象表达、交流反思，学习用数学的方法解决问题，找出规律，尝试用数学语言正确表达问题或现象.最后，通过问题串引导学生用所学知识解决实际问题.设计实现了课标中“数学来源于生活，又应用于生活”的理念.